新高考数学【热点·重点·难点】专练 2023年高考数学全真模拟试卷02

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
2023年高考数学全真模拟试卷02（新高考专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
由，得，解得，所以，
所以，所以.故选：C.
2．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，所以.故选：A.
3．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，
又，，，，
为等边三角形，；
在上的投影向量为.故选：C.
4．（2023·广西柳州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列可能是的解析式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故错误；
B.因为，且，则在R上递增，故正确；
C.的定义域为关于原点对称，又 ，
则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；
D. 的定义域为关于原点对称，
又 ，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；故选：B.
5．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，故选：A.
6．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）在等比数列中，公比是数列的前项和，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
【答案】B
【解析】由，得，
即， 解得或，
由，得，故A错误；
所以等比数列的通项公式为
所以等比数列的前项和为即
所以
所以数列是公比为等比数列，故B正确；
因为所以故C错误；
因为所以，
所以数列是公差为的等差数列，故D错误.故选：B.
7．（2023·湖南永州·统考二模）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中点，连接，
，
，
，则，恒成立，
，又，，
设，由得：，
根据双曲线定义可知：，
，
，即，，
，，又，，
，则离心率.故选：D.
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，记，，所以，所以，
所以，在时成立，所以，即， 即，
记，，所以，
所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，
所以，所以，则，即，即，
，即有，因为，所以，
综上: .故选:D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲，乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．乙同学体温的极差为
B．甲同学体温的第三四分位数为
C．甲同学的体温比乙同学的体温稳定
D．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等
【答案】ABD
【解析】对A：乙同学体温的最大值为，最小值为，故极差为，A正确；
对B：甲同学体温按从小到大的顺序排列为：，，，，，
，，又，
故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第6个数据，即，B正确；
对C：乙同学体温按从小到大的顺序排列为：，，，，，，
故乙同学体温的平均数为：，
故乙同学体温的方差；
又甲同学体温的平均数为：，
故甲同学体温的方差
；
又，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C错误；
对D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为，故D正确．故选：ABD.
10．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（ ）
A．的最小值是
B．
C．三棱锥的体积是定值
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围是
【答案】BCD
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
因为，所以，得，所以，
则，得，
，
当时，，则，
当时，则，则，
综上，，所以三点共线，即点的轨迹即为线段，
对于A，，即的最小值是，故A错误；
对于B，，
则，所以，故B正确；
对于C，，则为定值，
由点的轨迹即为线段，且，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，
所以三棱锥的体积是定值，故C正确；
对于D，设的中点为，则在中，外接圆的圆心即为点，
则三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，
设球心为，，则，即，
所以，则，
因为，所以，
即三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积的取值范围是，故D正确.故选：BCD.
11．（2023·安徽·模拟预测）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线与C相切
C．D．
【答案】BCD
【解析】A.由题意可知，，所以抛物线方程是，准线方程是，故A错误；
B.，直线，即，与抛物线方程联立，
，其中，所以直线与C相切，故B正确；
C. 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
D.因为，，
所以，而，故D正确.故选：BCD
12．（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由题意可设，则，
∵，，∴，
∴在上恒成立，所以在上单调递增，
对A：由于，所以，即，所以，故A不正确；
对B：由于，当且仅当时取等号，所以，
即，所以，故B正确；
对C：由得：，即：，
同理：，两式相加得：，故C正确；
对D：，，
两式相减得：
，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023秋·天津·高三大港一中校考）若，则______.
【答案】
【解析】令，则；等式右边系数为，结合等式左边得；
等式右边系数为，比较等式左边可得.
故.
14．（2023·全国·模拟预测）已知圆：与直线：，写出一个半径为，且与圆及直线都相切的圆的方程：______．
【答案】(答案不唯一)
【解析】设圆心为，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切，
可得，即得或或，
且已知半径为，
所以圆的方程可以为: 或或
15．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___．
【答案】
【解析】若，则，由是偶函数，得，
∴时，，而此时的，即，
∴曲线在处的切线方程为，即.
16．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为__________，编码99共出现__________次．
【答案】 6
【解析】设主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…为，
因为，，，，，
将以上个式子相加，可得
；
由编码观察可得，第行是首项为1，公差为的等差数列，
则第行的第个数为，
令，则，
所以，或，或，或，或，或，
所以99共出现6次．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在数列中，，．
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）证明过程见解析；；（2）证明过程见解析
【解析】（1）证明：依题意可得，又，则，
故，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即结论得证；
则，所以；
（2）结合（1）可得，则
故结论得证．
18．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，中，若角所对的边分别是.
（1）证明：；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
所以.故得证.
（2）设由题得，
所以.所以.
所以.
所以的面积为.
19．（2023·全国·模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面，为正三角形，底面为等腰梯形，//，．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上靠近点的三等分点，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）取中点，连接，根据梯形性质和可知，//，且，
于是四边形为平行四边形，故，
则为等边三角形，故，
在中，由余弦定理，，
故，注意到，
由勾股定理，，即，
由平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质定理可得，平面.
（2）过作，垂足为，连接，
由平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质定理，平面，为正三角形，，
故（三线合一），由和中位线性质，//，
由（1）知，平面，故平面，
于是两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）知，平面，
又//轴，故可取为平面的法向量，
又，，根据题意，，设，
则，解得，
又，，，，
设平面的法向量，由，即，
于是为平面的法向量，故，
二面角大小的范围是，结合图形可知是锐二面角，
故二面角的大小为
20．（2023·湖南岳阳·统考一模）8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：
假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.
（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；
（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:
A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，
则事件A对应三种情形：
①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；
②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.
所以
.
（2）X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个人取到食品所需时间超过2分钟，所以;
对应第一个人取到食品所需时间为1分钟且第二个人取到食品所需时间超过1分钟，
或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以；
所以X的分布列为：
所以
21．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）设椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交E于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【答案】（1）；（2）0
【解析】（1）由已知椭圆的左、右焦点分别为，，∴，
方法一：
由题意得，解得，
∴椭圆的方程为；
方法二：
由，
则，又，得，
∴椭圆的方程为；
（2）设，，
由，消去得：
设，
由题意，
从而
同理，又
所以，即，又
故，直线的斜率与直线的斜率之和为0．
22．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数，且曲线在处的切线为.
（1）求m，n的值和的单调区间；
（2）若，证明：.
【答案】（1）；在与上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
所以.
由题意可得即解得
因为，
所以当或时，，当时，，
则在与上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）可知，，.
设，
则.
设，则.
因为，所以，则在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即对一切恒成立.
因为，所以.
因为，所以.
因为在上单调递增，且，所以，
即证：.1
1
1
1
1
1
…
1
2
3
4
5
6
…
1
3
5
7
9
11
…
1
4
7
10
13
16
…
1
5
9
13
17
21
…
1
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
…
取到食品所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.05
0.45
0.35
0.1
0.05
1
2
3
4
5
0.05
0.45
0.35
0.1
0.05
0
1
2
0.5
0.4975
0.0025