2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题08奇偶性对称性与周期性（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题08奇偶性对称性与周期性（学生版），共12页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
【考点预测】
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【常用结论】
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【方法技巧】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
4.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
5.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
6.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称.
7.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
8.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
9.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
10.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
二、【题型归类】
【题型一】判断函数的奇偶性
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0；))
(3)f(x)＝lg2(x＋eq \r(x2＋1))．
【典例2】若函数f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
【典例3】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x， x＜0，,－x2＋x，x＞0.)) 判断函数的奇偶性．
【题型二】函数奇偶性的应用
【典例1】函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
【典例2】已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
【典例3】已知函数f(x)＝eq \f(\r(9－x2),|6－x|－6)，则函数f(x)( )
A．既是奇函数也是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数
D．是偶函数，但不是奇函数
【题型三】利用函数性质求解析式
【典例1】已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若当x∈[0，2]时，f(x)＝x，试求x∈[4，8]时函数f(x)的解析式．
【典例2】设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)．当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
【典例3】已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【题型四】函数的周期性及应用
【典例1】已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
【典例2】设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝( )
A.－eq \f(9,4) B.－eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D.eq \f(5,2)
【典例3】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
【题型五】函数的对称性
【典例1】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
【典例2】已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝eq \f(2x＋1,x)，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________.
【典例3】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝________.
【题型六】单调性与奇偶性综合应用
【典例1】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【典例2】已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
【典例3】设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________________．
【题型七】周期性与奇偶性综合应用
【典例1】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（1－x），0≤x≤1，,sinπx， 1＜x≤2，)) 则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,6)))＝________.
【典例2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
【典例3】函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________.
【题型八】对称性与周期性综合应用
【典例1】(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在[－6，－3]上单调递减
C.f(x)关于x＝3对称
D.f(100)＝9
【典例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x＋2)是偶函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x，则f(－2 022)＋f(2 023)＝( )
A.－3 B.－2 C.1 D.0
【典例3】(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x＋3)是偶函数 D.f(x)＝f(x＋4)
【题型九】利用函数的性质解不等式
【典例1】已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)A．(0，e2) B．(e－2，＋∞)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
【典例2】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．
【典例3】定义在R上的奇函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝，则f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
三、【培优训练】
【训练一】(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．令f(x)＝x－[x]，以下结论正确的有( )
A．f(－1.1)＝0.9
B．函数f(x)为奇函数
C．f(x＋1)＝f(x)＋1
D．函数f(x)的值域为[0,1)
【训练二】已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
【训练三】已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，求x的取值范围．
【训练四】已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有eq \f(f（a）＋f（b）,a＋b)＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
【训练五】设常数a≥0，函数f(x)＝eq \f(2x＋a,2x－a).根据a的不同取值，讨论函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由．
【训练六】设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cs x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f(x)＝eq \r(x) B．f(x)＝eq \f(1,x2)
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cs x
2. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )
A．－3 B．－eq \f(5,4) C.eq \f(5,4) D．3
3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))时，f(x)＝
lg2(－3x＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．lg27
4. 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5. 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(lg2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))∪(eq \r(2)，＋∞) D．(eq \r(2)，＋∞)
6. 已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(0)B．f(－6.5)C．f(－1)D．f(－1)7. 若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)<0，则( )
A．f(3)C．f(－2)8. 已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C．[－1，1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
【多选题】
9. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
10. 若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝eq \f(ex＋e－x,2) B．g(x)＝eq \f(ex－e－x,2)
C．f(－2)11. 如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
12. 函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
【填空题】
13. 已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．
14. 若函数f(x)＝eq \f(x,（x＋2）（x－a）)为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．
15. 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
16. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．
【解答题】
17. 设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
18. 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
19. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
20. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
21. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
22. 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称