江西省五市九校2024届高三下学期2月开学联考数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的乘法运算即可得解.
详解】．
故选：C.
2. 集合，则（ ）
A. B. 1C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到，解得，再代入检验即可.
【详解】因为，所以，则，解得，
当时，，，不符合题意，
当时，，，符合题意．
故选：B
3 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和差的正余弦公式计算，由商数关系得的值.
【详解】因为，
结合题设，有，得．
故选：D.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断.
【详解】，且函数定义域关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．
当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.
故选：A．
5. 已知为椭圆C：()的右焦点，，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，若的周长为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用参数表示的周长，得关于a，c的齐次式，化简解方程，得离心率.
【详解】由题意可得，所以，
即，解得或（舍去）．
故选：D.
6. 某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，在它的轴截面中 ，，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】易得图1中小扇形和大扇形的弧长设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，再根据弧长公式即可得解.
【详解】由题意图1中小扇形的弧长为，大扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为，
所以，解得，
所以原扇形纸壳中扇形的圆心角为.
故选：B.
7. 过原点的直线与圆交于两点，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设圆心到直线的距离为，且的中点为，根据题意得到，结合圆的性质和弦长公式，列出方程，求得，利用斜率公式，即可求解.
【详解】由圆，即圆，圆心为，
设圆心到直线的距离为，且的中点为，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以直线经过圆心，所以.
故选：A.
8. 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解.
【详解】取的中点，连接、，
则
，
又，
所以，，
即，
所以，．
故的取值范围为．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为
D. 将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象
【答案】AD
【解析】
【分析】将解析式转化为，易得函数的性质，判断选项的正误.
【详解】因为，所以的最小正周期为，A正确；
不是偶函数，图象不关于轴对称，错误；
因为，所以的值域为，C错误；
将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象，D正确．
故选：AD.
10. 国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（居民消费水平：）

A. 2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B. 2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C. 2018年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为27504元
D. 2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
【答案】D
【解析】
【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利用百分位数的概念进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则可列出方程，得到，故D正确.
【详解】A选项，2019年的居民消费水平为元，2020年的居民消费水平为元，
2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；
B选项，2019年的城镇居民消费水平为元，2020年的城镇居民消费水平为元，
2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；
C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为，
由于，
故年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为从小到大第3个和第4个数据的平均数，
即元，C错误.
D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则，
化简得，
所以2022年我国城镇人口数比农村人口数1.5倍还要多，D正确.
故选：D
11. 已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法得到，由此判断出的奇偶性.利用赋值法求得，进而求得，根据函数单调性的定义，计算的符号来判断函数的单调性.
【详解】令，可得.
令，可得.因为当时，，所以.
令，可得.
因为，所以当时，.
又因为当时，，所以当时，.
令，可得，①
所以，两式相加可得.
令，可得.②
①-②可得，
化简可得，所以是奇函数，C正确.
由，可得：
，B错误.
由可得解得，A正确.
令，可得.
令，则.
因当时，，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知抛物线的焦点为为抛物线上任意一点，点，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于
由抛物线定义可知，所以，
则当共线时取得最小值，所以最小值为：．
故答案为：4．
13. 小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意将问题等价转换为满足题意的间隔插空或者捆绑插空的概率，结合排列组合知识即可求解.
【详解】将串在一起的两颗冰糖葫芦编号为1，2（最下面那颗），串在一起的三颗冰糖葫芦编号为3，4，5（最下面那颗），
现在可将题目等价转换为首先从左到右固定3，4，5的排列顺序，问将1，2间隔插空或者捆绑插空，且1，2都在5的左边的概率，
若1，2间隔插空或者捆绑插空，共有种排列，
其中满足1，2都在5的左边的排列，共有，
所以只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将问题等价转换为间隔插空或者捆绑插空是解题的关键.
14. 如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面.点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________.

【答案】
【解析】
【分析】过点作，垂足为，连接，过点作平面，垂足为，当三点共线，且时，取得最大值，进而可得出答案.
【详解】过点作，垂足为，连接，
因为平面，所以平面，
所以点到平面的距离为，
则，
，
过点作平面，垂足为，
当三点共线，且时，取得最大值，
最大值为
.

故答案为：.
【点睛】关键点点睛：过点作平面，垂足为，由三点共线，且时，取得最大值，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）构造数列，得数列是等差数列，得的通项公式，进而得的通项公式；
（2）用裂项相消法求的前项和.
【小问1详解】
设，则，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，．
【小问2详解】
，
．
16. 如图，在四棱锥 中，四边形是等腰梯形，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，求出，利用勾股定理即可证明；
（2）根据（1）中的结论建立空间直角坐标系即可求解.
【小问1详解】
过点作，

由等腰梯形易知，因为，
所以，因为，所以，
所以，所以，
因为，，，
平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，所以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，
所以，，
，设平面的法向量，
所以，令，
所以，同理可得平面的法向量，
所以二面角的余弦值绝对值为，
所以二面角的正弦值.
17. 将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.

（1）求数字2填在第2个空格中的概率；
（2）记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率；
（2）由题意可得，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可.
【小问1详解】
由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个，
所有可能的情况有种，故数字2填在第2个空格中的概率为.
【小问2详解】
由题意可得，且，1填在第个空格的前格中1格，3填在第个空格的后格中1格.
故.
当时，取得最大值，最大值为
18. 已知双曲线的离心率为，右焦点为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点， 使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在满足
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，即可得解；
（2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简，从而得到定点与定值.
【小问1详解】
由题意可得，所以，
所以双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，
代入得，
设，，，
则，，
∴
，
若要上式为定值，则必须有，即，
∴，
故存在点满足.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）求得，得到且，求得切线方程，将点代入切线方程，即可求解；
（2）转化为，令，求得，令，求得是增函数，得到，再令，求得是减函数，结合，得到存在，使得，再分和，两种情况讨论，得到，令，所以是增函数，进而结合，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
则且，
曲线在点处的切线方程为.
因为该直线过点，所以，解得.
【小问2详解】
解：因为，所以，且，
两边平方可得，
令函数，可得，
令函数，可得，所以是增函数，
令，可得，
下面比较与的大小：
令函数，，是减函数，
因为，
所以存在，使得当时，，即，
若，可得，即.
若，当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
令函数，所以是增函数，
由题意可得，又因为，所以，
当时，，符合题意.
综上可得，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．