2023年河南省郑州市新郑市市直中学中考数学模拟试卷附解析

这是一份2023年河南省郑州市新郑市市直中学中考数学模拟试卷附解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州市新郑市市直中学中考数学模拟试卷附解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）﹣3的负倒数（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时28亿千米，28亿千米用科学记数法表示应为（　　）
A．2.8×108米 B．2.8×109米 C．28×1012米 D．2.8×1012米
4．（3分）运算结果为a8的式子是（　　）
A．a4•a2 B．（a6）2 C．a12÷a4 D．a8﹣2a8
5．（3分）关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
6．（3分）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
7．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
8．（3分）下列调查中，最适合采用普查的是（　　）
A．对某市居民垃圾分类意识的调查
B．对某批汽车抗撞击能力的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对某校学生的视力情况的调查
9．（3分）如图，菱形OABC的顶点O（0，0），A（﹣2，0），∠B＝60°，若菱形OABC绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到菱形OA2024B2024C2024，那么点C2024的坐标是（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc＞0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＜0，其中正确的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．（3分）小明将四张正面分别标有数字﹣3，﹣1，1，3的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字至少一个是方程x2﹣2x﹣3＝0的解的概率是 　 　．​
13．（3分）不等式组的解集是 　 　．
14．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在格点上，则阴影部分的周长为 　 　．

15．（3分）如图，将△ABC纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB＝3，AC＝4，BC＝5，若以B′、F、C为顶点的三角形与三角形ABC相似，那么CF的长度是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：﹣12022+|﹣6|﹣（﹣3.14﹣π）0+（﹣）﹣2；
（2）化简：（1﹣）．












17．（9分）某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从4个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　 　；
（2）在扇形统计图中，选择“作品2”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级学生共有2000名，请估计七年级学生中选择“作品1”的人数．










18．（9分）如图，双曲线y＝与直线y＝mx+n交于A（6，6），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式≥mx+n的解集；
（3）请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法），交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出点Q的坐标．







19．（9分）河南洛阳栾川老君山集道教文化与自然景观于一身，素有“北国张家界”之称，景区内的老子铜像是目前世界上最高的老子铜像，九年级的李华同学想运用所学数学知识测铜像高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到铜像前的广场，站在C点测得铜像头部A的仰角为36.87°，继续沿远离铜像方向走29米到D处，测得铜像头部A的仰角为26.66°，且A，B，C，D在同一平面内，求老子铜像AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.66°≈0.447，cos26.66°≈0.894，tan26.66°≈0.5，sin36.87°≈0.6，cos36.87°≈0.8，tan36.87°≈0.75）​






20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OA＝6，OE＝3，求BC的长及DC的长．






21．（9分）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：
售价x（元/件）
30
45
月销售量y（件）
300
270
（1）①求y关于x的函数表达式；
②该商品的进价为30元，当售价是多少元时，月销售利润w（元）最大？并求出最大利润；[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]
（2）利润不低于10000时候的售价最少需要多少？






22．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标；
（3）抛物线上有一点P，∠PBA＝∠DAB，求点P的坐标．










23．（10分）“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片ABCD折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为EF，在AD边上找一点P，沿CP将△PCD折叠，得到△PCQ，点D的对应点为点Q．
问题提出：
（1）若点Q落在EF上，CD＝2，连接BQ．
①△CQB是 　 　三角形；
②若△CQB是等边三角形，则AD的长为 　 　．
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当AD＝2时，判断△CQB的形状并证明；
拓展延伸；
（3）若AB＝6，AD＝8，其他条件不变，当点Q落在矩形ABFE内部（包括边）时，连接AQ，直接写出AQ的取值范围．


2023年河南省郑州市新郑市市直中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）﹣3的负倒数（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】乘积是﹣1的两个数互为负倒数．
【解答】解：﹣3的负倒数是．
故选：C．
2．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从物体左面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为2、3．
故选：C．
3．（3分）2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时28亿千米，28亿千米用科学记数法表示应为（　　）
A．2.8×108米 B．2.8×109米 C．28×1012米 D．2.8×1012米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：28亿千米＝2800000000000米＝2.8×1012米．
故选：D．
4．（3分）运算结果为a8的式子是（　　）
A．a4•a2 B．（a6）2 C．a12÷a4 D．a8﹣2a8
【分析】根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a4•a2＝a6，故A不符合题意；
B、（a6）2＝a12，故B不符合题意；
C、a12÷a4＝a8，故C符合题意；
D、a8﹣2a8＝﹣a8，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】由菱形的性质可求解．
【解答】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：C．
6．（3分）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出m2﹣8＞0，进而可得出一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝（a+1）2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点A（x1，﹣3），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数y＝的图象上，﹣3＜0＜2＜6，
∴x1＜x3＜x2，
故选：B．
8．（3分）下列调查中，最适合采用普查的是（　　）
A．对某市居民垃圾分类意识的调查
B．对某批汽车抗撞击能力的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对某校学生的视力情况的调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、对某市居民垃圾分类意识的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
B、对某批汽车抗撞击能力的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
C、对一批节能灯管使用寿命的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
D、对某校学生的视力情况的调查，适合采用普查，符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，菱形OABC的顶点O（0，0），A（﹣2，0），∠B＝60°，若菱形OABC绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到菱形OA2024B2024C2024，那么点C2024的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【分析】作CD⊥OA于D，由菱形的性质得出∠AOC＝∠B＝60°，OC＝OA＝2，由直角三角形的性质得出OD＝OC＝1，CD＝OD＝，则点C的坐标为（﹣1，），则菱形OABC绕点O连续旋转2024次，旋转4次为一周，绕点O连续旋转2024次得到菱形OA2024B2024C2024与菱形OABC重合，点C2024与C重合，即可得出答案．
【解答】解：作CD⊥OA于D，则∠CDO＝90°，

∵四边形OABC是菱形，O（0，0），A（﹣2，0），
∴∠AOC＝∠B＝60°，OC＝OA＝2，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，CD＝OD＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
若菱形绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到菱形OA2024B2024C2024，
则菱形OABC绕点O连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4＝506（周），
∴绕点O连续旋转2024次得到菱形OA2024B2024C2024与菱形OABC重合，
∴点C2024与C重合，
∴点C2024的坐标为（﹣1，），
故选：D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc＞0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＜0，其中正确的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【解答】解：①由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故正确；
②对称轴为直线x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③由图可知：当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，
即3a+c＞0，
故错误．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x＞﹣2且x≠1　．
【分析】根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数是非负数以及零指数幂的性质解答．
【解答】解：根据题意，得：x+2＞0且x﹣1≠0．
解得x＞﹣2且x≠1．
故答案为：x＞﹣2且x≠1．
12．（3分）小明将四张正面分别标有数字﹣3，﹣1，1，3的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字至少一个是方程x2﹣2x﹣3＝0的解的概率是 　　．​
【分析】由题意得，方程x2﹣2x﹣3＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽卡片上的数字至少一个是方程x2﹣2x﹣3＝0的解的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
得（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少一个是方程x2﹣2x﹣3＝0的解的结果有（﹣3，﹣1），（﹣3，3），（﹣1，﹣3），（﹣1，1），（﹣1，3），（1，﹣1），（1，3），（3，﹣3），（3，﹣1），（3，1），共10种，
∴所抽卡片上的数字至少一个是方程x2﹣2x﹣3＝0的解的概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）不等式组的解集是 　无解　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3≥0得：x≥3，
由2x﹣5＜1得：x＜3，
则不等式组无解，
故答案为：无解．
14．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在格点上，则阴影部分的周长为 　π+2+6　．

【分析】由△ABC≌△ADE推出∠BAD＝90°，由弧长公式求出弧BD的长，由勾股定理求出AD的长，即可解决问题．
【解答】解：∵BC＝DE＝4，AC＝AE＝2，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠DAE+∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝＝2，
∴弧BD的长＝＝π，
∴阴影部分的周长为：弧BD的长+AD+AC+BC＝π+2+2+4＝π+2+6．
故答案为：π+2+6．
15．（3分）如图，将△ABC纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB＝3，AC＝4，BC＝5，若以B′、F、C为顶点的三角形与三角形ABC相似，那么CF的长度是 　或　．

【分析】根据折叠得到BF＝B′F，根据相似三角形的性质得到或，设BF＝x，则CF＝5﹣x，即可求出x的长，得到CF的长．
【解答】解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，
∴BF＝B′F，
设BF＝x，则CF＝5﹣x，
当△B′FC∽△ABC时，，
∵AB＝3，BC＝5，
∴＝，
解得：x＝，
则CF＝5﹣x＝，
当△FB′C∽△ABC时，，即＝，
解得：x＝，
则CF＝5﹣x＝．
故CF＝或，
故答案是：或．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：﹣12022+|﹣6|﹣（﹣3.14﹣π）0+（﹣）﹣2；
（2）化简：（1﹣）．
【分析】（1）先算乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
（2）先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）﹣12022+|﹣6|﹣（﹣3.14﹣π）0+（﹣）﹣2
＝﹣1+6﹣1+9
＝13；
（2）（1﹣）
＝
＝．
17．（9分）某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从4个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　50　；
（2）在扇形统计图中，选择“作品2”的学生所对应扇形的圆心角的度数是 　115.2°　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级学生共有2000名，请估计七年级学生中选择“作品1”的人数．


【分析】（1）根据“作品4”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；
（2）用选择“作品2”的学生数除以总人数，再乘以360°即可得出答案；
（3）用总人数减去其它的人数，求出“作品2”的人数，从而补全统计图；
（4）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%＝50（人）；
故答案为：50；
（2））“作品2”的人数为：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
选择“作品2”的学生所对应扇形的圆心角的度数是：360°×＝115.2°，
故答案为：115.2°；
（3）补全条形统计图如图所示，

（4）2000×＝360（人）．
答：估计七年级学生中选择“作品3”的人数为360人．
18．（9分）如图，双曲线y＝与直线y＝mx+n交于A（6，6），B（a，﹣1），直线AB交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）求双曲线与直线AB的解析式；
（2）直接写出不等式≥mx+n的解集；
（3）请用无刻度的直尺和圆规作出线段ON的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法），交直线AB于点P，交双曲线于点Q．求出点Q的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分别以点O、N为圆心，以大于NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，得到ON的中垂线为x＝﹣15，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝6×6＝36，
则反比例函数表达式为：y＝，
将点B的坐标代入上式得：﹣1＝，则a＝﹣36，
即点B的坐标为：（﹣36，﹣1），
将A、B的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则直线AB的表达式为：y＝x+5；

（2）从函数图象看，不等式≥mx+n的解集为：0＜x≤6或x≤﹣36；

（3）分别以点O、N为圆心，以大于NO长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为ON的垂直平分线，

令y＝x+5＝0，则x＝﹣30，即点N（﹣30，0），
则ON的中垂线为x＝﹣15，
当x＝﹣15时，y＝＝﹣，
即点Q的坐标为：（﹣15，﹣）．
19．（9分）河南洛阳栾川老君山集道教文化与自然景观于一身，素有“北国张家界”之称，景区内的老子铜像是目前世界上最高的老子铜像，九年级的李华同学想运用所学数学知识测铜像高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到铜像前的广场，站在C点测得铜像头部A的仰角为36.87°，继续沿远离铜像方向走29米到D处，测得铜像头部A的仰角为26.66°，且A，B，C，D在同一平面内，求老子铜像AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.66°≈0.447，cos26.66°≈0.894，tan26.66°≈0.5，sin36.87°≈0.6，cos36.87°≈0.8，tan36.87°≈0.75）​

【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义得到BC＝，在Rt△ADB中，根据三角函数的定义得到BD＝2AB，然后列方程即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝36.87°，
∴tan36.87°＝≈0.75，
∴BC＝，
在Rt△ADB中，∠D＝26.66°，
∴tan26.66°＝≈0.5，
∴BD＝2AB，
∵CD＝BD﹣BC＝2AB﹣＝29，
∴AB≈43.5米，
答：老子铜像AB的高度为43.5米．
20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OA＝6，OE＝3，求BC的长及DC的长．

【分析】（1）连接OC，由已知条件可得∠DCE＝∠AEO，结合DO⊥AB，OA＝OC，可得∠OCA+∠DCE＝∠DCO＝90°，则OC⊥DC，根据切线的判定定理即可得证；
（2）设CD＝x，则DE＝x，DO＝DE+OE＝x+3，在Rt△OCD中，结合勾股定理可求得x的值，即可得DC，根据相似三角形的判定与性质推出AC＝2BC，根据勾股定理进而可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠AEO，
∴∠DCE＝∠AEO，
∵DO⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠EAO+∠AEO＝∠EAO+∠DCE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠EAO＝∠OCA，
∴∠OCA+∠DCE＝∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，

设CD＝x，则DE＝x，DO＝DE+OE＝x+3，
在Rt△OCD中，OD2＝OC2+DC2，OC＝6，
即（x+3）2＝62+x2，
解得x＝，
∴DC＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝90°＝∠ACB，
又∠EAO＝∠BAC，
∴△AEO∽△ABC，
∴＝，
即＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴4BC2+BC2＝144，
∴BC＝或BC＝﹣（舍去）．
21．（9分）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表：
售价x（元/件）
30
45
月销售量y（件）
300
270
（1）①求y关于x的函数表达式；
②该商品的进价为30元，当售价是多少元时，月销售利润w（元）最大？并求出最大利润；[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]
（2）利润不低于10000时候的售价最少需要多少？
【分析】（1）①依题意设y＝kx+b，用待定系数法即可得到结论；
②设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元，根据题意列出函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）①设y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），
根据题意得，
，
解得，
∴y＝﹣2x+360；
②设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元，
根据题意得：w＝y（x﹣30）
＝（x﹣30）（﹣2x+360）
＝﹣2x2+420x﹣10800
＝﹣2（x﹣105）2+11250，
∴当x＝105时w有最大值，最大值为11250，
答：当该商品的售价是105元/件时，月销售利润最大，最大利润是11250元；
（2）当w＝10000元时，﹣2（x﹣105）2+11250＝10000，
解得x1＝130，x2＝80，
答：利润不低于10000时候的售价最少需要80元．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标；
（3）抛物线上有一点P，∠PBA＝∠DAB，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
（3）当P，D关于抛物线的对称轴对称时，满足条件，此时P（﹣，﹣）．过点B作BP′∥AD交抛物线于点P′，此时P′满足条件．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+3过点（3，0），
∴﹣9+3m+3＝0，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由，得或，
∴C（0，3），D（，﹣），
∵S△ABP＝4S△ABD，
∴AB×|Py|＝4×AB×，
∴|Py|＝9，Py＝±9，
当y＝9时，﹣x2+2x+3＝9，
∴x2﹣2x+6＝0，
∵Δ＝4﹣4×6＜0，
∴此方程无实数解，
当y＝﹣9时，﹣x2+2x+3＝﹣9，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）；
（3）当P，D关于抛物线的对称轴对称时，满足条件，此时P（﹣，﹣）．
过点B作BP′∥AD交抛物线于点P′，此时P′满足条件．
∵A（﹣1，0），D（，﹣），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，
∵B（3，0），BP′⊥AD，
∴直线BP′的解析式为y＝﹣x+，
由，
解得或，
∴P′（﹣，）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（﹣，）或（﹣，）．
23．（10分）“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片ABCD折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为EF，在AD边上找一点P，沿CP将△PCD折叠，得到△PCQ，点D的对应点为点Q．
问题提出：
（1）若点Q落在EF上，CD＝2，连接BQ．
①△CQB是 　等腰　三角形；
②若△CQB是等边三角形，则AD的长为 　2　．
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当AD＝2时，判断△CQB的形状并证明；
拓展延伸；
（3）若AB＝6，AD＝8，其他条件不变，当点Q落在矩形ABFE内部（包括边）时，连接AQ，直接写出AQ的取值范围．

【分析】（1）①由折叠可知EF垂直平分BC，则CQ＝BQ，所以△CQB是等腰三角形，于是得到问题的答案；
②当△CQB是等边三角形时，则AD＝BC＝CQ＝CD＝1，于是得到问题的答案；
（2）因为CQ＝BQ＝CD＝1，所以CQ2+BQ2＝12+12＝2，而AD＝BC＝，则BC2＝（）2＝2，所以CQ2+BQ2＝BC2，则△CQB是等腰直角三角形；
（3）连接AC，以点C为圆心，CD长为半径作圆交EF于点G，交BC于点H，则点Q在⊙C上运动，可求得AC＝＝，AH＝＝，AG＝，由AQ+CQ≥AC，AQ+CQ≤AG+CG，AQ+CQ≤AH+CH，得，即可求得AQ的取值范围是﹣5≤AQ≤．
【解答】解：（1）如图1，①∵将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C与点B重合，
∴EF垂直平分BC，
∴CQ＝BQ，
∴△CQB是等腰三角形，
故答案为：等腰．
②由折叠得CQ＝CD＝2，
若△CQB是等边三角形，则BC＝CQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，
故答案为：2．
（2）△CQB是等腰直角三角形，
证明：如图1，由（1）得CQ＝BQ＝CD＝2，
∴CQ2+BQ2＝22+22＝8，
∵AD＝BC＝2，
∴BC2＝（2）2＝8
∴CQ2+BQ2＝BC2，
∴△CQB是直角三角形，
∵CQ＝BQ，
∴△CQB是等腰直角三角形．
（3）如图2，连接AC，以点C为圆心，CD长为半径作圆交EF于点G，交BC于点H，
∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵CQ＝CD＝6，
∴点Q在⊙C上运动，
连接AG、CG、CH，则CG＝CH＝6，
∴BH＝BC﹣CH＝8﹣6＝2，
∴AH＝＝＝2，
∵四边形ABFE是矩形，
∴∠CFG＝∠AEG＝90°，EF＝AB＝6，
∵AE＝BF＝CF＝BC＝×8＝4，
∴FG＝＝＝2，
∴EG＝EF﹣FG＝6﹣2，
∴AG＝＝＝2﹣2，
当点Q落在矩形ABFE内部（包括边）时，则AQ+CQ≥AC，AQ+CQ≤AG+CG，AQ+CQ≤AH+CH，
∴，
∴4≤AQ≤，
∴AQ的取值范围是﹣5≤AQ≤．