2023-2024学年江苏省苏州市八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 两组对角分别相等
3.某中学为了解七年级名学生的睡眠情况，抽查了其中的名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是( )
A. 以上调查属于全面调查B. 总体是七年级名学生
C. 所抽取的名学生是总体的一个样本D. 每名学生的睡眠时间是一个个体
4.在一个不透明的袋子中装有个红球，个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出个球，下列事件中，必然事件是( )
A. 至少有一个球是白球B. 至少有一个球是红球
C. 至少有两个球是红球D. 至少有两个球是白球
5.如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加下列选项中的
( )
A. B.
C. D.
6.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.正方形的边长为，将该正方形绕顶点在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在平行四边形中，如果，那么的度数是 度．
10.一个不透明袋子里装有个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出个球，若两个球中至少有一个球是白球是必然事件，则 ．
11.在期末体育体能考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有名学生，达到优秀的有人，合格的有人，则这次体育考核中不合格人数的频率为 ．
12.如图，已知点，，，，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合点与点重合，点与点重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
13.如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则 度．
14.如图，在纸片中，，将纸片绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，若的度数为，则的度数为 ．
15.如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．
16.如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：如图，的对角线，相交于点，点、分别在，上，且，求证：．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
将先左平移个单位、再向下平移个单位，请画出平移后；
将绕着点旋转，请画出旋转后
若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
在平面直角坐标系中存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标是___________．
19.本小题分
如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．

求证：四边形为菱形；
如果，求的度数．
20.本小题分
为了了解年某地区万名大、中、小学生分钟跳绳成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了的学生进行检测．整理样本数据，并结合年抽样结果，得到下列统计图．
本次检测抽取了大、中、小学生共______名，其中小学生______名；
根据抽样的结果，估计年该地区万名大、中、小学生，分钟跳绳成绩合格的中学生人数为______名；
比较年与年抽样学生分钟跳绳成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
21.本小题分
在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
上表中的________，________；
“摸到白球的”的概率的估计值是________精确到；
如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
22.本小题分
如图，已知．
请在的右上方确定一点，使，且；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，，求四边形的面积．
23.本小题分
如图：在中，点、分别在、上，且．

求证：、互相平分；
连接、，若平分，且，，则四边形的面积为______．
24.本小题分
如图，四边形中，，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到，与相交于点，与相交于点．

求证：；
若，试求的值．
25.本小题分
在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为．

取何值时，四边形为矩形？
是上一点，且，取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
26.本小题分
如图，在正方形中，，点为射线上异于一点，连接，在的右侧作，交射线于点，连接．

若，
填空： ；
求证：；
当点在线段上运动时，的度数是否变化？若不变，求出的度数，若变化，说明理由；
若，求线段的长．
27.本小题分
如图，已知正方形的边长为，，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为．
如图，当时，______；如图，当点在边上运动时，______；
当时，求的值；
若点是边上一点且，连接．
在正方形的边上是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
点在运动过程中，为等腰三角形，求出此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【详解】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不合题意；
D、是中心对称图形，故D符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查了菱形和矩形的相关性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．菱形四边相等；
菱形对角线相互垂直平分且平分一组对角；菱形的对边平行、对角相等邻角互补；菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据矩形及菱形的性质，逐一分析即可进
行解答．
【详解】解：、菱形和矩形两组对边都分别平行，故A选项不符合题意；
B、菱形对角线不相等，故B选项不符合题意；
C、菱形对角线互相垂直，矩形对角线互相不垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和矩形两组对角都分别相等，故D选项不符合题意．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B.总体是七年级名学生的睡眠情况，故B不符合题意；
C.所抽取的名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C不符合题意；
D.每名学生的睡眠时间是一个个体，故D符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】事件发生的可能性大小逐项判断即可．
【详解】解：、至少有一个球是白球，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、至少有一个球是红球，是必然事件，故此选项符合题意；
C、至少有两个球是红球，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、至少有两个球是白球，是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定定理；根据平行四边形的性质可得，，则，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
A.添加条件，不能根据证明，故该选项不正确，不符合题意；
B.已知，不能证明，故该选项不正确，不符合题意；
C.添加条件，则，即，根据证明，故该选项正确，符合题意；
D.添加条件，不能证明，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识点，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理．
【详解】四边形是矩形，
，
，
，
将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，
，
，
，
，
解得，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，可得，根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点在与平行且与的距离为的直线上，从而可得当点在边上时，的值最小，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
四边形是正方形，
，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
点在与平行且与的距离为的直线上，
当点在边上时，最小且，
的最小值为，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】设交于点，连，由旋转得，，，可证明，得，在上截取，连接，可证明，则，所以，则，可求得，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点，连，
四边形是边长为的正方形，
，，
由旋转得，，，
，，，
在和中，
，
，
在上截取，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．

9.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等，结合条件可求得答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，且，
，
，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】从小到大假设黑球的个数，探讨所有的等可能结果，做出判断．
【详解】若，根据实验方法，摸出两个球，则至少有一个白球；
若，根据实验方法，摸出两个球，则存在可能结果：摸出两个黑球，不符合题意．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了频数与频率，解题的关键是明确频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比先求得不合格人数，再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可．
【详解】解：不合格人数为人，
这次体育考核中不合格人数的频率为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是理解对应点相连的线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：先连接，，
分别作线段，的垂直平分线，其相交于一点，即点
易知
设点的横坐标为，
则，
因为，
所以，
解得
则旋转中心的坐标为．
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】先根据菱形的性质得，，再根据直角三角形的性质得，进而得出，根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，．
，
，
．
又，
．
在中，，
在中，，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后利用三角形外角性质计算的度数．
【详解】解：纸片绕点按逆时针方向旋转，得到，
，
，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】将绕点顺时针旋转得到由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：

由旋转不变性可得：，，
且，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需最大，而在中，，
当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为，
此时，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为，然后再求出，即可得出当最小时，的周长．
【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接，
过点作于点，过点作于点，

四边形为正方形，且边长为，
，，
点为的中点，
，
和均为等边三角形，，
，，，，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
，
，
，
当点与点重合时，为最小，
即为最小，最小值为，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理的，
，
的周长为：．
即当最小时，的周长为．
故答案为：．
17.【答案】证明：连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．连接、，由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，证明四边形是平行四边形，得出对边平行，即可得出结论．
18.【答案】


解：如图所示：对称中心为，
故答案为：．

解：因为点使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，
如图所示：点的坐标为、、．
故答案为：、、．

【解析】【分析】本题考查平移作图，根据题干条件，先平移关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
本题考查旋转作图，作图关键在于找准旋转中心，旋转角和旋转方向，先旋转关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
本题考查对称中心的概念，对应点连线的交点即是对称中心．
本题考查平行四边形的判定，根据判定即可解题．
19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
．
是的角平分线，
．
．
．
四边形是菱形．
解：中，．
．

【解析】【分析】由对边平行可证四边形是平行四边形，求证，于是，故四边形是菱形．
由三角形内角和定理，得，得．
20.【答案】解：本次检测抽取了大、中、小学生人数为：名，
其中小学生人数为：名，
故答案为：；；
解：本次检测抽取了中学生人数分别为人，
分钟跳绳成绩合格的中学生人数为名，
故答案为：；
比较年与年，年某地区中学生分钟跳绳成绩合格率上升，小学生上升．

【解析】【分析】根据题意和扇形图提供的信息即可解答；
先计算出样本中中学生人数，及条形图中年中学生分钟跳绳成绩合格率，即可解答；
根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
21.【答案】解：，．
故答案为：，；
解：“摸到白球的”的概率的估计值是；
故答案为：；
解：个．
答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球．

【解析】【分析】利用频率频数样本容量直接求解即可；
根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近；
根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
22.【答案】解：如图，
点为所求点；
解：过点作垂直于，垂足为，
，，
，
，
，，
，
，
，四边形是梯形，
，
四边形是矩形，
，
四边形的面积为，
答：四边形的面积为．

【解析】【分析】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
先作，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点；
由题意可知四边形是梯形，利用直角三角形的性质求出的长，求出梯形的面积即可．
23.【答案】证明：，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
、互相平分；
，
，
平分，
，
，
，
四边形为菱形，
四边形的面积为．
故答案为：．

【解析】【分析】证明四边形为平行四边形，即可得证；
先证明四边形为菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可．
24.【答案】证明：将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，则，，
，
，
，，
，
即；
解：连，

，
．
，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后，得到，则，，
，
在中，，
在中，，
．

【解析】【分析】根据题意得出，根据三角形内角和定理可得，从而得出结论；
连，根据题意得出，根据勾股定理求出的长，然后证明，根据勾股定理可得的长，则结果可得．
25.【答案】解：由题意可知，，则，，则，
，即，
当时，四边形为平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
则有，解得，
答：时，四边形为矩形；
解：，是上一点，即，
当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】【分析】根据平行四边形的判定，当时，四边形为平行四边形，又由，平行四边形是矩形，列出方程求解即可；
是动点，点在点的左边和右边所构成的四边形都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可．
26.【答案】解：四边形是正方形，
，
，，
，
，
故答案为：；
四边形是正方形，
，
，
，
，
，即，
，
；
解：的度数不变，为定值，理由如下：
如图所示，过点作于，则，
同理可证明，
又，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
的度数不变，为定值；

解：如图，当点在上时，
，
，
由可知，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；

如图所示，当点在延长线上时，
过点作交延长线于，
同理可证，
，，
同理可证，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；
综上所述，或．


【解析】【分析】根据正方形的性质得到，则由平行线的性质可得，则由平角的定义可得答案；根据正方形的性质得到，再证明，得到，推出，即可证明，推出；
如图所示，过点作于，则，先证明得到，，再证明，得到，即可得到；
分点在上和点在的延长线上，过点作交直线于，仿照通过证明两次三角形全等推出，再在中，由勾股定理建立方程求解即可．
27.【答案】解：如图所示，，
；
如图所示，点在边上运动，
；
故答案为：，；
解：由得：点在边上运动时，面积，
只有当点在边或边上运动时，，
当点在边上运动时，
，
，
解得，，
即；
当点在边上运动时，
，
，
解得：，
；
综上所述，当时，或；
解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图，当点在上时，

假设，则有，
，即．
如图，当点在上时，，

，
，
综上所述，或时，使得与全等．
，
，
如图，当点在上时，为等腰三角形，
，
，
；
如图，当点在上时，为等腰三角形，
，
，
；
如图，当点在上时，为等腰三角形，
，
在的垂直平分线上，
三线合一定理，平行线间间距相等，
；
综上所述，为等腰三角形，此时的值为或或．

【解析】【分析】由，可得，然后由，求得答案；直接由，求得答案；
由已知得只有当点在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案；
分两种情况，当点在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于的方程求解即可；分当点在上时，为等腰三角形，当点在上时，为等腰三角形，当点在上时，为等腰三角形，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率