2023-2024学年江苏省苏州市昆山市新镇中学八年级（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市昆山市新镇中学八年级（上）月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，▵ABC与▵A′B′C′关于直线l对称，且∠A=30∘，∠B′=42∘，则∠C等于( )
A. 70∘B. 72∘C. 88∘D. 108∘
3.下列四种图形中，对称轴条数最多的是( )
A. 等边三角形B. 正方形C. 圆D. 直角三角形
4.到三角形各顶点距离相等的点是( )
A. 三条边垂直平分线交点B. 三个内角平分线交点
C. 三条中线交点D. 三条高交点
5.下列各组图形中，一定全等的是( )
A. 各有一个角是45∘的两个等腰三角形
B. 两个等边三角形
C. 各有一个角是40∘，腰长3cm的两个等腰三角形
D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
6.如图，▵ABC≌▵DBE，点E在线段AC上，∠C=70∘，则∠ABD的度数为
( )
A. 30∘B. 40∘C. 45∘D. 50∘
7.如图，在▵PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42∘，则∠P的度数为( )
A. 84∘B. 90∘C. 92∘D. 96∘
8.如图，在▵ABC中，AB=AC,BC=4，面积是14，AC的 垂直平分线EF分别交AC,AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为( )
A. 21B. 7C. 6D. 3.5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD=_____ cm．
11.如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有_________个．
12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是_____．
13.如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=38°，则∠AOC的度数为______．
14.如果等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为34∘，那么等腰三角形的顶角为___________ 度．
15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度．
16.如图，在第1个▵A1BC中，∠B=30∘，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个▵A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2023个三角形中以A2023为顶点的底角度数是___________．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，已知OA和OB是两条公路，C，D是两个村庄，建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC=MD，且M到OA，OB两条公路的距离相等．请用尺规作图法作出点M的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题8.0分)
如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与▵ABC关于直线l成轴对称的▵A′B′C′；
(2)▵ABC的面积是_________________．
(3)在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，为______．
19.(本小题8.0分)
已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO.求证：

(1)▵ABO≌▵DCO；
(2)∠OBC=∠OCB．
20.(本小题8.0分)
如图1，▵ABC中，AB=AC，点D在AB上，且AD=CD=BC．
(1)求∠A的大小；
(2)如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H，求证：CD垂直平分线段EF．
21.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD/​/BC，∠A=90∘,BC=BD,CE⊥BD，垂足为E.求证：
(1)ΔABD≌ΔECB；
(2)∠DBC=2∠DCE．
22.(本小题8.0分)
如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
(1)求证：ME=MF．
(2)若∠A=50°，求∠FME的度数．
23.(本小题8.0分)
如图，▵ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
(1)求证：BD=CE；
(2)若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．
24.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=BC，∠B=60°，E是 BC边上一点．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AED=60°，求证：CE=CD；
(2)如图2，若∠EAD=60°，求证：△AED是等边三角形．
25.(本小题8.0分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，AC=4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．

(1)AE=______，∠ACD=______度；
(2)当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长；
(3)若▵CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；
(4)若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度___________．
26.(本小题8.0分)
已知，如图，在▵ABC中，AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D，
(1)如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若∠DAC=60∘时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称的性质可得▵ABC≅▵A′B′C′，从而得到∠B=∠B′=42∘，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵▵ABC与▵A′B′C′关于直线l对称，
∴▵ABC≅▵A′B′C′，
∴∠B=∠B′=42∘，
∵∠A=30∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=108∘．
故选∶D．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质和三角形内角和定理，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．
【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；
正方形有4条对称轴；
圆有无数条对称轴；
直角三角形不一定是称对轴图形；
经比较知，圆的对称轴最多．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的判定，即可求解．
【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、两个等腰三角形的45∘不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、40∘角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知可以判断两个三角形的全等的有：“SSS,SAS,AAS,ASA,HL”是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠C=∠BEC，∠EBC=∠ABD，
∵∠C=70∘，
∴∠BEC=70∘，
∴∠EBC=180∘−70∘−70∘=40∘，
∴∠ABD=40∘，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等、对应边相等”是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】由条件可证明▵AMK≌▵BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．
【详解】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，AM=BK∠A=∠BAK=BN,
∴△AMK≌△BKNSAS，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=42∘，
∴∠P=180∘−∠A−∠B=180∘−42∘−42∘=96∘，
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的 判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKNSAS是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】连接AD，由AB=AC，点D是BC边的中点可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，AM，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=14，
解得AD=7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
9.【答案】3265
【解析】【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，
故答案为：3265．
【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．
10.【答案】5
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=12AC．
【详解】解：∵∠ABC=90°，点D为AC的中点，
∴BD=12AC=12×10=5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解．
【详解】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有4个．
故答案为4．
【点睛】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形．
12.【答案】15
【解析】【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
【详解】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是：12×DE×BC=12×10×3=15，
故答案为15．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键是要认真细致不要出错．
13.【答案】76 °
【解析】【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2∠A+∠C，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG=52∘−∠A，∠COF=52∘−∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180∘，计算即可求解．
【详解】如图，连接BO并延长，
∵l1、l2分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90∘，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90∘−38∘=52∘，
∴∠AOC=∠2+∠3=2∠A+∠C，
∵∠OGD=∠A+∠AOG,∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG=52∘−∠A，∠COF=52∘−∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180∘，
∴52∘−∠A+2∠A+2∠C+52∘−∠C+38∘=180∘，
∴∠A+∠C=38∘，
∴∠AOC=2∠A+∠C=76∘，
故答案为：76∘．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，掌握整体思想与数形结合思想的应用是解题关键．
14.【答案】56或68或124
【解析】【分析】作出图形，分高与腰长的夹角和腰长与底边的夹角根据直角三角形两锐角互余和等腰三角形两底角相等解答．
【详解】解：如图1，∵腰上的高与另一边的夹角为34∘，
若∠ABD=34∘，
∴∠A=90∘−∠ABD=90∘−34∘=56∘；
若∠CBD=34∘，则∠C=90∘−34∘=56∘，
∴顶角∠A=180∘−2×56∘=68∘；
如图2，∠ABD=34∘，
顶角∠BAC=34∘+90∘=124∘．
综上所述，等腰三角形的顶角为56或68或124．
故答案为：56或68或124．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，等腰三角形两底角相等的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
15.【答案】32
【解析】【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE=12AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
16.【答案】75∘22022
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B=30∘，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30∘+∠BA1C+∠C=180∘，那么∠BA1C=12×150∘=75∘；由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2，根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=12∠BA1C=12×12×150∘，以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】解：∵∠B=30∘，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30∘+∠BA1C+∠C=180∘，
∴2∠BA1C=150∘，
∴∠BA1C=12×150∘=75∘，
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2，
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，
∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×12×150∘，
同理可得：∠EA3A2=12∠BA1C=12×12×12×150∘，
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是12n×150∘=12n−1×75∘，
∴以A2023为顶点的内角度数是122022−1×75∘=75∘22022．
故答案为：75∘22022．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
17.【答案】见解析
【解析】【分析】根据建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC=MD，则M在线段CD的垂直平分线上；再由M到OA，OB两条公路的距离相等，则M又在∠AOB的角平分线上，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接CD，分别以C、D为圆心，以大于CD长的 一半为半径画弧，二者交于G、H，连接GH；以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别与OA，OB交于E、F，再分别以E，F为圆心，以大于EF长的一半为半径画弧，二者交于点P，连接OP并延长与GH交于M，点M即为所求．
【点睛】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质．
18.【答案】(1)图见解析
(2)3
(3)图见解析

【解析】【分析】(1)直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用割补法即可得出答案；
(3)利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【小问1详解】
解：如图，根据题意，可得：
点A、B、C关于直线l对称的点分别为点A、B′、C′，连接AB′、AC′、B′C′，
则△AB′C′即为所作．
【小问2详解】
S▵ABC=2×4−12×2×2−12×2×1−12×1×4
=8−2−1−2
=3．
故答案为：3．
【小问3详解】
如图，连接B′C交直线l于点P，连接BP，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴直线l垂直平分BB′，
∴BP=B′P，
∴PB+PC=PB′+PC=B′C，
这时PB+PC的长最短，
∴点P即为所作．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
19.【答案】(1)见详解 (2)见详解
【解析】【分析】(1)由已知条件，结合对顶角相等可以利用AAS判定▵ABO≌▵DCO；
(2)由等边对等角得结论．
【小问1详解】
在▵ABO和▵DCO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠DCOAB=DC,
∴▵ABO≌▵DCOAAS；
【小问2详解】
由(1)知，▵ABO≌▵DCO，
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，在做题时要牢固掌握并灵活运用，熟练掌握常见的判定三角形全等的方法是解答本题的关键．
20.【答案】(1)∠A=36∘
(2)见解析

【解析】【分析】(1)先设出∠A的度数，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可；
(2)先求出∠ACD=∠BCD=36∘，利用“AAS”证明▵CED≌▵CFD，即可完成求证．
【详解】(1)解：设∠A=x∘，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=x∘，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2x∘，
又∵CD=BC，
∴∠B=∠CDB=2x∘，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=2x∘，
∵∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴x+2x+2x=180，
∴x=36，
∴∠A=36∘．
(2)证明：由(1)知∠ACB=2x∘=72∘，
∴∠ACD=∠BCD=36∘，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED=∠CFD=90∘，
在▵CED和▵CFD中，
∠ACD=∠BCD∠CED=∠DFCCD=CD,
∴▵CED≌▵CFDAAS，
∴CE=CF，DE=DF，
∴CD垂直平分线段EF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线定义、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的判定，解决本题关键是能正确找到相等关系建立方程以及能正确利用全等三角形的性质和判定进行求证．
21.【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解

【解析】【分析】(1)因为AD/​/BC，可知∠ADB=∠EBC，且∠A=90∘,BC=BD,CE⊥BD，所以根据三角形全等的判断方法之角角边即可求证；
(2)设∠DBC=2α，根据平行的性质，直角三角形，等腰三角形的性质可求出∠BDC=∠BCD=180∘−2α2=90∘−α，再根据Rt▵DEC可求出∠DCE=90∘−∠BDC，由此即可求证．
【小问1详解】
证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠EBC，
又∵CE⊥BD,∠A=90∘，
∴∠A=∠BEC
在Rt▵ABD和Rt▵ECB中，∠A=∠CEB∠ADB=∠EBCBD=BC,
∴▵ABD≌▵ECB(AAS)．
【小问2详解】
证明：设∠DBC=2α，
∵BC=BD，即等腰三角形BDC，
∴∠BDC=∠BCD=180∘−2α2=90∘−α ①
又∵CE⊥BD，
∴∠DEC=90∘，
在Rt▵DEC中，∠DCE=90∘−∠BDC②
将①式代入②式得：∠DCE=90∘−(90∘−α)=α
∴∠DBE=2∠DCE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判断，直角三角形两锐角互余，掌握三角形全等的判断，直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明见解析(2)80°．
【解析】【详解】试题分析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=12BC，MF=12BC，得到答案；
(2)根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
试题解析：(1)证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME=12BC，MF=12BC，
∴ME=MF；
(2)解：∵CF⊥AB，∠A=50°，
∴∠ACF=40°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴B、C、E、F四点共圆，
∴∠FME=2∠ACF=80°．
考点：1.直角三角形斜边上的中线；2.等腰三角形的判定与性质．
23.【答案】(1)证明见解析；(2)2
【解析】【分析】(1)连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=EP，然后利用“HL”证明RtΔBDP和RtΔCEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
(2)利用“HL”证明RtΔADP和RtΔAEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【详解】(1)证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP=EP，
在RtΔBDP和RtΔCEP中，
BP=CPDP=EP,
∴RtΔBDP≅RtΔCEP(HL)，
∴BD=CE；
(2)解：在RtΔADP和RtΔAEP中，
AP=APDP=EP,
∴RtΔADP≅RtΔAEP(HL)，
∴AD=AE，
∵AB=6cm，AC=10cm，
∴6+AD=10−AE，
即6+AD=10−AD，
解得AD=2cm．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
24.【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】【分析】(1)根据AB=BC，∠B=60°得三角形ABC为等边三角形，再根据等边三角形的性质得AE⊥BC，进而证明∠EDC=∠DEC即可；
(2)连接AC，根据两条线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理得∠ADC=120°−∠BAE，∠AEB=120°−∠BAE，即可证明△ABE≌△ACD，进而得结论．
【详解】(1)∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°=∠BAC，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠DEC=30°，
∵AB // CD，
∴∠ACD=∠BAC=60°，
∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=120°，
∴∠CDE=180°−120°−30°=30°，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD．
(2)如图：连接AC，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AB // CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD=60°，
∴∠ADC=180°−∠EAD−∠EAB=120°−∠EAB．
在△ABE中，∠AEB=180°−∠B−∠EAB=120°−∠EAB，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴AE=AD，
∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是准确作辅助线．
25.【答案】(1)4；45
(2)4
(3)90∘或45∘或67.5∘
(4)2

【解析】【分析】(1)根据题意可得∠B=30∘，则AB=2AC=8，即可求得AE的长，再根据CD平分∠ACB，即可求得∠ACD的度数；
(2)根据轴对称图形的性质可得答案；
(3)根据题意可得∠PCD=45∘，分三种情况：PC=PD，DP=DC，CP=CD，再结合三角形内角和定理即可求解；
(4)过点M作MP⊥BC，点P关于CD的对称点P′，根据题意可得∠PCM=∠P′CM，CM=CM，根据AAS，可得▵PCM≌▵P′CM，则PM=P′M，CP=CP′，因此MP+ME=MP′+ME≥EP′，以此得点E，M，P′三点共线时，MP+ME的值最小，此时EP′//BC，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【小问1详解】
解：∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∴∠B=180∘−∠ACB−∠C=30∘，
∴AB=2AC=8，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=12AB=4
∵ CD平分∠ACB，
∴∠ACD=12∠ACB=45∘，
故答案为：4；45．
【小问2详解】
解：∵四边形ACPD为轴对称图形，CD平分∠ACB，
∴对称轴为直线CD，
∴CP=CA=4．
【小问3详解】
解：∵CD平分∠ACB，∠ACB=90∘，
∴∠PCD=45∘．
当PC=PD时，∠PDC=∠PCD=45∘，
∴∠CPD=180∘−45∘−45∘=90∘；
当DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45∘；
当CP=CD时，∠CPD=∠CDP=180∘−45∘÷2=67.5∘．
综上所述，∠CPD的度数为90∘或45∘或67.5∘．
【小问4详解】
解：如图，点M在CD上，且MP⊥BC，作点P关于CD的对称点P′，

∵MP⊥BC，
∴MP′⊥AC，
∵ CD平分∠ACB，
∴∠PCM=∠P′CM，
在▵PCM和▵P′CM中，
∠MPC=∠MP′C∠PCM=∠P′CMCM=CM,
∴▵PCM≌▵P′CM(AAS)
∴PM=P′M，CP=CP′
∵MP+ME=MP′+ME≥EP′，
∴当点E，M，P′三点共线时，MP+ME的值最小，
又∵根据垂线段最短，
∴当EP′⊥AC时，EP′有最小值，
∴EP′//BC，
∴∠AEP′=∠B=30∘，∠AP′E=∠ACB=90∘
∵AE=4，
∴AP′=12AE=2，
∴CP=CP′=AC−AP′=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
26.【答案】(1)∠BAD+∠BCD=180∘，理由见解析；
(2)BD=AB+BC，理由见解析．

【解析】【分析】(1)过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA于点H，根据HL可证明▵ADH≌▵CDG，可得∠HAD=DCG，得出∠BAD+∠BCD=180∘；
(2)在BD上截取BF=AB，证明▵ABF为等边三角形，△ADC为等边三角形，再证明▵ABC≌▵AFD，可得出DF=BC，则BD=BF+DF=AB+BC．
【小问1详解】
解：∠BAD+∠BCD=180∘，理由如下：
过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA于点H，如图所示：
∵AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D，
∴AD=DC，∠ABD=∠DBC，
∴DH=DG，
∴▵ADH≌▵CDG(HL)，
∴∠HAD=∠DCG，
∵∠BAD+∠HAD=180∘，
∴∠BAD+∠DCG=180∘，
即∠BAD+∠BCD=180∘，
【小问2详解】
解：BD=AB+BC，理由如下：
在BD上截取BF=AB，连接AF，如图所示：
由(1)可知，∠BAD+∠BCD=180∘，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∵AD=DC,∠DAC=60∘，
∴▵ADC为等边三角形，
∴∠ADC=60∘,AD=DC，
∴∠ABC=180∘−∠ADC=120∘，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60∘，
又∵AB=BF，
∴▵ABF为等边三角形，
∴AB=AF=BF,∠BAF=60∘，
又∵∠DAC=∠BAF+∠CAF=60∘，
∠BAF=∠BAC+∠CAF=60∘，
∴∠BAF=∠BAC，
在▵ABC和▵AFD中，
AB=AF∠BAC=∠DAFAD=AC,
∴▵ABC≌▵AFD(SAS)，
∴DF=BC，
∴BD=BF+DF=AB+BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．