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2022新高考数学热点·重点·难点专练 热点08 立体几何
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这是一份2022新高考数学热点·重点·难点专练 热点08 立体几何，文件包含热点08立体几何解析版docx、热点08立体几何原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
热点08 立体几何
从新高考的考查情况来看，立体几何是高考必考内容，考查重点是：①几何体的表面积和体积，与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等；②异面直线所成的角和线面位置关系；③直线与平面以及平面与平面平行（垂直）的判定和性质，常出现在解答题的第（1）问中，难度中等；④利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等．
该部分主要考查考生对转化与化归思想的应用，提升直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养．
1、几何体的表面积（体积）问题的常见类型及解题策略：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．
2、球面几何的解题技巧：
1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球
的体积或表面积也可以求其半径.
2）球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.
3、向量法求空间角度和距离的方法策略：
建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合.
1）用向量法求异面直线所成的角：
（1）建立空间直角坐标系；（2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解.
2）向量法求直线与平面所成的角：
（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3）向量法求二面角：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
4）求点P到平面α的距离的三个步骤：（1）在平面α内取一点A，确定向量的坐标．（2）确定平面α的法向量n.（3）代入公式求解.
热点1、球面几何
主要考查多面体的外接球的表面积、体积等，一般应用“老方法”，求出球的半径即可。
热点2、直线与平面以及平面与平面平行（垂直）的判定和性质
(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
热点3、空间向量的应用（求角、距离等）
主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角：①平移法；②补形法；③向量法。
(2)直线和平面所成的角：①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。②用公式计算。
(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法；(ii)垂面法。②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算；(ii)射影面积法；(iii)向量夹角公式。
(4)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“等体积法”直接求距离。
A卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·山东·泰安一中模拟预测）如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为，球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆的周长为.已知球冠的表面积公式为，若，则球冠所在球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东潍坊·高三期中）“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东龙岗·高三期中）如图，在中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得二面角为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
6．（2021·江苏南通·高三期中）已知圆锥SO的顶点为S，母线SA，SB，SC两两垂直，且，则圆锥SO的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·高三期中）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥各棱棱长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2022·浙江·模拟预测）已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（ ）
A．3； B．4； C．4； D．3；
9．（2021·浙江·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，平面，且（AD的长度为常数），△是等边三角形，当五面体体积最大时，记二面角的大小为，二面角的大小为，直线与所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·浙江·高三期中）在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面 C． D．平面
11．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·新疆·昌吉市第九中学高三期末）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点．现有以下结论中正确的是（ ）
A．与是异面直线； B．过、、三点的正方体的截面是等腰梯形；
C．平面平面； D．平面．
14．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）如图，正方体的棱长为1，E，F分别是棱的中点，过点E，F的平面分别与棱交于点G，H，以下四个结论正确的是（ ）
A．正方体外接球的表面积为3π B．平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为
C．四棱锥的体积为定值 D．点到平面EGFH的距离的最大值为
15．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球的表面积为 B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为 D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为
三、填空题
16．（2021·福建·上杭一中模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，（1）如用与轴相距为，且垂直于轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；（2）则这个旋转体的体积为______．
17．（2021·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.
18．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是___________.
19．（2021·上海虹口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.
20．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知，分别是边长为2的等边边，的中点，现将沿翻折使得平面平面，则棱锥外接球的表面积为_________．
21．（2021·江苏常州·高三期中）正方体的棱长为2，点O为线段的中点，三棱锥的体积为___________，过点O且垂直于的平面与底面ABCD的交线长为___________.
四、解答题
22．（2021·河北衡水中学模拟预测）如图，在三棱锥中，△是等边三角形，．
（1）证明：；（2）若，且平面平面，求三棱锥体积．
23．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
24．（2021·福建省福州第一中学高三期中）如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.
（1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、；
（2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小.
25．（2021·江苏南通·高三期中）如图，在四棱锥中，，，，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.
26．（2021·广西柳州·一模）如图，△ABC的外接圆O的直径|AB|=2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，|CE|=2．|BC|=|BD|=1，M为DE上的点．（1）证明：BM⊥AC；（2）当DM为何值时，二面角C－AM－D的余弦值为．
27．（2021·江苏海安·高三期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，已知AB//CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝DP＝2，PD⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）设M，N分别为棱PA，PC的中点，点T满足，求证：B，N，T，M四点共面．
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·四川·成都七中一模）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的个数是（ ）
①当时，的周长为定值;②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点，使得;④当时，有且仅有一个点，使得平面
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·四川成都·高三期中）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，有下列结论：①若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为；
②若在线段上运动，则的最小值为；
③若在以为直径的球面上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；
④若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·模拟预测）在矩形中，已知，，为边上靠近点的三等分点．现将沿直线折起至，使得点在平面上的射影在四边形内(不含边界)，如图．设直线，与平面所成的角分别为，，二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南·模拟预测）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起，使得D，E，F重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，三棱锥的表面积S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏·海安高级中学高三期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2021·安徽师范大学附属中学模拟预测）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，
①点在空间形成的轨迹为圆;②三棱锥的体积最大值为
③的最大值为2;④与平面所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（ ）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
7．（2021·安徽·合肥市第八中学模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与不重合），有以下四个结论：
①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；
③若的周长为L，则L的最小值为；④若的面积为，则．
则正确的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
8．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（ ）
A．的大小不会发生变化 B．二面角的平面角的大小不会发生变化
C．与平面所成的角变大 D．与所成的角先变小后变大
二、多选题
9．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为
10．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）
（台体的体积公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）
A．若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B．若，则该几何体的表面积为
C．该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
11．（2021·山东青岛·高三期中）如图，底面ABCD为边长是4的正方形，半圆面底面ABCD．点P为半圆弧(不含A，D点)一动点．下列说法正确的是（ ）
A．三梭锥P—ABD的每个侧面三角形都是直角三角形 B．三棱锥P—ABD体积的最大值为
C．三棱锥P—ABD外接球的表面积为定值 D．直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为
12．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）如图所示，在长方体中，，点是上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：其中真命题的是（ ）
A．四棱锥的体积恒为定值； B．存在点，使得平面
C．对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值．
三、填空题
13．（2021·吉林省实验模拟预测）在三棱锥中，已知，，分别为，的中点，若三棱锥的外接球球心在三棱锥内部，则线段长度的取值范围为______．
14．（2021·山东·泰安一中模拟预测）如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以O为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为___________.
15．（2021·全国·模拟预测）在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
16．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.
四、解答题
17．（2021·广东顺德·高三阶段练习）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明底面；（2）设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
18．（2021·天津英华国际学校高三期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足.
（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．（2021·河北·唐山一中高三期中）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.（1）求证：BD⊥PA；（2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由.
20．（2021·北京·东直门中学高三期中）如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F – AE – P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
热点08 立体几何
从新高考的考查情况来看，立体几何是高考必考内容，考查重点是：①几何体的表面积和体积，与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等；②异面直线所成的角和线面位置关系；③直线与平面以及平面与平面平行（垂直）的判定和性质，常出现在解答题的第（1）问中，难度中等；④利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等．
该部分主要考查考生对转化与化归思想的应用，提升直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养．
1、几何体的表面积（体积）问题的常见类型及解题策略：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．
2、球面几何的解题技巧：
1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球
的体积或表面积也可以求其半径.
2）球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.
3、向量法求空间角度和距离的方法策略：
建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来,通过坐标的代数运算解决空间几何问题，实现了几何问题(形)与代数问题(数)的结合.
1）用向量法求异面直线所成的角：
（1）建立空间直角坐标系；（2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解.
2）向量法求直线与平面所成的角：
（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3）向量法求二面角：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
4）求点P到平面α的距离的三个步骤：（1）在平面α内取一点A，确定向量的坐标．（2）确定平面α的法向量n.（3）代入公式求解.
热点1、球面几何
主要考查多面体的外接球的表面积、体积等，一般应用“老方法”，求出球的半径即可。
热点2、直线与平面以及平面与平面平行（垂直）的判定和性质
(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
热点3、空间向量的应用（求角、距离等）
主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角：①平移法；②补形法；③向量法。
(2)直线和平面所成的角：①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。②用公式计算。
(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法；(ii)垂面法。②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算；(ii)射影面积法；(iii)向量夹角公式。
(4)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“等体积法”直接求距离。
A卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·山东·泰安一中模拟预测）如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为，球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆的周长为.已知球冠的表面积公式为，若，则球冠所在球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东潍坊·高三期中）“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东龙岗·高三期中）如图，在中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得二面角为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
6．（2021·江苏南通·高三期中）已知圆锥SO的顶点为S，母线SA，SB，SC两两垂直，且，则圆锥SO的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·高三期中）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥各棱棱长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2022·浙江·模拟预测）已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（ ）
A．3； B．4； C．4； D．3；
9．（2021·浙江·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，平面，且（AD的长度为常数），△是等边三角形，当五面体体积最大时，记二面角的大小为，二面角的大小为，直线与所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·浙江·高三期中）在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面 C． D．平面
11．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·新疆·昌吉市第九中学高三期末）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点．现有以下结论中正确的是（ ）
A．与是异面直线； B．过、、三点的正方体的截面是等腰梯形；
C．平面平面； D．平面．
14．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）如图，正方体的棱长为1，E，F分别是棱的中点，过点E，F的平面分别与棱交于点G，H，以下四个结论正确的是（ ）
A．正方体外接球的表面积为3π B．平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为
C．四棱锥的体积为定值 D．点到平面EGFH的距离的最大值为
15．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球的表面积为 B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为 D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为
三、填空题
16．（2021·福建·上杭一中模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，（1）如用与轴相距为，且垂直于轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；（2）则这个旋转体的体积为______．
17．（2021·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.
18．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是___________.
19．（2021·上海虹口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.
20．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知，分别是边长为2的等边边，的中点，现将沿翻折使得平面平面，则棱锥外接球的表面积为_________．
21．（2021·江苏常州·高三期中）正方体的棱长为2，点O为线段的中点，三棱锥的体积为___________，过点O且垂直于的平面与底面ABCD的交线长为___________.
四、解答题
22．（2021·河北衡水中学模拟预测）如图，在三棱锥中，△是等边三角形，．
（1）证明：；（2）若，且平面平面，求三棱锥体积．
23．（2021·浙江·台州一中高三期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
24．（2021·福建省福州第一中学高三期中）如图所示，在底半径为、高为（为定值，且）的圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）.
（1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、；
（2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小.
25．（2021·江苏南通·高三期中）如图，在四棱锥中，，，，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.
26．（2021·广西柳州·一模）如图，△ABC的外接圆O的直径|AB|=2，CE垂直于圆O所在的平面，BD∥CE，|CE|=2．|BC|=|BD|=1，M为DE上的点．（1）证明：BM⊥AC；（2）当DM为何值时，二面角C－AM－D的余弦值为．
27．（2021·江苏海安·高三期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，已知AB//CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝DP＝2，PD⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）设M，N分别为棱PA，PC的中点，点T满足，求证：B，N，T，M四点共面．
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2021·四川·成都七中一模）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的个数是（ ）
①当时，的周长为定值;②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点，使得;④当时，有且仅有一个点，使得平面
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·四川成都·高三期中）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，有下列结论：①若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为；
②若在线段上运动，则的最小值为；
③若在以为直径的球面上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；
④若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·模拟预测）在矩形中，已知，，为边上靠近点的三等分点．现将沿直线折起至，使得点在平面上的射影在四边形内(不含边界)，如图．设直线，与平面所成的角分别为，，二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南·模拟预测）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起，使得D，E，F重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，三棱锥的表面积S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏·海安高级中学高三期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2021·安徽师范大学附属中学模拟预测）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，
①点在空间形成的轨迹为圆;②三棱锥的体积最大值为
③的最大值为2;④与平面所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（ ）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
7．（2021·安徽·合肥市第八中学模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与不重合），有以下四个结论：
①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；
③若的周长为L，则L的最小值为；④若的面积为，则．
则正确的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
8．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（ ）
A．的大小不会发生变化 B．二面角的平面角的大小不会发生变化
C．与平面所成的角变大 D．与所成的角先变小后变大
二、多选题
9．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为
10．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）
（台体的体积公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）
A．若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B．若，则该几何体的表面积为
C．该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
11．（2021·山东青岛·高三期中）如图，底面ABCD为边长是4的正方形，半圆面底面ABCD．点P为半圆弧(不含A，D点)一动点．下列说法正确的是（ ）
A．三梭锥P—ABD的每个侧面三角形都是直角三角形 B．三棱锥P—ABD体积的最大值为
C．三棱锥P—ABD外接球的表面积为定值 D．直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为
12．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高三期中）如图所示，在长方体中，，点是上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：其中真命题的是（ ）
A．四棱锥的体积恒为定值； B．存在点，使得平面
C．对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面
D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值．
三、填空题
13．（2021·吉林省实验模拟预测）在三棱锥中，已知，，分别为，的中点，若三棱锥的外接球球心在三棱锥内部，则线段长度的取值范围为______．
14．（2021·山东·泰安一中模拟预测）如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以O为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为___________.
15．（2021·全国·模拟预测）在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
16．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.
四、解答题
17．（2021·广东顺德·高三阶段练习）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明底面；（2）设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
18．（2021·天津英华国际学校高三期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足.
（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．（2021·河北·唐山一中高三期中）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.（1）求证：BD⊥PA；（2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由.
20．（2021·北京·东直门中学高三期中）如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F – AE – P的余弦值；（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
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