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2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的应用
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的应用，共22页。
A．10mB．12mC．24mD．48m
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m
B．球不会过球网
C．球会过球网但不会出界
D．球会过球网但会出界
4．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．2B．4C．5D．20
5．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝﹣0.01（x﹣20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA＝5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米
二．填空题（共5小题）
6．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米．
7．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 ．
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 秒时，两个小球在空中的高度相同．
9．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 s．
三．解答题（共5小题）
11．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
12．某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当获得利润为4000元时，降价多少元？
（3）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
13．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．
（1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
14．在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算判断球能否进球门；
（3）若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方2.25m处，则该抛物线应向右平移几个单位？
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）
A．10mB．12mC．24mD．48m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝18时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．
【解答】解：∵AB＝36米，
∴当x＝18时，y182＝﹣9，
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4x2，
解得x＝±12，
此时水面宽CD＝24（m），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式．
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】在yx2+10x中，令y＝0解出x的值即可得到答案．
【解答】解：在yx2+10x中，令y＝0得：
0x2+10x，
解得x＝0（舍去）或x＝50，
∴当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征．
3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m
B．球不会过球网
C．球会过球网但不会出界
D．球会过球网但会出界
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x＝9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x＝18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．
【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；
在中，当x＝9时，，
∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；
在中，当x＝18时，则，
∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，关键是根据题意列式．
4．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．2B．4C．5D．20
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】B
【分析】令h＝0，求出t值即可．
【解答】解：令h＝0，得：20t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝4，
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是4秒；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝﹣0.01（x﹣20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA＝5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据OA＝5知点C的横坐标为﹣5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥x轴，OA＝5米，
∴点C的横坐标为﹣5，
当x＝﹣5时，y＝﹣0.01（x﹣20）2+4＝y＝﹣0.01（﹣5﹣20）2+4＝﹣2.25，
∴C（﹣5，﹣2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
二．填空题（共5小题）
6．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 8 米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线yx2x与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即yx2x0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 3米 ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】3米．
【分析】根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得点B的坐标，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y（x﹣1）2+3，
当y＝0时，（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
∴水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故答案为：3米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 2.5 秒时，两个小球在空中的高度相同．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．
【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴该函数的对称轴是直线t＝3，
∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 8 米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】令y＝8，即yx2+10＝8，求出x值，进而求解．
【解答】解：令y＝8，即yx2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴则EF＝4（﹣4）＝8（米）．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 2 s．
【考点】二次函数的应用．
【专题】几何动点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．先用含t的代数式表示出PB、QB再根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：根据题意得三角形面积为：
S（8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵由以上函数图象知
∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
三．解答题（共5小题）
11．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x+150（80＜x≤150）；（2）售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
【分析】（1）依据题意，设与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）依据题意，由利润＝（售价﹣单价）×销售量，再根据二次函数的性质，即可得解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
∴y＝﹣x+150，
令y＝0，则﹣x+150＝0，
解得：x＝150．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（80＜x≤150）．
（2）∵y＝﹣x+150，
∴W＝（x﹣8）y＝（x﹣80）（﹣x+150）＝﹣x2+230x﹣12000，
又由题意可得：25%，
解得：x≤100，
∴80＜x≤100，
∵W＝﹣x2+230x﹣12000＝﹣（x﹣115）2+1225，
∴当x＝100时，W有最大值，
且Wmax＝﹣（100﹣115）2+1225＝1000（元）．
故将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．
12．某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当获得利润为4000元时，降价多少元？
（3）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋可得：y＝100+5（80﹣x）＝500﹣5x；
（2）利用利润＝售价×销量列出一元二次方程（x﹣40）（﹣5x+500）＝4000，解答即可得解；
（3）根据题意可得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝100+5（80﹣x）＝500﹣5x；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500＝4000，
解得：x1＝60，x2＝80（不合题意，舍去）；
∴降价为：80﹣60＝20（元），80﹣80＝0（元），
答：当获得利润为4000元时，降价20元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝70时，w取最大值4500，
∴当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
13．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．
（1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）商场获得利润为800元；
（2）销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元；
（3）销售单价x的范围是70≤x≤84．
【分析】（1）将x＝80函数关系式y＝﹣x+120得到销售量，进而得到利润；
（2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到w＝（x﹣60）⋅y，把y＝﹣x+120代入得到w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200（60≤x≤87）；然后配成顶点式为w＝﹣（x﹣90）2+900，根据二次函数的性质得到当x＜90时，w随x的增大而增大，则x＝87时，w有最大值．
（3）令w＝500，则﹣（x﹣90）2+900＝500，解得x1＝70，x2＝110，而当x＜90时，w随x的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．
【解答】解：（1）把x＝80代入y＝﹣x+120得，y＝40，
40×（80﹣60）＝800（元），
答：当销售单价为80元时，商场获得利润为800元；
（2）W＝（x﹣60）⋅（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤84，
∴当x＝84时，W＝﹣（84﹣90）2+900＝864（元），
∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元；
（3）由W＝500，得500＝﹣x2+180x﹣7200，
整理得，x2﹣180x+7700＝0，解得，x1＝70，x2＝110，
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤84，所以，销售单价x的范围是70≤x≤84．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，求出利润w与x之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价，本题的关键是找到函数关系式．
14．在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算判断球能否进球门；
（3）若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方2.25m处，则该抛物线应向右平移几个单位？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）球不能进球门，理由见解析；
（3）抛物线应向右平移1个单位．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令x＝0，得到即可判断；
（3）设平移后抛物线为，把点（0，2.25）代入求出m＝﹣3，得到平移后抛物线顶点为（3，3），进而求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝﹣a（x﹣2）2+3，
把A（8，0）代入得0＝36a+3
解得，
∴抛物线表达式为：；
（2）当x＝0时，，
∴球不能进球门；
（3）设平移后抛物线为，
把点（0，2.25）代入得，，
整理得，m2＝9，
解得 m＝3（舍去）或m＝﹣3，
∴平移后抛物线顶点为（3，3），
∴抛物线应向右平移1个单位．
【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）△PDE的周长为（1）PE＝88，点P的坐标为（2，6）；
（3）点N的坐标为（3，）或（1，）或（5，）．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再将这两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先判断△PDE为等腰直角三角形，得△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PEPEPE＝（1）PE，设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），计算得出PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8，根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出平移后点M的坐标，分三种情况：当BP是对角线时，当PM是对角线时，当BM是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与坐标轴交于点B和C，
当x＝0时，y＝4，x＝4时，y＝0，
∴点B（4，0），C（0，4），
把B，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥x轴
∴PF∥y轴，
∴∠BEF＝∠BCO＝45°，
∴∠BEF＝∠PED＝45°，
∵PD⊥BC，
∴△PDE为等腰直角三角形，
∴PD＝DEPE，
∴△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PEPEPE＝（1）PE，
∴当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PE有最大值为4，此时△PDE的周长为（1）PE＝44，
点P的坐标为（2，6）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移，个单位，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，
∴抛物线的顶点为（，），
∴平移后抛物线的顶点为M（3，），
当BP是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（3，）；
当PM是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（1，）；
当BM是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（5，）；
综上，点N的坐标为（3，）或（1，）或（5，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键．
考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
3．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
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A．10mB．12mC．24mD．48m
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m
B．球不会过球网
C．球会过球网但不会出界
D．球会过球网但会出界
4．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．2B．4C．5D．20
5．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝﹣0.01（x﹣20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA＝5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米
二．填空题（共5小题）
6．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米．
7．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 ．
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 秒时，两个小球在空中的高度相同．
9．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 s．
三．解答题（共5小题）
11．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
12．某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当获得利润为4000元时，降价多少元？
（3）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
13．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．
（1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
14．在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算判断球能否进球门；
（3）若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方2.25m处，则该抛物线应向右平移几个单位？
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）
A．10mB．12mC．24mD．48m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝18时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．
【解答】解：∵AB＝36米，
∴当x＝18时，y182＝﹣9，
当水位上升5米时，y＝﹣4，
把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4x2，
解得x＝±12，
此时水面宽CD＝24（m），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式．
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】在yx2+10x中，令y＝0解出x的值即可得到答案．
【解答】解：在yx2+10x中，令y＝0得：
0x2+10x，
解得x＝0（舍去）或x＝50，
∴当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征．
3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m
B．球不会过球网
C．球会过球网但不会出界
D．球会过球网但会出界
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x＝9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x＝18时，y的值，再与0比较即可判断C、D．
【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意；
在中，当x＝9时，，
∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；
在中，当x＝18时，则，
∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，关键是根据题意列式．
4．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．2B．4C．5D．20
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】B
【分析】令h＝0，求出t值即可．
【解答】解：令h＝0，得：20t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝4，
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是4秒；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝﹣0.01（x﹣20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA＝5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据OA＝5知点C的横坐标为﹣5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【解答】解：∵AC⊥x轴，OA＝5米，
∴点C的横坐标为﹣5，
当x＝﹣5时，y＝﹣0.01（x﹣20）2+4＝y＝﹣0.01（﹣5﹣20）2+4＝﹣2.25，
∴C（﹣5，﹣2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
二．填空题（共5小题）
6．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 8 米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线yx2x与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即yx2x0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是 3米 ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】3米．
【分析】根据题意可以求得抛物线的解析式，从而可以求得点B的坐标，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y（x﹣1）2+3，
当y＝0时，（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
∴水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故答案为：3米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出 2.5 秒时，两个小球在空中的高度相同．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．
【解答】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴该函数的对称轴是直线t＝3，
∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，
∴第二个小球抛出3﹣0.5＝2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 8 米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】令y＝8，即yx2+10＝8，求出x值，进而求解．
【解答】解：令y＝8，即yx2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴则EF＝4（﹣4）＝8（米）．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 2 s．
【考点】二次函数的应用．
【专题】几何动点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．先用含t的代数式表示出PB、QB再根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：根据题意得三角形面积为：
S（8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵由以上函数图象知
∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
三．解答题（共5小题）
11．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣x+150（80＜x≤150）；（2）售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
【分析】（1）依据题意，设与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）依据题意，由利润＝（售价﹣单价）×销售量，再根据二次函数的性质，即可得解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
∴y＝﹣x+150，
令y＝0，则﹣x+150＝0，
解得：x＝150．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（80＜x≤150）．
（2）∵y＝﹣x+150，
∴W＝（x﹣8）y＝（x﹣80）（﹣x+150）＝﹣x2+230x﹣12000，
又由题意可得：25%，
解得：x≤100，
∴80＜x≤100，
∵W＝﹣x2+230x﹣12000＝﹣（x﹣115）2+1225，
∴当x＝100时，W有最大值，
且Wmax＝﹣（100﹣115）2+1225＝1000（元）．
故将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．
12．某大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当获得利润为4000元时，降价多少元？
（3）设每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋可得：y＝100+5（80﹣x）＝500﹣5x；
（2）利用利润＝售价×销量列出一元二次方程（x﹣40）（﹣5x+500）＝4000，解答即可得解；
（3）根据题意可得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝100+5（80﹣x）＝500﹣5x；
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500＝4000，
解得：x1＝60，x2＝80（不合题意，舍去）；
∴降价为：80﹣60＝20（元），80﹣80＝0（元），
答：当获得利润为4000元时，降价20元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝70时，w取最大值4500，
∴当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
13．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝﹣x+120．
（1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）商场获得利润为800元；
（2）销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元；
（3）销售单价x的范围是70≤x≤84．
【分析】（1）将x＝80函数关系式y＝﹣x+120得到销售量，进而得到利润；
（2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到w＝（x﹣60）⋅y，把y＝﹣x+120代入得到w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200（60≤x≤87）；然后配成顶点式为w＝﹣（x﹣90）2+900，根据二次函数的性质得到当x＜90时，w随x的增大而增大，则x＝87时，w有最大值．
（3）令w＝500，则﹣（x﹣90）2+900＝500，解得x1＝70，x2＝110，而当x＜90时，w随x的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．
【解答】解：（1）把x＝80代入y＝﹣x+120得，y＝40，
40×（80﹣60）＝800（元），
答：当销售单价为80元时，商场获得利润为800元；
（2）W＝（x﹣60）⋅（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤84，
∴当x＝84时，W＝﹣（84﹣90）2+900＝864（元），
∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元；
（3）由W＝500，得500＝﹣x2+180x﹣7200，
整理得，x2﹣180x+7700＝0，解得，x1＝70，x2＝110，
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤84，所以，销售单价x的范围是70≤x≤84．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，求出利润w与x之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价，本题的关键是找到函数关系式．
14．在一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点，建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算判断球能否进球门；
（3）若抛物线的形状、最大高度均保持不变，且抛物线恰好经过点O正上方2.25m处，则该抛物线应向右平移几个单位？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）球不能进球门，理由见解析；
（3）抛物线应向右平移1个单位．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令x＝0，得到即可判断；
（3）设平移后抛物线为，把点（0，2.25）代入求出m＝﹣3，得到平移后抛物线顶点为（3，3），进而求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝﹣a（x﹣2）2+3，
把A（8，0）代入得0＝36a+3
解得，
∴抛物线表达式为：；
（2）当x＝0时，，
∴球不能进球门；
（3）设平移后抛物线为，
把点（0，2.25）代入得，，
整理得，m2＝9，
解得 m＝3（舍去）或m＝﹣3，
∴平移后抛物线顶点为（3，3），
∴抛物线应向右平移1个单位．
【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）△PDE的周长为（1）PE＝88，点P的坐标为（2，6）；
（3）点N的坐标为（3，）或（1，）或（5，）．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再将这两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先判断△PDE为等腰直角三角形，得△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PEPEPE＝（1）PE，设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），计算得出PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8，根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出平移后点M的坐标，分三种情况：当BP是对角线时，当PM是对角线时，当BM是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与坐标轴交于点B和C，
当x＝0时，y＝4，x＝4时，y＝0，
∴点B（4，0），C（0，4），
把B，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥x轴
∴PF∥y轴，
∴∠BEF＝∠BCO＝45°，
∴∠BEF＝∠PED＝45°，
∵PD⊥BC，
∴△PDE为等腰直角三角形，
∴PD＝DEPE，
∴△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PEPEPE＝（1）PE，
∴当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PE有最大值为4，此时△PDE的周长为（1）PE＝44，
点P的坐标为（2，6）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移，个单位，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，
∴抛物线的顶点为（，），
∴平移后抛物线的顶点为M（3，），
当BP是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（3，）；
当PM是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（1，）；
当BM是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（5，）；
综上，点N的坐标为（3，）或（1，）或（5，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键．
考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
3．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:59:03；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968
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