+山东省泰安市新泰市2023-2024学年九年级上学期第一次模拟数学试卷（五四制）+

这是一份+山东省泰安市新泰市2023-2024学年九年级上学期第一次模拟数学试卷（五四制）+，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，为最简二次根式的是( )
A. 12B. 2C. 4D. 12
2.遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( )
A. 25℃B. 15℃C. 10℃D. -10℃
3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 2，2，4B. 5，6，12C. 6，8，10D. 5，7，2
4.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x2)3=x6C. x2+x3=x5D. x2+x2=2x4
5.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )
A. 32°
B. 68°
C. 60°
D. 58°
6.将分式方程2x-2=1x去分母后得到正确的整式方程是( )
A. x-2=xB. x2-2x=2xC. x-2=2xD. x=2x-4
7.在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH.下列结论中：①AC⊥DE；②BEHE=12；③CD=2DH；④S△BEHS△BEC=DHAC；⑤S△ADE=2S△BCE．
正确的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O-A-B-C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往B地，两车同时到达B地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD.其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
10.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于( )
A. 815
B. 817
C. 12
D. 14
11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE//CB.若AB=10，CD=6，则DE的长为( )
A. 9 105
B. 12 105
C. 6
D. 245
12.如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 10-1
D. 13-1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1，2，3的完全相同的小球，随机摸出一个不放回，再随机地摸出一个小球，则摸出的两个小球号码之和等于4的概率是______．
14.分解因式：a2(a-3)+2a=______．
15.如图，从一个大正方形中截去面积分别为x2和y2的两个小正方形，若x=5+2 3，y=5-2 3，则图中留下来的阴影部分的面积为______．
16.如图，把长为a，宽为b的矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则ab=______．
17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为边BC(不含端点)上的任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD，DE，AE.设AC与DE交于点F，则线段CF的最大值为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(-1)2020+(π+1)0-4cs30+ 9．
19.(本小题8分)
如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C'处，BC'与AD相交于点E.求证：EB=ED．
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=2 5，BD= 5，射线AE与直线CD交于点P．
(1)求证：△ABE∽△CBD；
(2)若AB/​/ED，求tan∠PAC的值；
(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．
22.(本小题8分)
某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示：
(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量.(注：总成本=每吨的成本×生产数量)
23.(本小题8分)
如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D．
(1)求证：△EAC∽△ECB；
(2)若DF=AF，求AC：BC的值．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
(1)求证：GD为⊙O切线；
(2)求证：DE2=EF⋅AC；
(3)若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、原式= 22，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式=2，不符合题意；
D、原式=2 3，不符合题意；
故选：B．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查有理数的减法，用最高气温减去最低气温即可．
【解答】
解：25-15=10(℃)．
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：A、2+2=4，不能够组成三角形；
B、5+6<12，不能构成三角形；
C、6+8=14>10，能构成三角形；
D、5+2=7，不能构成三角形．
故选：C．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故A错误；
B、(x2)3=x6，故B正确；
C、x2+x3=x5，不能合并，故C错误；
D、x2+x2=2x2，故D错误；
故选：B．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项进行计算即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°-∠1=58°．
故选：D．
本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
6.【答案】C
【解析】解：去分母得：2x=x-2．
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
7.【答案】C
【解析】解：∵AD/​/BC，∠ABC=90°
∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
∵∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
AE=AD∠BAC=∠CADAC=AC，
∴△ACD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°，
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM//BC，
∴△AMH∽△ABC，
∴MHBC=AHAC，
∵∠DAC=∠ADH=45°，
∴DH=AH，
∴MHBC=DHAC，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴S△BEHS△BEC=MHBC=DHAC，故④正确，
设AE=a，BE=b，
∴AB=a+b，
∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=a+b，
∵AE=AD，∠BAD=90°，
∴DE= 2a，S△ADE=12AD⋅AE=12a2，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=DC=CE= 2a，
∵EC2=BC2+BE2，
∴(a+b)2+b2=2a2，
∴b2+ab=a22，
∵S△BEC=12BE×BC，
∴S△BEC=12×b(b+a)=a24，
∴S△ADE=2S△BEC，故⑤正确，
故选：C．
在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正确；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因为∠ECB=15°，所以EC≠4EB，所以BEHE≠12不成立②错误；根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过H作HM⊥AB于M，所以HM//BC，所以△AMH∽△ABC，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④正确，设AE=a，BE=b，用a，b分别表示S△ADE=12AD⋅AE=12a2，S△BEC=12×b(b+a)=a24，可判定⑤正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质；此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：乙车的速度为3004=75千米/时，故①错误；
甲车再次出发后的速度为300-604-1-3660=100千米/时，故②正确；
由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确；
∵甲车再次出发时，乙车行驶了75×(1+3660)-60=120-60=60千米，故④正确，
故选：C．
根据速度=路程÷时间列式计算即可得解．
本题考查了函数的图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵当▱ABCD的面积最大时，AB⊥BC，
∴▱ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AC=BD，故③错误，④正确；
∴∠A+∠C=180°；故②正确；
∴AC= AB2+BC2=5，故①正确．
故选：B．
由当▱ABCD的面积最大时，AB⊥BC，可判定▱ABCD是矩形，由矩形的性质，可得②④正确，③错误，又由勾股定理求得AC=5．
此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．注意证得▱ABCD是矩形是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=90°，CD=AB=2cm，
∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，
∴△CDM≌△HDN(ASA)，
∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM=MD，
∵sinα=sin∠DMC=CDMD，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD=KM=acm，则CM=8-a(cm)，
∵MD2=CD2+MC2，
∴a2=4+(8-a)2，
∴a=174(cm)，
∴sinα=sin∠DMC=CDMD=2174=817，
故选：B．
由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD=DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数定义等知识；求MD的长是本题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE/​/BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴DG=MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM=EM=12DE，BN=CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE/​/CB．
∴CH=DH=12CD=3，
∴OH= OD2-DH2= 52-32=4，
∴BH=9，
∴BC= BH2+CH2=3 10，
∴BN=12BC=3 102，
∴ON= OB2-BN2= 102，
∵sin∠BCH=BHBC=DGCD，即93 10=DG6，
∴DG=9 105，
∴MN=DG=9 105，
∴OM=MN-ON=13 1010，
∴DM= OD2-OM2=9 1010，
∴DE=2DM=9 105．
故选：A．
设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：如图所示，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，取BC的中点F，连接EF，
过D'作D'G⊥BC于G，交CB的延长线于G，
∵BE⊥CP，
∴Rt△BCE中，EF=12BC=1，
∵D'G=DC=2，BG=BC=2，
∴GF=2+1=3，
当D'，Q，E，F在同一直线上时，D'Q+QE+EF的最小值等于D'F的长，此时QD+QE+EF的值最小，
∵Rt△D'GF中，D'F= D'G2+GF2= 22+32= 13，
∴QD+QE的最小值为D'F-EF= 13-1，
故选：D．
作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，取BC的中点F，连接EF，过D'作D'G⊥BC于G，交CB的延长线于G，当D'，Q，E，F在同一直线上时，D'Q+QE+EF的最小值等于D'F的长，此时QD+QE+EF的值最小，根据勾股定理进行计算，即可得到QD+QE的最小值．
本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13.【答案】13
【解析】解：(1)根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为26=13，
故答案为：13．
画树状图列举出所有情况，让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】a(a-1)(a-2)
【解析】解：原式=a[a(a-3)+2]
=a(a2-3a+2)
=a(a-1)(a-2)，
故答案为：a(a-1)(a-2)．
先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式即可．
此题考查的是因式分解-十字相乘法和提公因式法，借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
15.【答案】26
【解析】解：∵截去的两个小正方形的面积是x2和y2，
∴小正方形的两个边长分别是x和y，
∴大正方形的面积是：(x+y)2，
∴阴影部分面积是：(x+y)2-x2-y2=2xy，
∵x=5+2 3，y=5-2 3，
∴阴影部分面积是：2xy=2×(5+2 3)×(5-2 3)
=2×[52-(2 3)2]
=2×(25-12)
=2×13
=26．
故答案为：26．
根据截去的两个小正方形的面积是x2和y2，得出小正方形的两个边长分别是x和y，从而表示出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得出留下阴影部分面积．
此题考查了二次根式的应用，掌握正方形的面积公式，用x，y表示出各边的长是本题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：设圆锥的底面的半径为r cm，则DE=2r cm，AE=AB=(a-2r)cm，
根据题意得90π(a-2r)180=2πr，
解得r=a6，
则a=6r，
则ab=6r6r-2r=32．
故答案为：32．
设圆锥的底面的半径为r cm，则DE=2rcm，AE=AB=(a-2r)cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到90π(a-2r)180=2πr，解方程求出r，然后计算ab即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】154
【解析】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30°．
∵∠ACM=∠ACB，
∴∠B=∠ACM=30°．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠ABC=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°.即∠DAE=120°．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=30°；
∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD．
∴ADAC=AFAD．
∴AD2=AF⋅AC．
∴AD2=5AF．
∴AF=AD25．
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD=12AB=52．
∴AF最短=AD25=54．
∴CF最长=AC-AF最短=5-54=154．
故答案为：154．
利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，根据AA证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到AF=AD25，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18.【答案】解：(-1)2020+(π+1)0-4cs30°+ 9
=1+1-4× 32+3
=1+1-2 3+3
=5-2 3．
【解析】首先计算乘方、零指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
19.【答案】证明：由折叠可知：∠CBD=∠EBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED．
【解析】由平行的性质和折叠的性质可得∠CBD=∠EDB=∠EDB，可得EB=ED．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
20.【答案】(1)证明：连结OA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA．
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC//OA.
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
(2)解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=8cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=6cm.
在Rt△ODF中，OD= OF2+DF2=10cm，
即⊙O的半径为10cm．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，属于中档题．
(1)得出∠OAD=∠EDA，证得EC/​/OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F.从而证得四边形AOFE是矩形，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
21.【答案】(1)证明：∵，∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠CBD，
∵AB=6，BC=3，EB=2 5，BD= 5，
∴ABCB=EBBD=2，
∴△ABE∽△CBD．
(2)解：如图，设DE交BC于M．
∵AB//DE，∠ABC=90°，
∴∠DMB=∠ABC=∠DMC=90°，
在Rt△DEB中，∵∠EBD=90°，BE=2 5，BD= 5，
∴DE= BE2+DB2= (2 5)2+( 5)2=5，
BM=BE⋅BDDE=2 5× 55=2，
∴DM= BD2-BM2= 5-4=1，
∴CM=CD=1，CD= 2，
∴∠CDM=∠DCM=45°，
∵△ABE∽△CBD，
∴AECD=ABBC=2，∠CDB=∠AEB，
∴AE=2 2，
∵∠AEB+∠PEB=180°，
∴∠CDB+∠PEB=180°，
∵∠EBD=90°，
∴∠APC=90°，
∴PE=PD= 22DE=5 22，
∴PC=PD-CD=3 22MPA=PE+AE=9 22，
∴tan∠PAC=PCPA=13．
(3)由(2)可知当点P与C重合时，PA的值最大，最大值PA=AC= AB2+BC2= 62+32=3 5，
如图，当AE在AB的下方且与⊙B相切时，∠CAP的值最大，此时PA=AC⋅cs∠CAP的值最小，
∵∠BEP=∠DPE=∠DBE=90°，
∴四边形BEPD是矩形，
∴BD=PE= 5，
∵AE= AB2-BE2= 62-(2 5)2=4，
∴PA的最小值为4- 5，
【解析】(1)根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
(2)如图，设DE交BC于M.想办法证明∠P=90°，求出PC，PA即可解决问题．
(3)由(2)可知当点P与C重合时，PA的值最大，最大值PA=AC= AB2+BC2= 62+32=3 5，如图，当AE在AB的下方且与⊙B相切时，∠CAP的值最大，此时PA=AC⋅cs∠CAP的值最小，解直角三角形求出PA的最小值即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：(1)设函数解析式为：y=kx+b，将(0,10)，(40,6)分别代入y=kx+b得：
10=b6=40k+b，
解得：k=-110b=10，
∴y=-110x+10(0≤x≤40)；
(2)由(-110x+10)x=210，
解得：x1=30，x2=70，
∵0≤x≤40，
∴x=30，
答：该产品的生产数量是30吨．
【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
(2)直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△ECA∽△ECB；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，即：CD/​/AE
∴CDAE=DFAF，
∵DF=AF，
∴CD=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，
∴BE=2AE，
∵△ECA∽△EBC
∴AECE=CEBE=ACBC
∴CE2=AE⋅BE=12BE2，
即：CEBE= 22
∴ACBC= 22．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；
(2)由CD/​/AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB，得到对应边成比例，即可得出AC：BC的值．
本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD/​/AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴GD为⊙O切线；
(2)证明：如图2，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD，∠EAD=∠BAD，
∴BD=DE=CD，
∵DF⊥AC，
∴CF=EF，
∵∠CFD=∠CDA=90°，∠FCD=∠ACD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAD，
∴CDAC=CFCD，
即CD2=CF⋅AC，
∴DE2=EF⋅AC；
(3)解：如图2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，tan∠ABC=tan∠C=ADBD=2，AB=5，
∴BD=DC= 5，
∵在Rt△CDF中，tan∠C=2，
∴CF=1，由(2)知，EF=CF，
∴EF=CF=1，CE=2，
∴AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3．
【解析】(1)连接OD，证明OD/​/AC，由DG⊥AC，可得OD⊥DF，则结论得证；
(2)连接AD，先证明DE=CD，证明Rt△CDF∽Rt△CAD，则结论得证；
(3)求出BD=DC= 5，求出EF，CE长，则AE长可求．
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题，属于中考常考题型．