2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象和性质

这是一份2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象和性质，共19页。试卷主要包含了是二次函数，的图象时，列出了如下表格等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象和性质
一．选择题（共5小题）
1．（2021•日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1
C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝x3+2x﹣3
2．（2021秋•舒城县期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2+1
3．（2021秋•阜宁县期末）下列函数中，不是二次函数的是（　　）
A．y＝1﹣x2 B．y＝2（x﹣1）2+4
C．y＝（x﹣1）（x+4） D．y＝（x﹣2）2﹣x2
4．（2021•中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021秋•合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•林州市期中）当m＝　 　时，y＝（m2﹣1）是二次函数．
7．（2021秋•仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数，则m满足　 　．
8．（2021秋•虹口区期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝　 　．
9．（2021秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　 　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

10．（2021秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
12．（2021秋•南关区校级期中）已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．
13．（2021秋•浦北县期中）已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

14．（2021秋•西城区期末）小明利用函数与不等式的关系，对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣xn）＞0
（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．
（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：
①对于不等式x﹣3＞0，观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：
x的范围
x＞3
x＜3
y的符号
+
﹣
由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．
②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0，观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：
x的范围
x＞3
1＜x＜3
x＜1
y的符号
+
﹣
+
由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为　 　．
③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0，请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；
观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：
x的范围
x＞3
1＜x＜3
﹣1＜x＜1
x＜﹣1
y的符号
+
﹣
　 　
　 　
由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为　 　．
……
小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣xn）＞0（n为正整数）的不等式，先将x1，x2…，xn按从大到小的顺序排列，再划分x的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．
（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：
①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为　 　．
②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为　 　．

15．（2021•资中县一模）下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？


2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1
C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝x3+2x﹣3
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y＝3x2﹣1是二次函数，故B正确；
C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；
D、y＝x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，要先化简再判断．
2．（2021秋•舒城县期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2+1
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】函数思想．
【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选：D．
【点评】考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
3．（2021秋•阜宁县期末）下列函数中，不是二次函数的是（　　）
A．y＝1﹣x2 B．y＝2（x﹣1）2+4
C．y＝（x﹣1）（x+4） D．y＝（x﹣2）2﹣x2
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．
【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；
B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6，是二次函数；
C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2，是二次函数；
D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，是一次函数；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．
4．（2021•中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
5．（2021秋•合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0，b＜0，于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•林州市期中）当m＝　2　时，y＝（m2﹣1）是二次函数．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2，且m2﹣1≠0，再解出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2，且m2﹣1≠0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是注意二次函数的二次项系数不为零．
7．（2021秋•仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数，则m满足　m≠﹣1　．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
8．（2021秋•虹口区期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝　2　．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，
∴m2﹣m＝2，
（m﹣2）（m+1）＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．
9．（2021秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　＞　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【考点】二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
10．（2021秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝　3　．
【考点】二次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x＝0时，y的值即可．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
∴对称轴为x＝2，
∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值，
∵当x＝4时，y＝3，
∴当x＝0时，y＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】函数思想．
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
【解答】解：（1）依题意得
∴
∴m＝0；

（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
12．（2021秋•南关区校级期中）已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1＝2，
解得m＝1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣3．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
13．（2021秋•浦北县期中）已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
0
﹣5
…
描点，连线．

（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．
14．（2021秋•西城区期末）小明利用函数与不等式的关系，对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣xn）＞0
（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．
（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：
①对于不等式x﹣3＞0，观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：
x的范围
x＞3
x＜3
y的符号
+
﹣
由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．
②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0，观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：
x的范围
x＞3
1＜x＜3
x＜1
y的符号
+
﹣
+
由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为　x＞3或x＜1　．
③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0，请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；
观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：
x的范围
x＞3
1＜x＜3
﹣1＜x＜1
x＜﹣1
y的符号
+
﹣
　+　
　﹣　
由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为　x＞3或﹣1＜x＜1　．
……
小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣xn）＞0（n为正整数）的不等式，先将x1，x2…，xn按从大到小的顺序排列，再划分x的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．
（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：
①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为　x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2　．
②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为　x＞9或x＜8且x≠7　．

【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．
【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；
③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；
（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；
②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．
【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1，
故答案为：x＞3或x＜1；
③图象如右图所示，
当﹣1＜x＜1时，（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0，当x＜﹣1时，（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0，
由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1，
故答案为：+，﹣，x＞3或﹣1＜x＜1；
（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2，
故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；
②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7，
故答案为：x＞9或x＜8且x≠7

【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集．
15．（2021•资中县一模）下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？

【考点】二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；
（2）找出函数图象位于x轴上方时，自变量x的范围即可．
【解答】解：（1）描点、连线得：

（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图形，数形结合是解题的关键．

考点卡片
1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
4．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
5．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
6．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．