江西省临川第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附答案）

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1. 已知直线与直线互相平行，则实数a值（ ）
A. B. 或1C. 2D. 1
2. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
3. 已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
4. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
6. 小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案.
A. 31B. 18C. 21D. 33
7. 正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）

A. 2B.
C. D. 4
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 对于事件，，若，则
B. 设随机事件和，已知，，，则
C. 已知，若，则
D. 若，随机变量，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 二项式的展开式中有理项的个数为4
B. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有48种
C. 已知，则
D 已知，则
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（ ）

A. 若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形
B. 若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为
C. 不存点，使
D. 与平面所成角的正切值最小为
12. 如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A. B. 以为直径的圆与直线相切
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是__________.
14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位:年）与维护费用单位:千元）之间有如表数据:
与之间具有线性相关关系,且关于的线性回归方程为（为常数）.据此估计,使用年限为年时,维护费用约为______千元.
15. 数列满足，则______.
16. 过点任作一条斜率的直线交椭圆于不同的两点M、N，点为点M关于x轴的对称点，则的面积的取值范围是________．
四、解答题：共本大题6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知数列满足，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
18. 数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y（单位：百人）的数据：
（1）根据第1至第5天的数据分析，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱（精确到小数点后三位）；
（2）根据第1至第5天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数．
（参考公式：相关系数，参考数据：
回归方程：，其中，）
19. 已知数列中，，且满足.设，.
（1）证明数列等比数列；
（2）求数列的前n项和.
20. ，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
（1）求前4局都不下场的概率；
（2）用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.
21. 如图，四棱锥的底面是菱形，点分别在棱上，．
（1）证明：平面；
（2）若二面角大小为120°，求与平面所成角的正弦值．
22. 已知抛物线：，直线，且点在抛物线上．
（1）若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程；
（2）若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率．使用年限年
维护费用千元
x
1
2
3
4
5
y
10
12
15
18
20