2025届高考数学一轮知识清单专题04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题04 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（解析版），共40页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15127" 题型一：奇偶性基础 PAGEREF _Tc15127 \h 1
\l "_Tc29980" 题型二：单调性基础 PAGEREF _Tc29980 \h 5
\l "_Tc12833" 题型三：周期性基础 PAGEREF _Tc12833 \h 7
\l "_Tc19908" 题型四：中心与轴对称应用：左右平移 PAGEREF _Tc19908 \h 9
\l "_Tc1779" 题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 PAGEREF _Tc1779 \h 11
\l "_Tc27284" 题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 PAGEREF _Tc27284 \h 14
\l "_Tc14295" 题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 PAGEREF _Tc14295 \h 17
\l "_Tc13962" 题型八：中心与轴对称应用：中心对称 PAGEREF _Tc13962 \h 19
\l "_Tc23086" 题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 PAGEREF _Tc23086 \h 22
\l "_Tc22135" 题型十：中心与轴应用：“隐对称点” PAGEREF _Tc22135 \h 24
\l "_Tc6322" 题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” PAGEREF _Tc6322 \h 26
\l "_Tc9904" 题型十二：函数型不等式：“优函数”型 PAGEREF _Tc9904 \h 30
\l "_Tc8034" 题型十三：类周期型函数 PAGEREF _Tc8034 \h 32
\l "_Tc12391" 题型十四：“放大镜”函数类周期性质 PAGEREF _Tc12391 \h 36
题型一：奇偶性基础
判定函数的奇偶性的常见方法：
（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；
（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）：
1.加减型：
奇+奇→ 奇
偶+偶→ 偶
奇-奇→ 奇
偶-偶→ 偶
奇+偶→ 非
奇-偶→ 非
2.乘除型（乘除经验结论一致）
奇X奇→ 偶
偶X偶→ 偶
奇X偶→ 奇
奇X偶X奇→ =偶
简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变
3.上下平移型：
奇+c→ 非
偶+c→ 偶
4.复合函数：
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为奇函数，则 f [g(x)]为 奇 函数
若 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，则 f [g(x)]为 偶 函数
1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】若，则，
则是偶函数，故A错误；
若，则,则是偶函数，故B错误；
若，则，则是奇函数，故C正确；
若，则，
则是偶函数，故D错误.
故选：C
2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可得，解得，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.故选：B.
3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.
【详解】由题可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii) 若，在单调递增，满足题意；
(iii) 若，则对称轴恒成立；
综上，，故选：B.
4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数， 是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把
转化为，求解的最小值可得.
【详解】因为是的奇函数，所以，所以；
因为，所以可得，
此时，易知为增函数.
因为
所以，即，
因为，所以.故选A.
5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
题型二：单调性基础
单调性的运算关系：
①一般认为，－f(x)和eq \f(1,fx)均与函数f(x)的单调性 相反 ；
②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；
单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：
①eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ；
②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1