人教版九年级数学上册同步精品课堂 21.2.4 一元二次方程的解法（三）公式法（课件）

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一元二次方程的解法（三） --公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.（重、难点）1.用配方法解一元二次方程的一般步骤？(1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.用配方法解下列方程：解：移项，得x2－2x=3,配方，得x2－2x+12=3+12 ,(x－1)2=4由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2+2x=1,即x－1=±2 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？系数化为1，得解:移项，得配方，得即接下来能用直接开平方解吗？①∵a≠0,4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）（1）b2-4ac＞0时，这时 ，由①得 ①方程有两个不等的实数根 ∵a≠0,4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）①（2）b2-4ac=0时，这时 ，由①可知，方程有两个相等的实数根 ∵a≠0,4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）①（3）b2-4ac＜0时，一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 例1.用公式法解下列方程： 解：(1) a=1，b=-4，c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0 方程有两个不等的实数根 即  例1.用公式法解下列方程： 解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0.a=5，b=-4，c=-1.Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0 方程有两个不等的实数根 即 例1.用公式法解下列方程： 解：(4) 方程化为x2-8x+17=0.a=1，b=-8，c=17.Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0 方程无实数根 .【点睛】公式法解方程的步骤：一化:化已知方程为一般形式;二定:用a,b,c写出各项系数;三求:b2-4ac的值;四判：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.用公式法解下列方程：解：(1) a=1，b=1，c=-6. Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0 方程有两个不等的实数根 即  用公式法解下列方程： 解：(3)方程化为3x2-6x-2=0. a=3，b=-6，c=-2. Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0 方程有两个不等的实数根 即 B【分析】解：∵一元二次方程 有实数根，∴ ，得 且 解得 且 ．【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.已知一元二次方程 有实根，a的取值范围是（ ）A． B． 且 C． D． 且B例3.已知关于x的一元二次方程 ．求证：方程一定有两个实数根．证明：方程 ，其中a=k，b=k+3，c=3，∴Δ=b2-4ac=(k+3)2-4×3k=k2-6k+9=(k-3)2，∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根，即方程一定有两个实数根．已知关于x一元二次方程 ．求证：方程总有两个不相等的实数根．例4.已知关于x的一元二次方程 ．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．（1）证明：∵ 中a=1，b=-k，c=k-1∴∵∴∴无论k取何值，该方程总有实数根.例4.已知关于x的一元二次方程 ．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．（2）若2为等腰三角形的腰，则另一边也为2，即2为方程的一个根将x=2代入 有4-2k+k-1=0解得k=3则方程为解得x1=2，x2=1等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．例4.已知关于x的一元二次方程 ．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．若2为等腰三角形的底，则两根为腰且相等，有即解得k=2则方程为解得x1=x2=1等腰三角形三边长为2，1，1，1+1=2，不符合三角形三边关系，故k=2舍去．综上所述k的值为3．已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．一、求根公式：二、公式法解方程的步骤：一化: 化已知方程为一般形式; 二定: 用a,b,c写出各项系数;三求: b2-4ac的值; 四判：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根.（b2-4ac≥0）一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ= b2-4ac.当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.