重难点10 与四边形有关7种模型（垂美四边形、中点四边形、梯子模型等）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
重难点突破10 与四边形有关7种模型
（垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、十字架模型、对角互补模型）
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157081899" 题型01 垂美模型
\l "_Tc157081900" 题型02 中点四边形
\l "_Tc157081901" 题型03 梯子模型
\l "_Tc157081902" 题型04 正方形半角模型
\l "_Tc157081903" 题型05 四边形翻折模型
\l "_Tc157081904" 题型06 十字架模型
\l "_Tc157081905" 题型07 对角互补模型
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
题型01 垂美模型
【模型介绍】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.
1．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
2．（2022·安徽安庆·统考二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）．
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程)
3．（2021·山东枣庄·统考中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
4．（2019·甘肃天水·统考中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
5．（2018·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：
垂美四边形的两组对边的平方和相等．
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形
∴AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
拓展探究：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长．
题型02 中点四边形
【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
中点四边形的性质：
已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则
①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =12sABCD
证明：
结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形.
结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.
结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.
结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.
结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.
速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.
6．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）

A．4+23B．6+23C．4+43D．6+43
7．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
8．（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

9．（2017·吉林长春·中考真题）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=12BC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是： ．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为 ．
10．（2016·甘肃兰州·中考真题）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
11．（2016·山东德州·中考真题）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
12．（2023·陕西宝鸡·校考一模）问题提出
如图1，在△ABC中，AB=12,AC=9,DE∥BC．若AD=4，则AE的值为__________．
问题探究
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、HE．若AC=14,BD=16,∠AOB=60°，求四边形EFGH的面积．
问题解决
如图3，某市有一块五边形空地ABCDE，其中∠BAE=∠ABC=∠BCD=90°,AB=600米，BC=800米，AE=650米，DC=400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园MNGH，使点M、N、G、H分别在边AB、BC、CD、AE上，要求AH=CN,AM=CG,tan∠BNM=34,请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园MNGH？若存在，求四边形MNGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．
题型03 梯子模型
【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型.

【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题.
模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，
AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB
最大值.
思路：∵OP+BP ≥ OB （三点共线时，取相等）
∴OB≤ OP+BP
∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值
OB= OP+BP = 12AC+BC2+PC2= 12AC+BC2+(12AC)2
即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值.
模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在
边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保
持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时
线段OD 取最大值.
思路：∵OP+PD ≥ OD （三点共线时，取相等）
∴OD≤ OP+PD
∴当O、P、D三点共线时，此时线段OD取最大值
OD= OP+DP = 12AB+AP2+AD2= 12AB+(12AB)2+AD2
即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值.
13．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．则OC的最大值为（ ）
A．6+35B．8C．3+35D．9
14．（2023·山东济南·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：
①若C，O两点关于AB对称，则OA=23；②若AB平分CO，则AB⊥CO；
③四边形ACBO面积的最大值为4+23；④AB的中点D运动路径的长为12π．
其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）．
15．（2022·四川绵阳·统考一模）如图，边长为2的菱形ABCD的顶点A，D分别在直角∠MON的边OM，ON上滑动．若∠ABC＝120°，则线段OC的最大值为 ．
16．（2022·湖北随州·统考一模）在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题．“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形”不复存在（即三顶点共线）．
例：如图1，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？
分析：如图1，取AB的中点E，连接DE、OE，则△ODE中，OD为待求线段，DE，OE的长是可求的，即△ODE为待求线段OD的“关联三角形”，在△ODE中利用三角形三边关系定理可以得到OD的不等式，当点O，E，D三点共线时（如图2），“关联三角形”不存在，此时可得到OD的最值．
(1)根据上面的分析，完成下列填空：
解：如图1，取AB的中点E，连接DE，OE．
在Rt△OAB中，OE=12AB=1，
在Rt△ADE中，DE=1+1=2，
在△ODE中，OD如图2，当点O，E，D三点共线时，OD_________2+1，
综上所述：OD≤2+1，即点D到点O的最大距离是________．
(2)如图3，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________．
(3)如图4，点E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，试求DH长度的最小值．
17．（2019·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；
(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cs∠OAD的值．
题型04 正方形半角模型
【模型介绍】从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型.
已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：
①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C∆CEF=2倍正方形边长
④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=2OP
(12) S∆AEF=2S∆APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形
(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
证明：
①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM
先根据已知条件∆ABE ≌ ∆ADM (SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM
而∠BAE+∠FAD =45°，所以∠DAM+∠FAD =45°，可证明∆AEF ≌ ∆AMF (SAS)，
由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF
②思路：∵∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF
∴AF平分∠DFE 又∵∠AMF=∠AEB
∴∠AEB=∠AEF ∴AE平分∠BEF
③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC
④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G
根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG
因此可以证明: ∆ABE ≌ ∆AGE (AAS), ∆AGF ≌ ∆ADF(AAS)
所以AB=AG=AD，S∆ABE =S∆AGE，S∆AGF =S∆ADF
则S∆AEF= S∆AGE+ S∆AGF= S∆ABE + S∆ADF
⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB ,使AD，AB重合
因为∆APD ≌ ∆ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN
因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°
因为∠BAE+∠PAD=45° 所以∠NAB+∠BAE=45°
则∆ANO ≌ ∆APO (SAS) 所以NO=OP
在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，则OP2=OB2+OD2
⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB=12，且∠EAB+∠FAD=45°
∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点.
⑧思路：假设∠AEF的度数为α，∠AFE的度数为β.
在右图中已知表示45°角，表示角的度数为α，表示角的度数为β
所以∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA
⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四点共圆
∵∠EBA =90°，∴AE为直径，∴∠APE=90° 则AP⊥PE
∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45° ∴∆APE为等腰直角三角形
2）同理AOFD四点共圆， ∵∠ADF =90°，∴AF为直径，∴∠AOF=90° 则AO⊥OF
∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45° ∴∆AOF为等腰直角三角形
3)∵∠EOF=∠EPF= ∠ECF =90°，∴OECFP五点共圆
(11) 思路：∵∆APO∽∆AEF ∴AEAP=EFOP ,假设AP长为1，则AE=2,∴EF=2OP
(12) 思路：∆APO∽∆AEF 相似比为22，则面积的比为12 ，S∆AEF=2S∆APO
(13) 思路：∵∆ABP∽∆ODA ∴ABOD=BPAD ,∴AB×AD=BP×OD 则AB2=BP×OD
(14) 思路：假设正方形的边长为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b
根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2 ,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2
化简得(m-a)(m-b)=2ab 所以CE•CF=2BE•DF
(15) 思路：根据⑩证明过程可知∆APE为等腰直角三角形，所以AP=PE
再证明∆ADP ≌ ∆CDP (SAS)，所以AP=PC，
则PE=PC 所以∆EPC为等腰三角形
(16) 思路：过点E作EX⊥BD，垂足为点X, 过点A作AY⊥BD，垂足为点Y，连接PE
先证明∆APY ≌ ∆PEX (AAS) (“一线三垂直模型”)，所以AY=PX
∵AY=12BD ,∴PX=12BD 所以BX+DP= PX=12BD
18．（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，连接BD与AM，AN分别交于E，F点，则下列结论正确的有( )个．
①点A到MN的距离等于正方形的边长；②EF2=BE2+DF2；③△AEN、△AFM都为等腰直角三角形；④S△AMN=2S△AEF．

A．1B．2C．3D．4
19．（2021·广东梅州·统考一模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF=3，则BE的长为 ．
20．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．下列结论：①BM2+DN2=MN2； ②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
21．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上且AEAC=13，CFAC=14，延长DE交AB于点G，延长DF交BC于点H，连接GH．下列结论：①点G为AB的中点，②DF=GH，③∠GDH=45°，④DE⋅DG=DF⋅DH，其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）

22．（2021·湖北黄石·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 ．
（2）下列结论：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
23．（2020·黑龙江牡丹江·统考中考真题）正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论：①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；⑦ BF:EF=35:5．其中结论正确的序号有 ．
24．（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一个45°角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P．
①∠AEF=______度；
②若AB=3，求线段PM的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB=3，AD=5，请直接写出线段BE的长．
25．（2022·福建厦门·校考三模）在正方形ABCD中，AB=4，∠MAN=45°，M、N分别在BC、CD上．（且不与正方形顶点重合）
(1)如图1，若MC=CN，求证：∠BAM=∠DAN；
(2)如图2，射线AM和DC的延长线交于点F，射线AN和BC的延长线交于点E，连接EF，请问△ECF的面积是否发生变化；如果不变，请求出△ECF的面积；如果要变，请说明理由；
(3)如图3，连接BD分别交AM、AN于点G和点H，连接HM，则∠AHM=90°，过点M作TM⊥BC交BD于点T，求证：TH=HD．
26．（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°．
(1)若EA是∠BEF的角平分线，求证：FA是∠DFE的角平分线；
(2)若BE=DF，求证：EF=BE+DF．
27．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF=45°．
(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM的值．
题型05 四边形翻折模型
【解题思路】翻折问题属于图形变换中的实际问题，在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多.比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角.总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了.
29．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为（ ）
A．9B．12C．15D．18
30．（2021·四川巴中·统考中考真题）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A．34B．35C．33D．12
31．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是 ，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM=2∠ADG时，AP的长是 ．
32．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=2AB，小天用该A4纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点F恰为BC的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．
33．（2023·四川达州·统考中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；

（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+53EF的值．
34．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．

【问题提出】
在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
35．（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，矩形ABCD中为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB=3，求折痕AE的长度
36．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．
(1)当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
①如图1，若BC=3AB，求∠AFD的度数；
②如图2，当AB=4，且EF=EC时，求BC的长．
(2)在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
37．（2023·江苏盐城·校考一模）“鹿鸣·博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠）这一课题研究．已知矩形ABCD，点E、F分别是AB、CD边上的动点．

(1)若四边形ABCD是正方形，如图①，将四边形BCFE沿EF翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是AD的中点．
①若AD=8，求AE的长度；
②若MN与CD的交点为G，连接EG，试说明AE+DG=EG．
(2)若AB=23，AD=2，如图②，且AE=CF，将四边形BCFE沿EF翻折，点B、C的对应点分别为B'、C'．当点E从点A运动至点B的过程中，点B'的运动路径长为_________．

(3)若四边形ABCD是正方形，AD=8，如图③，连接DE交AC于点M，以DE为直径作圆，该圆与AC交于点A和点N，将ΔEMN沿EN翻折，若点M的对应点M'刚好落在BC边上，求此时AE的长度．

38．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF·FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值．
39．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.
【活动猜想】
（1）如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】
（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A'，B'，C在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B'D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.
题型06 十字架模型
【模型介绍】如图，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF=MN
【易错点】正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.
40．（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．

(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．

(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）

41．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．
根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出BECF的值，并说明理由；
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
42．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）在矩形ABCD中，ABBC =k，点E是AD上一点，M是BC上一点，将四边形CDEM沿ME折叠，使点D的对应点F恰好落在AB边上，连接DF．

(1)【特殊呈现】当k=1时．求证：EM=DF；
(2)【类比探究】当k≠1时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明(用含k的式子表示)；
(3)【拓展应用】当k= 34时，沿矩形ABCD对角线剪开后得到△ABC，点M是BC上一点，连接AM，过点B作BE⊥AM于F，BE的延长线交AB于F，若△ABC的周长为24，CF= 163，求CM的长．
43．（2022·安徽合肥·校考三模）如图1，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，连接CE，过点E作PE⊥CE分别交AC，AD于点F，点P，过点B作BH⊥AC，垂足为点H，分别交CE，CD于点G，点Q，∠BAC=α．

(1)求证：△AFP∽△QGC；
(2)如图2，若tanα=1且点E为AB中点，求证：EF=EG；
(3)如图3，若EF=EG，tanα=45，求AEBE的值．
44．（2018·吉林长春·统考中考真题）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 ．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为 ．
45．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点(不与点B、C重合)，垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．则DN、MB、EC之间的数量关系为 ．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
1如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数；
2如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H,若AG=52，请直接写出FH的长．
题型07 对角互补模型
类型一 90°对角互补模型
如图，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，则
①AD = CD ②AB+BC=2BD ③S△ABD+S△BDC=12BD2
类型一 120°对角互补模型
如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则
①CD=CE ②OD+OE=OC ③S△DCO+S△COE=√34OC2
46．（2022上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=8，求四边形ABCD的面积；
(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M，N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
47．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
48．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“45°，60°”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．

(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同学从P点分别向OA，OB作垂线PE，PF，由此得到正方形OFPE，与△PED全等的三角形是________；
(2)【问题探究】如图②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD=1，OC=2，求OP的长；
(3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90°，∠PCD=30°，对角线AC，BD交于点O，连接OP，且OP=6+2，求正方形ABCD的面积．
49．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析
(1)如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转∠ADC的度数，交直线BC于点Q．
小明的思考如下：
填空：①依据1应为___________，
②依据2应为___________，
③依据3应为___________；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)如图2，若∠ADC=120°，AD=3，当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．
50．（2022·湖南长沙·统考一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作完美四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=BC，∠B+∠D=180°（或∠A+∠C=180°），则四边形ABCD叫作完美四边形．

(1)概念理解：在以下四种图形中：①平行四边形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四边形”的是______；（填写序号）
(2)性质探究：如图2，完美四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，请用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明，
(3)拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是完美四边形，∠ADC=60°，AB+BC=6，AB≠BC，BC≠CD，当1≤BC≤3时，求四边形ABCD面积的最大值．
51．（2019·江苏镇江·校联考一模）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个准矩形的直径．
如图①所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90º，则四边形ABCD是“准矩形”，记作：准矩形ABCD，其中AC是这个准矩形的直径．
（1）在“平行四边形、矩形、菱形”，一定为“准矩形”的是哪个图形;（回答图形名称）
（2）如图②，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图画出满足题意的所有格点D ，使得ABCD是准矩形；
(3)如图③所示，在准矩形ABCD中，∠BAD≠90º，线段AC的中点记为点O，连接BO、DO、BD，下列说法正确的是哪一个;(写序号)
①AC⊥BD；②若AB=AD，则准矩形ABCD是菱形；③若AC平分∠DAB，则AC平分∠DCB；④△BOD是等腰三角形；⑤BD(4)如图④,在准矩形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90º,AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2,求AC的长.
四边形
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称、中心对称
菱形
对边平行且四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称、中心对称
正方形
对边平行且四条边都相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称、中心对称
四边形
边
角
对角线
平行四边形
1）两组对边分别平行
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
矩形
1）平行四边形+ 一直角
2）四边形+三直角
平行四边形+两条对角线相等
菱形
1）平行四边形+一组邻边相等
2）四边形+四条边都相等
平行四边形+两条对角线互相垂直
正方形
矩形+一组邻边相等
菱形+一直角
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形
已知
图示
结论（性质）
证明过程
四边形中AC⊥BD
①S垂美四边形ABCD=12AC•BD
②AB2+DC2=AD2+BC2
如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP
DP2+BP2=AP2+PC2
∵DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2
PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2
而AD=BC
∴ DP2+BP2=AP2+PC2
如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP
AP2+PC2=DP2+BP2
过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H
由已知条件可得HF⊥EG
∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略)
而AP=EH，BP=EF，CP=FG，DP=GH
∴ AP2+PC2=DP2+BP2
模型
证明过程
∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=12 BD
∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=12 BD
∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形
∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=12 AC
∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=12 AC
∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形
模型
证明过程
∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=12 BD
∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=12 BD
∴EH = FG = 12 BD 则EH+FG= BD
同理EF = GH = 12 AC 则EF+GH=AC
∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC
证明：CEFGH =AC+BD
过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M
s▱PHEQ=PQ•MN=12 AN•12 BD=12•(12 AN•BD)= 12S△ABD
同理s▱PGFQ = 12S△BCD
∴sEFGH =12sABCD
证明：sEFGH =12sABCD
已知条件
模型
证明过程
特例
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形.
根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形
∵AC⊥DB ∠DOC=90°
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF
∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 °
∴四边形EFGH是矩形.
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形.
∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF=12AC
∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG=12AC
∴EF=HG=12AC 同理EH=FG=12BC
∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形.
已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程）
∵AC⊥DB ∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是正方形
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnn，Pierre1654－1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=12AC．（依据1）

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC，∴DN=NM=12DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM．
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴S▱HPQG=12S△ADC．同理，…
连接DQ，
∵AD∥CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC，（依据1）
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依据2）
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP．（依据3）