2023年河南省郑州市新郑市市直中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年河南省郑州市新郑市市直中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的负倒数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时亿千米，亿千米用科学记数法表示应为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  运算结果为的式子是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于菱形，下列说法错误的是(    )

A. 对角线垂直 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定

7.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列调查中，最适合采用普查的是(    )

A. 对某市居民垃圾分类意识的调查 B. 对某批汽车抗撞击能力的调查
C. 对一批节能灯管使用寿命的调查 D. 对某校学生的视力情况的调查

9.  如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，下列结论：，，，，其中正确的结论个数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  小明将四张正面分别标有数字，，，的卡片除数字外其他都相同置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字至少一个是方程的解的概率是______ ．

13.  不等式组的解集是______ ．

14.  如图，在边长为的正方形网格中，，，均在格点上，则阴影部分的周长为______ ．

15.  如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以为等腰三角形，那么的长度是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：
参加此次问卷调查的学生人数是______ ；
在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是______ ；
将条形统计图补充完整；
若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数．
 

18.  本小题分
如图，双曲线与直线交于，，直线交轴于点，交轴于点．
求双曲线与直线的解析式；
直接写出不等式的解集；
请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线保留作图痕迹，不写作法，交直线于点，交双曲线于点求出点的坐标．

19.  本小题分
河南洛阳栾川老君山集道教文化与自然景观于一身，素有“北国张家界”之称，景区内的老子铜像是目前世界上最高的老子铜像，九年级的李华同学想运用所学数学知识测铜像高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪高度忽略不计来到铜像前的广场，站在点测得铜像头部的仰角为，继续沿远离铜像方向走米到处，测得铜像头部的仰角为，且，，，在同一平面内，求老子铜像的高度结果精确到米，参考数据：，，，，，
 

20.  本小题分
如图，为的直径，为上的一点，交于点，．
求证：是的切线；
若，，求的长及的长．

21.  本小题分
某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：该商品的月销售量件是售价元件的一次函数，其售价与月销售量的部分对应值如表：

求关于的函数表达式；
该商品的进价为元，当售价是多少元时，月销售利润元最大？并求出最大利润；注：月销售利润月销售量售价进价
利润不低于时候的售价最少需要多少？

22.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点连接、．
求抛物线解析式；
抛物线上有一点，满足，求点的坐标；
抛物线上有一点，，求点的坐标．

23.  本小题分
“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．
问题提出：
若点落在上，，连接．
是______ 三角形；
若是等边三角形，则的长为______ ．
深入探究：
在的条件下，当时，判断的形状并证明；
拓展延伸；
若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的负倒数是．
故选：．
乘积是的两个数互为负倒数．
本题主要考查的是倒数的定义，掌握负倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从物体左面看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为、．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿千米米米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：．
由菱形的性质可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
点，，都在反比例函数的图象上，，
，
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：、对某市居民垃圾分类意识的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
B、对某批汽车抗撞击能力的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
C、对一批节能灯管使用寿命的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
D、对某校学生的视力情况的调查，适合采用普查，符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，则，

四边形是菱形，，，
，，
，
，，
点的坐标为，
若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，
则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为周，
绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合，
点与重合，
点的坐标为，
故选：．
作于，由菱形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，，则点的坐标为，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合，点与重合，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、点的坐标规律等知识；熟练掌握菱形的性质，求出点的坐标，找出规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，
故正确；
对称轴为直线，得，即，
故错误；
由图可知：当时，，
，
故正确；
当时，，
，
即，
故错误．
综上所述，有个结论正确．
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与轴轴的交点，综合判断即可．
本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】且 

【解析】解：根据题意，得：且．
解得且．
故答案为：且．
根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数是非负数以及零指数幂的性质解答．
本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件以及零指数幂，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
得，
则或，
解得，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少一个是方程的解的结果有，，，，，，，，，，共种，
所抽卡片上的数字至少一个是方程的解的概率为．
故答案为：．
由题意得，方程的解为，，画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽卡片上的数字至少一个是方程的解的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法、列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

13.【答案】无解 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组无解，
故答案为：无解．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
≌，
，
，
，
，
，
弧的长，
阴影部分的周长为：弧的长．
故答案为：．
由≌推出，由弧长公式求出弧的长，由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查勾股定理，弧长的计算，全等三角形的判定和性质，关键是证明≌得到．
 

15.【答案】或 

【解析】解：沿折叠和重合，
，
设，则，
当∽时，，
，，
，
解得：，
则，
当∽时，，即，
解得：，
则．
故CF或，
故答案是：或．
根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则，即可求出的长，得到的长．
本题主要考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先算乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

17.【答案】   

【解析】解：参加此次问卷调查的学生人数是：人；
故答案为：；
“作品”的人数为：人，
选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是：，
故答案为：；
补全条形统计图如图所示，

人．
答：估计七年级学生中选择“作品”的人数为人．
根据“作品”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；
用选择“作品”的学生数除以总人数，再乘以即可得出答案；
用总人数减去其它的人数，求出“作品”的人数，从而补全统计图；
用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
即点的坐标为：，
将、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；

从函数图象看，不等式的解集为：或；

分别以点、为圆心，以大于长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为的垂直平分线，

令，则，即点，
则的中垂线为，
当时，，
即点的坐标为： 

【解析】用待定系数法即可求解；
观察函数图象即可求解；
分别以点、为圆心，以大于长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为的垂直平分线，得到的中垂线为，即可求解．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质，不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
米，
答：老子铜像的高度为米． 

【解析】在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，然后列方程即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，

设，则，，
在中，，，
即，
解得，
，
为的直径，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
在中，，
，
或舍去． 

【解析】连接，由已知条件可得，结合，，可得，则，根据切线的判定定理即可得证；
设，则，，在中，结合勾股定理可求得的值，即可得，根据相似三角形的判定与性质推出，根据勾股定理进而可得出答案．
本题考查切线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质，并适当作辅助线．
 

21.【答案】解：设为常数，，
根据题意得，
，
解得，
；
设当该商品的售价是元件时，月销售利润为元，
根据题意得：


，
当时有最大值，最大值为，
答：当该商品的售价是元件时，月销售利润最大，最大利润是元；
当元时，，
解得，，
答：利润不低于时候的售价最少需要元． 

【解析】依题意设，用待定系数法即可得到结论；
设当该商品的售价是元件时，月销售利润为元，根据题意列出函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
 

22.【答案】解：抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为；
由，得或，
，，
，
，
，，
当时，，
，
，
此方程无实数解，
当时，，
解得：，，
或；
当，关于抛物线的对称轴对称时，满足条件，此时
过点作交抛物线于点，此时满足条件．
，，
直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
由，
解得或，

综上所述，满足条件的点的坐标为：或 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
利用方程组首先求出点坐标．由面积关系，推出点的纵坐标，再利用待定系数法求出点的坐标即可；
当，关于抛物线的对称轴对称时，满足条件，此时过点作交抛物线于点，此时满足条件．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
 

23.【答案】等腰   

【解析】解：如图，将矩形纸片沿折叠，点与点重合，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
由折叠得，
若是等边三角形，则，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
是等腰直角三角形，
证明：如图，由得，
，
，

，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
如图，连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，
，，，
，
，
点在上运动，
连接、、，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
当点落在矩形内部包括边时，则，，，
，
，
的取值范围是．
由折叠可知垂直平分，则，所以是等腰三角形，于是得到问题的答案；
当是等边三角形时，则，于是得到问题的答案；
因为，所以，而，则，所以，则是等腰直角三角形；
连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，则点在上运动，可求得，，，由，，，得，即可求得的取值范围是．
本题属于四边形综合题，考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．