人教版九年级数学上册同步精品课堂 21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系（课件）

这是一份人教版九年级数学上册同步精品课堂 21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系（课件），共26页。

一元二次方程的根与系数的关系1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？解下列方程并完成填空：（1）x2+5x+6=0; (2)x2+3x-4=0; (3)x2+6x+8=0.23561-4-3-4-2-4-68 三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0  这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.  于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？根据求根公式可知，由此可得因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2（1）解：a=1，b=-6，c=-15. Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=6,x1x2=-15.例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 不解方程，求下列方程两根的和与积：(1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x (3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1 例2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2. 所以：x1•x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7.答：方程的另一个根是 ，k=－7.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=6， 即：x2=5. 由于x1•x2=1×5= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.例3.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2 =0 的两个实数根，且x12+x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2 ≥ 0 即-8k+4≥ 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1), x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得 k1=0 , k2=4 .经检验,k2 =4 不合题意，舍去.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知： 总结常见的求值:【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.※一元二次方程的根与系数的关系如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )A.1 B.5 C.-5 D.62.以3, -1为根，二次项系数为3的一元二次方程是( )3x2-2x+3=0 B.3x2+2x-3=0C.3x2-6x-9=0 D.3x2+6x-9=0BC3.如果关于y的方程y2+2 (m-1)y-9=0的两实数根互为相反数，那么m的值是( )A.1 B. -1 C.0 D.±14.关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为倒数，则p，q应满足的条件为( )A.q=1 B.q=1且p2-4>0 C.p=1 D.q=1且p2-4≥0AD5.如果关于x的一元二次方程5x2+mx-10=0的一根是-2,那么另一个根是_____,m的值为_____.6.已知: x1、x2是方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=2，则a= ____，b=_____.7.关于x的方程2x2+(m2-9)x+m+1=0，当m=_____时,两根互为倒数;当m=_____时，两根互为相反数.15 21-39．已知m，n是关于的一元二次方程 的两个根，若 ，则a的值为________．4048-2