江西省重点中学盟校2024届高三第一次联考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数,复数满足，则（ ）
A 1B. C. D.
3. 某工厂随机抽取名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的分位数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ）
参考数据：，
A 455B. 1359C. 3346D. 1045
6. 核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则扩增效率约为（ ）
参考数据：
A. B. C. D.
7. 过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在的展开式中（ ）
A. 二项式系数之和为B. 第项的系数最大
C. 所有项系数之和为D. 不含常数项
10. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C. 在上单调递减
D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
11. 在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（ ）
A. 为等比数列B.
C. 为等差数列D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，且，则向量与的夹角为_____．
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
14. 如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，已知该“四角反棱柱”的棱长为4，则其外接球的表面积为__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.

（1）设点为棱的中点，证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的大小.
16. 某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
（1）求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；
（2）设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
17. 在中，的平分线与边交于点，且.
（1）若，求的面积；
（2）求的最小值.
18. 已知椭圆的方程为，由其个顶点确定的三角形的面积为，点在上，为直线上关于轴对称的两个动点，直线与的另一个交点分别为.
（1）求的标准方程；
（2）证明：直线经过定点；
（3）为坐标原点，求面积最大值.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数极值点的个数；
（3）若对任意的，关于的方程仅有一个实数根，求实数的取值范围.
件数
人数