中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 下册5.1 实数指数幂精品随堂练习题

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一般的，如果数的次方等于，即，那么称数为的次方根.
2. 当有意义时，把叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数.
3. 规定正数的正分数指数幂的意义是：＝eq \r(n,am) (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
规定正数的负分数指数幂的意义是：＝eq \f(1,\r(n,am)) (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
4.实数指数幂的运算法则：
①
②
③;
④
⑤.
其中，
注意：
1.次方根：
（1）0的任意正整数次方根均为0，记为．
（2）正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．
（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
2.根式的性质：
（1）（，且）；
（2）当n为奇数时，；
当n为偶数时，
【题型1 根式的概念及化简求值】
【题型2 分数指数幂与根式的互化】
【题型3 实数指数幂的运算】
【题型4 综合应用】
【题型1 根式的概念及化简求值】
知识点：（1）当有意义时，把叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数.
（2）根式的性质：①（，且）；
②当n为奇数时，；
当n为偶数时，
例1．（1）16的平方根为________，
（2）-27的5次方根为________；
【答案】（1） （2）
【分析】根据次方根的定义可得.
【详解】(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.
(2)－27的5次方根为eq \r(5,－27).
例2. 化简：
（1）（）；
（2）；
（3）（）；
（4）（）.
【答案】（1），（2），（3），（4）1
【分析】利用根式的性质逐个化简计算即可
【详解】（1）因为，所以，所以，
（2），
（3）因为，所以，
所以，
（4）因为，所以，
所以
【题型训练1】
1.下列说法正确的个数是（ ）
①49的平方根为7；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.
【详解】49的平方根是，故①错误；，故②正确；
，故③错误；，故④错误．故选:A．
2． 求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）5；（2）；（3）2；（4）.
【分析】根据根式的定义及运算性质即可求解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3． ____________．
【答案】
【分析】先将里面配成完全平方的形式，再化简出来即可
【详解】
4.计算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】直接计算根式的值即可.
【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.
【题型2 根式与分数指数幂的互化】
知识点：（1）在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：,
（2）将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.
例3. 用根式的形式表示下列各式（a>0）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解.
【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.
例4．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可
【详解】（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂.
=
==
=
=
【题型训练2】
1．把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
2．用根式的形式表示下列各式（）.
(1)； (2)； (3)
【答案】(1) (2) (3)
【分析】直接由分数指数幂的定义求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
【题型3 实数指数幂的运算】
知识点：指数幂的一般运算步骤(1)有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数
(4)底数化成指数幂
(5)然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
例5． 计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减；
（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
【题型训练3】
1．计算下列各式：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
2．化简下列各式：
（1）；（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】运用的指数幂的运算公式直接求解即可.
【详解】（1）；
.
【题型4 综合应用】
知识点：对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．
例6.计算求值：
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）102 （2）7
【分析】（1）利用指数相关公式化简即可.（2）两边同时平方即可.
【详解】（1）
（2）由
例7.（1）求值：；
（2）已知，，求的值.
（3）已知，求.
【答案】（1）6；（2）.（3）
【分析】（1）利用分数指幂的运算性质求解即可，
（2）利用幂的运算性质将化成含的式子求解即可
（3）由，可得，即，将所求平方，代入即可得答案．
【详解】解：（1）
（2）
（3）∵＝3，
∴（）2＝x2+x﹣2+2＝9，
∴x2+x﹣2＝7．
则（）2＝x2+x﹣2﹣2＝5，
∴．
【题型训练4】
1．计算下列各式：
（1）；
（2）.
（3）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.（3）.
【分析】（1）利用指数幂的运算性质可计算出结果；
（2）利用指数幂的运算性质化简可得出结果.
（3）在等式两边平方可求出的值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
（3）在等式两边平方得，.
2．化简下列各式：
（1）；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解.
（2），且，可得，将原式因式分解、通分、化简即可求解.
【详解】（1）
（2）由，且，可得，