中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题23梯子模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题23梯子模型(原卷版+解析)，共19页。


图1 图2
【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。
模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，
AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB
最大值。
思路：∵OP+BP ≥ OB （三点共线时，取相等）
∴OB≤ OP+BP
∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值
OB= OP+BP = 12AC+BC2+PC2= 12AC+BC2+(12AC)2
即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值。
模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在
边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保
持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时
线段OD 取最大值。
思路：∵OP+PD ≥ OD （三点共线时，取相等）
∴OD≤ OP+PD
∴当O、P、D三点共线时，此时线段OD取最大值
OD= OP+DP = 12AB+AP2+AD2= 12AB+(12AB)2+AD2
即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值。
【培优过关练】
1．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
2．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时进行捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为6和4，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，一架长5m的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯子的顶端A距地面4m．梯子的正中间P点处有一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫．下列说法错误的是（ ）
A．梯子的底端B到墙的距离为3m
B．P处的老鼠离地面的距离为2m
C．梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等
D．梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近
4．如图，有互相垂直的两面墙，，梯子，两端点A，B分别在两面墙上滑动（长度不变），P为的中点，柱子，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为_______m．
5．已知AB=10的梯子斜靠在墙上，AC⊥BC，∠BAC=30°，当梯子下滑到A´B´时，∠CA´B´=60°，记梯子的中点为M，则下滑的过程中，中点M运动的路程长是__________．
6．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．
7．我们知道，圆可以看成到定点的距离等于定长的点的集合．我们又知道了在平面内点与圆有三种位置关系．如图1，点P在⊙O外，点A是⊙O上一个动点，连接PO交⊙O于点B，我们发现，当点A与点B重合时，线段PA长最短．
（1）利用图1 ，说明PA>PB；
（2）如图2，一架10米长的梯子沿墙壁下滑，一只距离墙壁12米，距离地面5米的小鸟看到梯子的中点位置有食物，小鸟想用最短时间吃到食物，请在图中画出小鸟飞行的路径，并计算出小鸟飞行的距离；
（3）如图3，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，直接写出PA+PG的最小值．
8．如图（1）所示，一架长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙壁上，梯子与地面所成的角为度.
（1）求图（1）中的与的长度;
（2）若梯子顶端沿下滑，同时底端沿向右滑行.
①如图（2）所示，设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，请计算的长度;
②如图（3）所示，当点下滑到，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到点，若，试求的长度.
专题23 梯子模型
模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型。

图1 图2
【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。
模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，
AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB
最大值。
思路：∵OP+BP ≥ OB （三点共线时，取相等）
∴OB≤ OP+BP
∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值
OB= OP+BP = 12AC+BC2+PC2= 12AC+BC2+(12AC)2
即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值。
模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在
边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保
持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时
线段OD 取最大值。
思路：∵OP+PD ≥ OD （三点共线时，取相等）
∴OD≤ OP+PD
∴当O、P、D三点共线时，此时线段OD取最大值
OD= OP+DP = 12AB+AP2+AD2= 12AB+(12AB)2+AD2
即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值。
【培优过关练】
1．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【详解】取中点，连接、、，
，
．
在中，利用勾股定理可得．
在中，根据三角形三边关系可知，
当、、三点共线时，最大为．
故选．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
2．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时进行捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为6和4，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，，点到，的距离分别为6和4得，根据，得，根据B、D两点之间线段最短得，且只有当E点位于线段上时，等号成立，将，，代入，计算即可得．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵点到，的距离分别为6和4，
∴，
∵，，
∴，
∵B、D两点之间线段最短，
∴，且只有当E点位于线段上时，等号成立，
将，，代入，得
，
，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
3．如图所示，一架长5m的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯子的顶端A距地面4m．梯子的正中间P点处有一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫．下列说法错误的是（ ）
A．梯子的底端B到墙的距离为3m
B．P处的老鼠离地面的距离为2m
C．梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等
D．梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近
【答案】D
【分析】利用勾股定理可求出OB，则可判断A选项；过点A作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例，可以求出P到x轴的距离，可判断B选项；在梯子下滑的两种特例下，应用勾股定理可求出，B点的滑动的距离，与假设的A点的滑动比例比较，即可判断C选项；根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半的性质，可求出OP的长度，即可判断D选项．
【详解】解：由题意可得：，，，，
A、由勾股定理可得：，选项正确，不符合题意；
B、过点P作PC⊥OB，如图
∵点P是AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，B选项正确，不符合题意；
C、假设梯子顶端沿墙下滑1m至点C，梯子的底端沿地面向右滑行至点D，如图所示：
由题意可得：CD=5m，OC=3m，由勾股定理可得OD=4m，
BD=OD-OB=1m，
此时梯子顶端沿墙下滑的长度等于梯子的底端沿地面向右滑行的长度，
假设梯子顶端沿墙下滑2m至点C，梯子的底端沿地面向右滑行至点D，如图所示：
由题意可得：CD=5m，OC=2m，由勾股定理可得，
，
此时梯子顶端沿墙下滑的长度不等于梯子的底端沿地面向右滑行的长度，
故C选项正确，不符合题意；
D、连接OP，如下图
则，梯子下滑的时候老鼠离猫的距离不变，D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．
4．如图，有互相垂直的两面墙，，梯子，两端点A，B分别在两面墙上滑动（长度不变），P为的中点，柱子，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为_______m．
【答案】
【分析】连接OD，OP，DP，根据三角形三条边的关系可知当D、P、O共线时点D到点P的距离最小求解即可．
【详解】解：连接OD，OP，DP．
∵P为的中点，，
∴OP=AB=3m．
∵DP+OP≥OD，
∴当D、P、O共线时点D到点P的距离最小．
∵，，
∴OD==m，
∴点D到点P的距离最小为m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，勾股定理，确定出当D、P、O共线时点D到点P的距离最小是解答本题的关键．
5．已知AB=10的梯子斜靠在墙上，AC⊥BC，∠BAC=30°，当梯子下滑到A´B´时，∠CA´B´=60°，记梯子的中点为M，则下滑的过程中，中点M运动的路程长是__________．
【答案】
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出的度数，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】解：设的中点为，的中点为，连接、，如图所示：
由题意得：，
，
，
，，
，，，
中点运动的路径是以为圆心，长为半径的，
，
，
，
，
中点运动的路程为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
6．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm
（1）若OB＝6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．
【答案】（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm．
【分析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：
在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6
∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cs30°=3，
∴OD=OB+BD=9
∴点C的坐标为（﹣3，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：
AO=12×cs∠BAO=12×cs30°=6．
∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），
∴滑动的距离为6（﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：
则OE=﹣x，OD=y，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵∠AEC=∠BDC=90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y=﹣x，
OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，
∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，
如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时|x|=6，OC=，
故点C与点O的距离的最大值是12cm．
考点：相似三角形综合题．
7．我们知道，圆可以看成到定点的距离等于定长的点的集合．我们又知道了在平面内点与圆有三种位置关系．如图1，点P在⊙O外，点A是⊙O上一个动点，连接PO交⊙O于点B，我们发现，当点A与点B重合时，线段PA长最短．
（1）利用图1 ，说明PA>PB；
（2）如图2，一架10米长的梯子沿墙壁下滑，一只距离墙壁12米，距离地面5米的小鸟看到梯子的中点位置有食物，小鸟想用最短时间吃到食物，请在图中画出小鸟飞行的路径，并计算出小鸟飞行的距离；
（3）如图3，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，直接写出PA+PG的最小值．
【答案】（1）见详解；（2）小鸟飞行的路径见详解图，小鸟飞行的距离为8米；（3）4．
【分析】（1）据三角形两边之和大于第三边解之；
（2）连接EC，由ED+DC≥EC（当D、C、E三点共线时取等号），由于此过程中CD恒等于5，故当D在EC上时小鸟飞行距离最短，由勾股定理求出CE减去梯子长的一半5即可；
（3）作A关于BC的对称点Ｈ，连接HD，求出HD再减去１即是AP＋PG的最小值．
【详解】（1）解：如下图2
在⊙O中，连接OA，由于A是不同于B的点，A不在OP上，由题知O、A、P三点构成三角形
∴PA+OA＞PO=PB+OB
又A、B都在⊙O上
∴OA=OB
∴PA＞PB；
（2）如下图2
连接CE，在CE上取一点G，使GC=AB，当梯子下滑到如图的MN（MN过点G）位置时，梯子中点的位置G，如图2 ，GE就是小鸟飞行的路径．理由如下：
当梯子下滑的过程中，梯子的中点D到墙角C的距离CD=AB=×10=5
∴梯子中点的运动轨迹是以C为圆心，以5米为半径的四分之一圆，
∴梯子中点必过G点
∴由（1）的结论知小鸟到食物的距离≥EG，
∴小鸟到食物的最短距离为EG的长．
下面计算EG
在RT△EFC中：（米）
∴EG=CE-CG=13-5=8（米）；
（3）如下图3
作A关于BC的对称点H，边接HD交BC于R，在DH上取一点S，使DS=EF，由图及对称性知：
(当P、R重合时，大于等于号取等号)
又DG=DS=EF
∴
又当EF运动时，其中点在以D为圆心，以EF为半径的四分之一圆上运动，动线段EF的中点必过S，如图3的MN所示，
∴上面的不等式能取到等号
∴AP+PG的最小值就是HS的值．
下面计算HS
在RT△HAD中：
易知AH=2AB=4，AD=3
由勾股定理知HD=5
∴HS= HD- EF=5-1=4
∴AP+PG的最小值是4．
【点睛】此题是典型几何最值问题，考查圆外一定点到圆上各点的最短距离．此类问题包括定和算两部分：定就是运用“两点之间线段最短”、“垂线段最段”等有关最短的几何性质，找到取最值的几何图形；算就是运用勾股定理等相关知识计算最值是多少和其它需要确定的量．
8．如图（1）所示，一架长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙壁上，梯子与地面所成的角为度.
（1）求图（1）中的与的长度;
（2）若梯子顶端沿下滑，同时底端沿向右滑行.
①如图（2）所示，设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，请计算的长度;
②如图（3）所示，当点下滑到，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到点，若，试求的长度.
【答案】（1）米，2米 ；（2）①米 ；②（）米
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，即可求解；
（2）①设，根据勾股定理，列方程，即可求解；②根据直角三角形的性质，可知：，从而可得∆OP′A′是等腰直角三角形，进而得，即可求解．
【详解】（1）∵梯子与地面所成的角为，
∴（米），（米）；
（2）①设，
∵中，，
∴，解得：（舍去），
∴（米）；
②点分别是的中点，
（米），
∴，
∴，即∆OP′A′是等腰直角三角形，
∴（米），
米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．