江西省临川第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟；满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出切点坐标，切点处的导数值，然后写出点斜式即可得到切线方程.
【详解】，切点为，
，
所以切线方程为，即
故选：B
2. 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全概率公式计算可得；
【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，
依题意可得，，，，，，
所以
.
故选：C
3. 在等比数列中，，则的值为（ ）
A. 48B. 72C. 147D. 192
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的性质即可求解.
【详解】数列是等比数列，则，
，故．
故选：C．
4. 某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ）
A. 0.14B. 0.22C. 0.2D. 0.26
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解.
【详解】因为数学考试成绩服从且，
所以，
又因为，
所以．
故选：B．
5. 已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.
【详解】根据题意，得，若有最小值，即在
上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：，
令，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C.
【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.
6. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（ ）
A. B. C. 2023D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，进而即得.
【详解】令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故选：A.
7. 已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及等差数列的通项公式，结合分母有理化及数列求和中的裂项相消法即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
,解得
.
故选：B．
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数比较大小关系，构造比较的大小关系，先验证，再相除并化简式子，构造函数即可比较的大小关系，则可求得答案.
【详解】令，则，
可得在单调递减，
故，即上恒成立，
则，即，
令，则，即在上单调递减，
所以，即得，
，，
令，
则，
令，则，
，
故使得，所以当时，，即在上为增函数，
又，所以当时，，
故，即单调递减，
又，所以,
即，所以，则，变形可得，
所以，故，综上：，
故选：A.
二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 有三个零点
B. 有两个极值点
C. 若方程有三个实数根，则
D. 曲线关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.
【详解】，
令解得，令解得或，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
因为，极大值，且极小值，
所以在有一个零点，共1个零点，A错误；
由A知，函数有两个极值点，故B正确；
由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增，
且时，，时，，
所以方程有三个实数根，需，即，故C正确；
因为，所以点在函数图象上，
又点关于点的对称点为，而，
即不是函数图象上的点，
故函数不关于点对称，故D错误.
故选：BC.
10. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ）
A. 服从二项分布B. 服从超几何分布
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC,由超几何分布的期望计算即可判断D.
【详解】依题意，等差数列公差，则通项为
，
由得，即等差数列前10项中有6个正数，
的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数，
因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确；
错误；
由题正确．
故选：．
11. （多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A. 不一定是偶数B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，先由特殊值进行归纳、猜想，可得答案；对于B，由题意，根据求和定义和数列特点，直接求和；对于C，先求前面几个式子成立，可得规律，解得答案；对于D，由题意，根据裂项相消的原理，可得答案.
【详解】对于A选项，为奇数，，
为偶数，则为奇数，为奇数，为偶数，…，
以此类推，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，故A不正确；
对于B选项，又，
，故B正确；
对于C 选项，，
，
以此类推，故C正确；
对于D选项，
，
所以，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知、的对应值如下表所示：
若与线性相关，且回归直线方程为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出、，根据回归直线方程经过样本中心点，代入计算可得.
【详解】由表可知，，
因为回归直线方程经过样本中心点，
所以，解得．
故答案为：．
13. 甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目，记事件A:甲和乙选择的项目不同，事件B:甲和乙恰好一人选择①，则_______．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据给定条件，求出事件和事件含有的基本事件数，再借助古典概率公式计算即得.
【详解】依题意，事件含有的基本事件数为，事件含有的基本事件数为，
所以.
故答案为：
14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数即可得出 ，令，利用导数即可求解.
【详解】由可得，即恒成立，
令，
则不等式可化：，
令，则，
所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.
所以，
故要使恒成立，只需，即，即，
令，所以，
令，则，
所以时，，在上单调递增，且当时，，
时，，在上单调递减，且当时，，
所以，
故.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件，.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
四．解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解；
（2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解.
【小问1详解】
因为，①
当时可得，即.
当时，，②
由①-②得，即，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
，
两式相减得，，
即，则，
故.
由，得，即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着增大而减小，
所以，即的取值范围为.
16. 跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表.
（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附：，其中.
（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望.
【答案】（1）没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）由题中所给数据求出，然后利用独立性检验的结论即可求解；
（2）由题意可得的所有可能取值分别为1，2，3，4，然后计算出对应的概率，利用期望公式即可求解,
【小问1详解】
假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关.
根据题意，由列联表中的数据，
可得，
因为，
所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联.
【小问2详解】
的所有可能取值分别为1，2，3，4.
；
；
；
，
所以的概率分布为：
所以.
所以的数学期望为.
17. 已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．
【答案】（1）答案见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）由，求出，然后根据变化时，，变化情况，得到的单调区间；
（2）根据条件，参变量分离得，令，利用导数求最值，即可得到的最大值．
【小问1详解】
的定义域为，，
当时，则，在上单调递增；
当时，由，得．
当变化时，，变化如下表：
综上，当时，无极值；
当时，有极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
，，
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，而，
在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
在的最小值为，
由，可得，
，
故整数的最大值为2．
18. 已知函数，.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若，且，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后分和讨论，当时又分为和讨论即可；
（2）求导后得到单调性找到零点，设，构造函数，求导分析单调性和零点，并设从而得到，再由单调性可证明结论.
【小问1详解】
.
①当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，解得或，
当即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当即时，在上单调递增，
当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，
恒成立，
在上单调递增，且，
设
，，
设，，
，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
，
，
不妨设，则，
，
，
，
在上单调递增，
，即.
【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，可根据所求不等式构造函数，求导分析单调性和零点，在实际问题中往往需要两次构造，分析.
19. 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
（1）若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
（2）设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①；②的最小值为4.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，得，
解得，则，
于是，即，
所以数列具有性质．
【小问2详解】
①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
则有，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
因此当时，恒成立，符合题意，
所以的最小值为4．
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
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