考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类（解析版）

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考点08 函数的奇偶性、周期性和对称性5种常见考法归类

考点一 函数的奇偶性及其应用
（一）函数奇偶性的判断
（二）抽象函数的奇偶性
（三）函数奇偶性的应用
（1）已知函数的奇偶性求函数值
（2）局部奇偶函数
（3）已知函数的奇偶性求解析式
（4）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
（5）应用奇偶性画函数图象
（6）利用函数的奇偶性求最值
考点二 函数的周期性及其应用
考点三 类周期函数
考点四 函数的对称性及其应用
考点五 函数性质的综合应用
（一）函数的单调性与奇偶性结合
（二）函数的奇偶性与周期性结合
（三）函数的单调性与对称性结合
（四）函数单调性、奇偶性和周期性结合
（五）函数单调性、奇偶性和对称性结合
（六）函数奇偶性、周期性和对称性结合
（七）函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性结合


1、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
注：
①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x)
②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x)
③判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
④常用的两个等价关系
①f(x＋a)为偶函数⇔f(－x＋a)＝f(x＋a)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.
②f(x＋a)为奇函数⇔f(－x＋a)＝－f(x＋a)⇔f(x)的图象关于点(a，0)对称.
⑤由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
⑥对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
(i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
⑦奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）
若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数.
⑧若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
⑨利用性质法来判断奇偶性(共同定义域上)
（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：
奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；偶函数奇函数=非奇非偶函数
记忆口诀：加减看自身
奇函数奇函数偶函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数奇函数
；
记忆口诀：乘除看正负
（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）
⑩复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.


2、熟记常见函数的奇偶性

奇函数
偶函数
幂函数= 非零常数可看成偶函数


或
具体如：


或





或
（也可以写成或）
具体如：

；




与都是偶函数




3、判断函数奇偶性的方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．　
4、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解；
(2)求函数解析式：利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式；
(3)求解析式中的参数值：
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．　
(4)应用奇偶性画图象和判断函数单调性
①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．
②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
（5）利用函数的奇偶性求最值
①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则
②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。

5、函数的单调性与奇偶性相结合
（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．
（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解．　


6、函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。
周期函数f(x)满足的条件
周期

a
f(x＋a)＝f(x－a)
2a
f(x＋a)＝－f(x－a)
4a
f(x＋a)＝－f(x)
2a

2a

2a
关于直线x＝a与x＝b对称或
2|b－a|
偶函数，关于直线x＝a对称或
2a
关于点(a,0)与点(b,0)对称或
2|b－a|
奇函数，关于对称或

关于直线x＝a与点(b,0)对称或
4|b－a|
奇函数，关于直线x＝a对称或
4a
偶函数，关于对称或
4a

4a




7、周期性的应用
（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。

8、类周期函数
（1）类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．

类周期函数图象倍增函数图象
（2）倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．

9、抽象函数图象的对称性
函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称. 函数图象的对称性主要包括函数图象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称).
(1)一个函数的自对称
①轴对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，函数为偶函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 特别地，当a＝0时，f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数. 推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点对称.
(2)两个函数的互对称
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.
②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
③函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
④互为反函数的两个函数关于直线对称。

10、函数的对称性常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(4)若，则函数关于点对称．

11、函数的的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a (2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a (3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.



考点一 函数的奇偶性及其应用
（一）函数奇偶性的判断
1．（2023春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）下列函数为偶函数且在 上为减函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的性质逐项分析.
【详解】对于A， 是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， 是偶函数，并且在 时是减函数；
对于D， 是偶函数，但在 时是增函数；
故选：C.
2．（2023·上海嘉定·统考二模）函数是（    ）
A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.
故选：B
3．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数，则（    ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】C
【分析】判断的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调性.
【详解】函数的定义域为R，
因为，所以函数为奇函数，
又因为函数在R上都是减函数，
所以函数在R上是减函数.
故选：C.
4．（2023·高一单元测试）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得.
【详解】选项A: 因为的定义域为R，
又，
所以是奇函数，故A错误；
选项B: 因为的定义域为R，
又，
所以是偶函数，故B错误；
选项C: 因为的定义域为R，
又，
所以是奇函数，故C正确；
选项D: 因为的定义域为R，
又，
所以是偶函数，故D错误.
故选：C.
5．【多选】（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数，则下列结论正确的有（    ）．
A．为奇函数
B．为偶函数
C．，当时，
D．，
【答案】ABD
【分析】对于A、B：根据奇偶性的定义分析判断；对于C：构建，利用导数判断单调性，分析判断；对于D：构建，利用导数求原函数的最值，分析判断.
【详解】对于A、B：因为的定义域为R，
且，，
所以为奇函数，为偶函数，
故A，B正确；
对于B：构建，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，故
即在上恒成立，则在上单调递增，
不妨令，则，即，
整理得，且，
则，C不正确；
对于D：构建，则，
当且仅当，即时等号成立，
故在上单调递增，则，D正确．
故选：ABD.
（二）抽象函数的奇偶性
6．（2023·浙江台州·统考二模）若定义在上的函数满足：，，且，则满足上述条件的函数可以为___________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一也可）
【分析】根据题意可得函数为偶函数，可取，在证明这个函数符合题意即可.
【详解】令，则，
所以，所以函数为偶函数，
可取，则，
所以，，
所以函数符合题意.
故答案为：.（答案不唯一也可）
7．【多选】（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ）
A． B．是偶函数
C．关于中心对称 D．
【答案】BC
【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.
【详解】令，则或，故A错误，
若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，所以关于中心对称，故C正确，
由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，
令，则，故，
进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.
故选：BC
8．（2023·广西玉林·统考三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ）
A．是偶函数 B．是R上的减函数
C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为
【答案】C
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
9．【多选】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（    ）
A．
B．是偶函数
C．为增函数
D．当，且，时，
【答案】ACD
【分析】通过对赋值可以确定A、B选项的正误，C选项利用单调性的定义来判断，D选项中令，则，把递推式代入函数式得是等比数列.
【详解】因为定义在上，且满足恒成立，
令，即，解得，故A正确；
再令，则，故，故是奇函数，又，
所以函数一定不是偶函数，故B错误；
任取，且，则．
因为，所以，
所以，由于，所以，，
所以．
因为，，所以，，
即在区间上单调递增．故C正确；
对于D，因为，，
因为，当且仅当时，即时等号成立；
所以，所以，又，所以．
令，则．
令，则，所以．
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
（三）函数奇偶性的应用
（1）已知函数的奇偶性求函数值
10．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是偶函数，当时，，则________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.
【详解】因为当时，，
所以当时，，
所以，
函数是偶函数，
所以，
所以，
故答案为：.
11．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习）函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________.
【答案】
【分析】由奇函数有，再求，利用奇函数性质，即可求值.
【详解】由题设，，故时，
所以，故.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且当x＞0时，，则______.
【答案】－1
【分析】根据偶函数的性质求出时函数的解析式，求导计算即可.
【详解】设时，则，
，
，
.
故答案为：－1
（2）局部奇偶函数
13．（2023春·湖南·高一校联考开学考试）已知，若，则______.
【答案】4042
【分析】由得.
【详解】由题意，，
故，.
故答案为：4042.
14．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知函数，若，则（    ）
A． B．2022 C．2023 D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性可得函数函数是奇函数，进而，结合题意即可求解.
【详解】设，
则，
即函数是奇函数，，
则，
而，所以.
故选：C.
（3）已知函数的奇偶性求解析式
15．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶函数的性质可求得函数在时的解析式.
【详解】因为是上的偶函数，当时，，则.
故选：C.
16．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义，并结合时，，即可求得答案.
【详解】当时，，
因为当时，，
所以①，
又因为为奇函数，所以②，
结合①，②得，，则.
故选：B
17．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质即可算出答案.
【详解】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故选：C
18．（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数则__________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解.
【详解】当时，，，
则．
故答案为：.
19．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求得曲线在时的解析式，再利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程.
【详解】设，则，由为偶函数，且当时，，
可得，则，
则，
则曲线在点处的切线方程是，即
故选：C
20．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________.
【答案】或
【分析】先求出时的解析式，然后分，，分别解不等式即可.
【详解】当时，，
由得
或或，
解得或
故答案为：或
21．【多选】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）
A．当时， B．，都有
C．的解集为 D．的单调递增区间是，
【答案】BD
【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案.
【详解】对于A，当时，，则，
函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误；
对于B，当时，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，
当时，，，则；
当时，，，则，
综上，当时，，
因为函数是奇函数，所以，
当时，，故B正确；
对于C，由B可知，当时，，，
则；
当时，，，则，
因为函数是奇函数，所以当时，；当时，，
因为函数是奇函数，所以，
综上，不等式，其解集为，故C错误；
对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减，
因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减；
当时， 单调递增，故D正确.
故选：BD.
22．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数的奇偶性得到，，再结合题意即可求出的表达式．
【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，
所以，，
因为①，
则②，
所以①+②得，
所以．
故选：A．
23．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
24．（2023·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．
【答案】6
【分析】根据奇偶性得到，再联立求解得，，从而原不等式等价于，设，分离参数结合基本不等式即可求解.
【详解】因为为偶函数，为奇函数，  ①，
所以，即  ②，
由①②得，．
则不等式
等价于，
整理得．
令，则，当且仅当，即时取等号，
于是原不等式等价于，
而，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以实数的最大值为6．
故答案为：
【点睛】方法点睛：
求有关不等式恒成立问题，一般有三种方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数的图象求解．
（4）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
25．（2023·陕西榆林·统考三模）若奇函数，则__________．
【答案】6
【分析】根据函数为奇函数，求得a的值，再代入求值即得答案.
【详解】依题意为奇函数，
,即，
可得，即，故，
则，
故答案为：6
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
【答案】1
【分析】利用奇函数的性质进行求解.
【详解】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
27．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则_________
【答案】/或/或
【分析】利用奇函数求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，
所以由可得，
即，整理得，解得，
经检验，当或时，满足，
故答案为：
28．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则___________．
【答案】/2.5
【分析】利用偶函数的性质求解，代入求解即可.
【详解】解：因为函数是偶函数，故，即，解得.
故，则.
故答案为：.
29．（2023·全国·高三专题练习）函数是偶函数的充分必要条件是（    ）．
A． B．
C．且 D．，且
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证时情况即可判断作答.
【详解】显然函数定义域为R，
因是偶函数，即，亦即，
整理得，而不恒为0，因此，，即且，
当时，也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
30．（2023·上海·高三专题练习）若函数是偶函数，则的单调递增区间是___________
【答案】
【分析】由函数为偶函数，以及偶函数定义域关于原点对称，故，结合二次函数的性质判断即可.
【详解】由题意，函数的定义域为，
若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故，
即，
由于为开口向上的二次函数，对称轴为，
故函数的单调递增区间为：.
故答案为：
31．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
32．（2023·上海长宁·统考二模）若函数为奇函数，则实数a的值为___________．
【答案】1
【分析】先求出函数的定义域，再由，代入求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
解得：，
所以由函数为奇函数，
则，由，
解得：.
故答案为：.
33．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若函数是偶函数，则__________．
【答案】1
【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得的值即可.
【详解】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
34．（2023·安徽·校联考二模）设，则“”是“为奇函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
35．（2023·内蒙古包头·二模）若是奇函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.
【详解】若是奇函数，可得，
则
，
可得，解得，所以.
故选：A.
36．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）若函数是偶函数，则_______，____.
【答案】
【分析】由可得.根据偶函数定义域的对称性，即可得出.求出并化简可得，根据偶函数的性质，即可得出恒等式，即可得出.
【详解】由可得.
当，即时，该不等式解集为.
因为函数是偶函数，
则由偶函数的性质，可得定义域关于原点对称，所以，所以，
定义域为；
当，即时，该不等式解集为，不满足题意，舍去；
当，即时，该不等式解集为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，舍去.
综上所述，.
所以.
又，
由可知，，
所以有.
因为，所以，所以.
故答案为：；.
（5）应用奇偶性判断函数图象
37．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）函数的部分图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.
故选：B
38．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）函数的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先得到函数的定义域、奇偶性，再利用导数说明函数在上的单调性，利用排除法即可判断.
【详解】函数的定义域为， 又，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D；
又当时，则，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
且，，故排除C；
故选：A
39．（2023·全国·模拟预测）函数的部分图象为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定函数为奇函数，排除BD，当时，，排除A，得到答案.
【详解】的定义域为，
，故为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，D；
又时，，，，故，排除A．
故选：C．
（6）利用函数的奇偶性求最值
40．（2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模）若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（    ）
A．2016 B．2017 C．4032 D．4034
【答案】C
【分析】先计算得到，再构造函数，判断的奇偶性得出结论．
【详解】解：令得，，
令得，
，
令，则，，
，
是奇函数，
，即，
．
故选：C．
41．（2023春·四川内江·高一威远中学校校考期中）关于的函数的最大值为，最小值为 ，且 ，则实数的值为____．
【答案】
【分析】计算对称，可知函数的图象关于点对称，可得出，即可得出实数的值.
【详解】因为
，
设函数的定义域为，
对任意的，，则，即，
所以，函数的定义域关于原点对称，
所以，，
所以，函数的图象关于点对称，
所以，函数图象的最高点和最低点也关于点对称，
所以，，解得.
故答案为：.
考点二 函数的周期性及其应用
42．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则 （    ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【答案】A
【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.
【详解】由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
故选：A
43．（2023春·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数对于任意实数满足，若，则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由已知推出函数的周期，求出的值，利用函数的周期即可求得答案.
【详解】因为函数对于任意实数满足，
所以，
即4为函数的周期，
由，，得，
故，
故选：C
44．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）若函数满足，且当时，，则（    ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以.
又因为，所以，
当时，，所以，
所以.
故选：B.
45．（2022春·山东聊城·高三聊城二中校考开学考试）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________.
【答案】/-0.4
【分析】根据函数的周期性及可得的值，进而利用周期性即可求解的值.
【详解】解：因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上,
所以，，
又，即，解得，
所以，
故答案为：.
46．（2021春·高一课时练习）函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式.
【答案】
【分析】根据函数的周期性求得正确答案.
【详解】依题意，函数是以4为周期的周期函数，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，…，，则（    ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可得，，，则为迭代周期函数，故，即可求解.
【详解】由，
知，，．
则为迭代周期函数，
故，则，
所以．
故选：A．
考点三 类周期函数
48．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由是奇函数，是偶函数，求出，再根据，作出函数的图象即可求解.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，则，所以，
同理：当时，，
以此类推，可以得到的图象如下：

由此可得，当时，，
由，得，解得或，
又因为对任意的，恒成立，
所以，所以实数的最大值为.
故选：B.
【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题.
49．（2023春·湖南·高一校联考期中）定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据已知可得出函数在区间以及区间上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设，以及.进而根据已知条件，推出函数在内的解析式，进而求解即可得出的值，进而得出的取值范围.
【详解】由当时，，可得的图象在该区间内关于直线对称；
由当时，，可得的图象在该区间内关于点对称.
结合已知条件，作出函数的部分图象如下图

由图象可设，且时，都有，且.
设，则，.
因为，当时，，所以，.
当时，，所以.
又函数满足，
所以，，
所以，.
令，解得，即.
所以，.
故答案为：
考点四 函数的对称性及其应用
50．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设所求函数的图象上任意一点，求得关于对称的点为，代入已知函数，即可求解.
【详解】设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为，
由题意知点Q在的图象上，可得，
即函数关于对称的函数解析式为．
故选：D．
51．（2023春·全国·高三竞赛）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（    ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求函数关于直线对称的函数解析式，再利用解析式相等，求的值.
【详解】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得.
故选：D
52．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.
【答案】1
【分析】利用赋值法结合所给已知条件即可解决问题.
【详解】因为， 令
所以，
所以，
又的图像关于直线对称，
所以，
令，
则，
即，
所以.
故答案为：1.
53．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）若函数；且，则______.
【答案】7
【分析】由题得，，得到方程组，解出即可.
【详解】，，，
即，解得，故，
此时，

故答案为：7.
54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出的值，计算得出，即可求得所求代数式的值.
【详解】对任意的，，
因为，则，
因此，.
故选：C.
考点五 函数性质的综合应用
（一）函数的单调性与奇偶性结合
55．（2023·陕西·统考一模）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质及条件，得到的单调性，再结合函数的对称性、和即可求出结果.
【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增，所以函数在上也单调递增，
又因为，所以，不等式等价于或，
即或，得到．
故选：D．
56．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意不等式等价于，再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
57．（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【分析】判断的奇偶性、单调性，结合已知不等关系得，即可求范围.
【详解】由，且定义域为R，
所以为奇函数，则，
根据在R上均为减函数，故也为减函数，
所以，则.
故答案为：
58．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
【答案】
【分析】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
59．（2023·江苏·统考一模）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导函数证明在单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】当时，，
因为，所以恒成立，
所以在单调递增，
又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，
所以，
所以由可得，解得，
故选:D.
60．（2023·陕西西安·统考一模）若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集为，则符合题意的一个函数解析式为______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】先化简条件“不等式的解集为”，再结合奇函数和单调性写出解析式.
【详解】因为的解集为，
所以时，的解为；时，的解为；
又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，
所以的解析式可以为答案不是唯一的，符合题意即可.
故答案为：（答案不唯一）
61．（2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的函数（m为实数）是偶函数，记，，，则a、b、c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由偶函数的性质可得的值，即可得函数的解析式，分析函数单调性，结合对数的运算性质比较大小.
【详解】（m为实数）是R上的偶函数，
∴，即，
∴，即，
∴，则，此时，
，，，则．
故选：B
62．（2023·全国·模拟预测）已知函数，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得为奇函数，将问题转化为恒成立，再由，转化为恒成立，然后利用的单调性求解.
【详解】由，得．
因为的定义域为R，，
所以为奇函数，
因此．
又，
所以．
当时，单调递增，而为奇函数，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，解得，
故的取值范围为．
故选：D.
（二）函数的奇偶性与周期性结合
63．（2023·甘肃武威·统考一模）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________.
【答案】
【分析】由题可得，周期为4，据此可得答案.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得.
又，所以，则，
即是以4为周期的周期函数，
故.
故答案为：.
64．（2023·全国·高三专题练习）函数在上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为__________ ．
【答案】0
【分析】根据函数的奇偶性得到的周期为4，根据奇函数得到，计算得到答案.
【详解】，即，
令，则，即有，
，故，函数周期为，
故，
为奇函数，故，，故，
故.
故答案为：
65．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.
所以函数的周期为.
因为是定义域为的奇函数，
所以，即.
令，则，解得，
所以.
故答案为：.
66．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）若函数的图象关于原点对称，且，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据奇偶性及计算可得.
【详解】解：由题可知，当时，，且，
由题意知为奇函数，则，
又，，
则.
故选：A.
67．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________.
【答案】
【分析】先判定为定义在上的奇函数，则解出，再由判定函数是周期为4的周期函数，从而，最后结合奇偶性即可求解
【详解】由题意知为定义在上的奇函数，，即.
因为，所以，所以函数的周期为4，则.
因为，为奇函数，
所以.
故答案为：
68．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．
【答案】，.
【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解.
【详解】当，即，所以，
又为偶函数，所以，所以，
又是以为周期的周期函数，
于是当，即时，有，
所以，，
，.
（三）函数的单调性与对称性结合
69．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小.
【详解】的图象关于对称，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以.
故选：B.
70．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断的对称性与单调性，再利用中间值法得，最后利用单调性比较大小即可.
【详解】因为，
所以的对称轴为，则有，
又当时，得，
而和均在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，
又，
，即，
所以，即.
故选：A
71．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ）
A． B．周期
C．在单调递减 D．满足
【答案】AC
【分析】根据题意化简得到，得到的周期为,结合，求得，得到A正确，B错误；再由的对称性和单调性，得出在单调递减，可判定C正确；根据的周期求得，，，结合特殊函数的值，可判定D不正确.
【详解】由，可得的对称轴为，所以
又由知：，
因为函数图像关于对称，即，故，
所以，即，
所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误；
因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，
又图像关于对称，所以在上单调递增，
因为关于对称，所以在上单调递减，
又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确；
根据的周期为，可得，
因为关于对称，所以且，
即，
由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增，
确定的单调区间内均不包含，若，
所以不正确.
故选：AC.
【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
72．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列判断正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在时单调递增．由注意到，则，代入已知表达式可得，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果．
【详解】解：设，则，
对任意的都有；
则，则在上单调递增；
则，；
因为，
，
，所以关于对称，
在上单调递增；
，所以，，所以错误；
，又由对称性知，
，，即，所以B错误；
，，，所以C错误；
，，，
，，所以D正确．
故选：D．
（四）函数单调性、奇偶性和周期性结合
73．（2022·高一课时练习）定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件及函数奇偶性，可得函数周期性，然后利用函数的周期性，奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可.
【详解】解：
，
即函数的周期是8，
则，
，
，
为奇函数，且在上是增函数，
则在上是增函数，
，
即.
故选：B.
74．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据的奇偶性，单调性以及周期性，可将三个函数值 转化到区间中，根据在的单调性即可比较函数值的大小.
【详解】，

时，单调递增；
，
，单调递增；




，，
综上所述，
.
故选：A.
75．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及奇函数的性质，利用函数的周期性和单调性即可求解.
【详解】因为为上的奇函数,
所以，解得，
所以当时，
当时，单调递增，
又因为为奇函数，
所以当时，单调递增.
由，即，于是，
所以是以周期为的一个周期函数，
所以
把代入可得，，
所以，即.
因为在上单调递增，
所以
所以.
故选：C.
（五）函数单调性、奇偶性和对称性结合
76．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
77．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的大致图象，如下：

由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为.
故选：B.
78．（2023·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（    ）
A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增
C． D．函数在上单调递减
【答案】C
【分析】根据函数对称性可得解析式，由此可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，则图象关于对称，
当时，，，
，作出图象如下图所示，

由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误；
在上单调递减，B错误；
，C正确；
在上单调递增，D错误.
故选：C.
79．【多选】（2023秋·湖北十堰·高一统考期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ）
A．的对称中心为
B．的对称轴为直线
C．
D．不等式的解集为
【答案】BD
【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．
【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A错误，B正确；
又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；
由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BD．
（六）函数奇偶性、周期性和对称性结合
80．（2023·上海青浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.
【答案】
【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
因为，即，
所以，函数为周期函数，且周期为，则，
在等式中，令，可得，所以，，
因为，则，
因为，
所以，
.
故答案为：.
81．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，．求的值．
【答案】
【分析】由对称性可得是以4为周期的函数，由周期性可得，代入已知解析式结合奇偶性即可得出答案.
【详解】因为的图象关于直线对称，即，
同样，满足，
所以，令等价于，所以，
所以是以4为周期的函数，所以函数关于对称，即函数为偶函数，
，
同时还知是偶函数，所以．
82．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（    ）
A．10 B．-10 C． D．-
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得的值，最后利用周期性即可求得的值.
【详解】由为奇函数可得：，即①，则关于点对称，令，则；
由②，得的图象关于直线对称；
由①②可得：，即，所以，故，所以函数的周期；
所以，即，
联立，解得，故.所以.
故选：A.
83．（2023·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（    ）
A．11 B．9 C．0 D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，然后构造函数并求其对称轴及周期，最后利用对称轴及周期求函数值即可.
【详解】因为对任意的，即，
所以为奇函数，故．
由得，，
即，
设，则为奇函数，，且，
所以图像关于直线对称，
由得，，
所以，
所以
所以的周期为4．
所以，所以，
由求导可得，所以关于对称，所以
由对称性可知图像关于直线对称，
因为，所以，
所以，
所以
所以的周期为4，所以，
又，所以，
所以．
故选：A.
（七）函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性结合
84．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数是周期为4的函数，且在内单调递增，在内单调递减，然后利用周期和单调性即可求解.
【详解】根据题意，函数满足，，
则有，变形可得，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
对称轴为，在内单调递增，所以在内单调递减，，，，
，即.
故选：.
85．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（    ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】ABC
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，
所以，，，

，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，B正确；
，是偶函数，A正确；
因此的图象也关于点对称，C正确；
对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，
，，，
，∴，故D错．
故选：ABC．
86．【多选】（2023春·云南大理·高二大理白族自治州民族中学校考阶段练习）已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有，则下列结论正确的是（   ）
A． B．是偶函数
C．是周期为4的周期函数 D．
【答案】ABC
【分析】由的图象关于直线对称，得到关于轴对称，赋值后得到，进而得到，判断出ABC均正确；
根据，，当时，都有，得到在上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到，，判断出.
【详解】的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确；
中，令得：，
因为，所以，解得：，A正确；
故，是周期为4的周期函数，C正确；
对，，当时，都有，
故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，
故，，
因为，
所以，D错误.
故选：ABC
87．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（    ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】D
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，

，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，B正确；
，是偶函数，A正确；
因此的图象也关于点对称，C正确；
对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，
，，，
，∴，D错．
故选：D．
【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；
（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；
（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期．