江西省2024届高三3月28日大联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省2024届高三3月28日大联考数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.双曲线的渐近线方程为
A.B.C.D.
2.设集合,则
A.B.C.D.
3.已知圆锥的母线长为6,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的表面积为
A.B.C.D.
4.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分隔率,黄金分割率的值也可以用表示,即,设,则
A.B.C.D.
5.已知实数a,b满足,则
A.B.C.D.a,b的大小无法判断
6.过点的直线与圆相切于点,则
A.4B.16C.D.17
7.若一个四位数的各位数字之和为4,则称该四位数为“数”,这样的“数”有
A.20个B.21个C.22个D.23个
8.C是椭圆上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,若:,则的离心率为
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数.则
A.在区间上单调递增B.对
C.关于点对称D.将的图象向左平移个单位长度,所得到的函数是偶函数
10.复数满足,且,则
A. B.
C. D.
11.已知函数及其导函数的定义域均为,若的图象关于直线对称,,且,则
A.为偶函数B.的图象关于点对称
C.D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.样本数据5,11,6,8,14,8,10,5的分位数为_____________.
13.如图,在正三棱锥中,侧棱,过点作与棱DB,DC均相交的截面AEF.则周长的最小值为_____________,记此时的面积为,则_____________.
14.若不等式在上恒成立,则的最大值为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的,,并且各车间的次品率依次为.
(1)从该厂这批产品中任取一件,求取到次品的概率;
(2)从该厂这批产品中有放回地抽取100次,每次抽取1件,且每次抽取均相互独立,用表示这100次抽取的零件中是次品的总件数,试估计的数学期望EX.
16.(15分)已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)已知,集合中元素个数为,求.
17.(15分)如图,在三棱柱中,,侧面是正方形,是平面上一点,且.
(1)证明:点到直线和的距离相等.
(2)已知二面角的大小是,求直线AB与平面所成角的正弦值.
18.(17分)在直角坐标系中,点到直线的距离等于点到原点的距离,记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)点A,B,C,D在上,A,B是关于轴对称的两点,点位于第一多限,点位于第三象限,直线AC与轴交于点,与轴交于点,且B,H,D三点共线,证明:直线CD与直线AC的斜率之比为定值.
19.(17分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若≥0恒成立,求的取值集合;
(3)若存在,且,求的取值范围.
高三数学试卷参考答案
1.D由题可知双曲线的渐近线方程为.
2.B依题得,则.
3.C设圆锥的母线长为,底面半径为,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则,解得,所以该圆锥的表面积为.
4.A.
5.A因为在上单调递增,且,所以.又,所以.
6.B圆,即圆的圆心为,半径,点到圆心的距离,所以.
7.A易知,当四位数由4,0,0,0构成时,共有1种情况,当四位数由3,1,0,0构成时,共有种情况,当四位数由2,2,0,0构成时,共有种情况,当四位数由2,1,1,0构成时,共有种情况,当四位数由1,1,1,1构成时,共有1种情况,所以这样的“数”有20个.
8.D由题可知,则.由题意不妨设,又,,所以
,则的离心率为.
9.当时,,因为是正弦函数的单调递增区间,所以在区间上单调递增,选项正确;
,B选项错误;,C选项正确;
将的图象向左平移个单位长度,得函数的图象,其中,不是函数最值,轴不是函数图象的对称轴,不是偶函数,D选项错误.
10.由,可得,则,解得,所以|z|,故选项A,D正确.当时,,当时,,故选项B正确,选项C错误.
11.BCD由的图象关于直线对称,可得的图象关于直线对称,即的图象关于直线对称.由,可得,又,所以,所以的图象关于点对称,即为奇函数,周期为.由,可得,因为的周期为4,所以,则,即,所以的图象关于点对称.因为的图象关于直线对称,则,所以,所以,因为的周期为4,所以的周期也为4.由,可得,所以.由,可得,所以,即.
12.8,将样本数据按从小到大的顺序排列为5,5,6,8,8,10,11,14,故分位数为8.
13.把正三棱锥的侧面展开,两点间的连接线是截面周长的最小值.
正三棱锥中,,所以,
所以,故周长的最小值为.
又,所以.则.
14.6由,可得,令函数,则,故在[0,2]上单调递增,即,所以.故6,当且仅当时,上式成立.所以的最大值为6.
15.解:(1)记事件为“任取一件产品,恰好是次品”,事件为“取到甲车间生产的产品”,事件为“取到乙车间生产的产品”,事件为“取到丙车间生产的产品”,则,………………………..3分
所以由全概率公式得0.023,故从该厂这批产品中任取一件,取到次品的概率为0.023.……………………..……………………..…..…………..6分
(2)的可能取值为,且服从二项分布.
由(1)知,. ……..………………..………………..…………………………………..…………8分
因为,所以.……..………………..………………..………………..…………13分
16.解:(1)令,得.……..………………..………………..………………..……………………………..………………..…2分
当时,因为,所以,两式相减得,……..………………..………………………..………………..…………3分
即,所以,……..………………..………………..………………..………………..……4分
所以,即,……..………………..………………..………………..…5分
所以.……..………………..……………………..………………..…………6分
又,符合上式,所以.……..………………..………………..………………..………………..…………7分
(2)由,可得,
所以.……..………………..………………..………………..…………11分
.……..………………..………………..…………15分
17.(1)证明:当和重合时,显然符合题意,当和不重合时,连接,延长交于点,因为是正方形,所以,又因为,所以……..………………..…………2分
因为,所以平面.……..………………..………………..………4分
又平面,所以,则.……..………………..………..…………5分
因为,所以为的中点,且为的角平分线. ……..………………..…6分
所以点到直线和的距离相等.……..………………..…………..…………7分
(2)解:取BC的中点,连接,所以,
所以为二面角的平面角, ……..………………..………………..……………………8分
因为二面角的大小是,所以.……..………………..………………..……9分
过作平面ABC的垂线,交于点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,由题可得,所以,…………11分
设平面的法向量为,
则即令,则,所以,
直线AB与平面所成的角为,
则,
所以直线AB与平面所成角的正弦值为.…..………………..……………….15分
18.(1)解:设,则,………………..………………..………………..……….3分
两边平方,化简得,
故的方程为.………………..…………..…………..………………..…………..……….5分
(2)证明:设点的方程为,则,因为,所以.………………..……………………………..…………..……….7分
从而直线BD的方程为.………………..………………..…..…………..……….8分
联立可得,所以,则,
所以.………………..……………………………..………………..…………..……….10分
联立可得,所以,则,所以.………………..………………………..………………..…………..……….12分
所以直线CD的斜率为.……………….……….15分
所以直线CD与直线AC的斜率之比为.……………..…………………..………….17分
19.解:(1).……………..……………………..…………..……………..………….1分
当时,,所以在上单调递减.…..………..…………..………..………..……3分
当时,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增...………..…..……..………..………..………..………..………..……5分
(2)因为,所以.6分由(1)可知,……..…………..……8分
令函数,
易知在上单调递增,在上单调递减,且,
要使得恒成立,则,即的取值集合为.……..…………..………..…………..……10分
(3)由,可得.
设函数,即在和上存在零点.记是的导数,是的导数,是的导数.
,
在上,若,则,若,则,矛盾.分
因此,此为必要条件,下证充分性:
在上,,
即先负后正,因此先减后增,由,可知在区间上有唯一零点. ……..…………..…………..…………..……..…………..…………..…………..…………..……15分
在上,.
由,可知先负后正,因此先减后增,,
可知先负后正,先减后增.
由,可知先正后负,
因此先增后减,由,
可知在区间上有唯一零点,符合题意.
所以的取值范围为.……..…………..…………..…………..……………..…………..……17分