专题01 中点四边形模型-备战中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

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中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形

结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形

结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形

结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形

【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【典例2】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分B．互相平分且相等
C．互相垂直D．相等
【典例3】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
2．（2023春•福山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形
B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的
C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
3．（2023春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．3
4．（2023春•费县期末）顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．对角线相等的四边形
C．菱形
D．对角线互相垂直的四边形
5．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．对角线相等
6．（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（ ）
A．互相平分．B．互相平分且相等
C．互相垂直．D．互相平分且垂直
7．（2023春•达州期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7B．9C．11D．13
8．（2023•浦东新区二模）顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形
B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
9．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BD
C．AC⊥BD且AC＝BDD．不确定
11．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝CDD．AB⊥CD
12．（2022春•惠城区校级期中）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
13．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．菱形B．矩形
C．正方形D．对角线相等的四边形
14．（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
15．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，则AO的长为 ．
16．（2022春•皇姑区期末）在四边形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为 cm．
17．（2023秋•丹东期末）【问题初探】
数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质．
首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
接下来张老师提出问题：如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是什么形状？中点四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程．
班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形EFGH是平行四边形，且中点四边形EFGH的面积是原四边形ABCD面积的一半．
证明如下：
证明：如图2，连接AC，BD
∵点H，G分别为AD，CD的中点
∴HG是△ADC的中位线，根据三角形中位线定理可得：
HG与AC的位置关系为 ，数量关系为 ．
同理可得：EF∥AC，
∴HG∥EF，HG＝EF
∴四边形EFGH是平行四边形
根据线段HG，AC的关系，进而可得△DHG∽△DAC，
且 ＝
同理
∴
（1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整．
【类比探究】
（2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形EFGH的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空）
①当对角线AC，BD满足 关系时，中点四边形EFGH为菱形？
②当对角线AC，BD满足 关系时，中点四边形EFGH为矩形？
③中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有怎样的数量关系，并说明理由．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形ABCD内部有一点O，连接OA，OB，OC，OD，点H，G分别是AD，BC的中点，连接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的长．
18．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
19.（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．