中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题22中点四边形(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题22中点四边形(原卷版+解析)，共39页。

中点四边形的性质：
已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则
①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =12sABCD
证明：
结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。
结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。
结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。
结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形。
结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形。
结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形。
速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正。
【培优过关练】
1．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）顺次连接菱形中点得到的四边形具备，而平行四边形不具备的性质是（ ）
A．对角线相互平分B．对角线相等
C．两组对角分别相等D．两组对边分别平行
2．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，和均为等腰三角形，，，．若点、、、分别为边、、、的中点，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2017春·山东淄博·九年级校考期中）若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的四边形D．矩形
6．（2022秋·九年级课时练习）顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）．
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
7．（2022秋·九年级课时练习）如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是
A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形
B．当M，N，P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为正方形
C．当M，N、P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为菱形
D．当M，N、P、Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为矩形
8．（2022秋·九年级课时练习）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若，则四边形EFGH为矩形；
②若，则四边形EFGH为菱形；
③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；
④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形的内角和小于四边形的内角和
C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D．四边形的面积等于四边形面积的
10．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2022·福建·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的对角线，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，若在四边形ABCD内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为_____________．
13．（2022·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断：
①AC垂直平分BD；
②四边形ABCD的面积S＝AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，四边形ABCD的内切圆半径为．其中正确的是 _____．（写出所有正确判断的序号）
14．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是_____．
15．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG、FH交于点O．若AC=4，则EG2+FH2=______．
16．（2022秋·九年级课时练习）已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．
17．（2021秋·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，在四边形中，，，且顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…如此进行下去，得到四边形，下列结论正确的有__________．
①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是．
18．（2022秋·九年级课时练习）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
19．（2022秋·九年级课时练习）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 ．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
20．（2021春·广西桂林·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．
（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；
（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．
21．（2021春·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
22．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
23．（2019·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
模型
证明过程
∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=12 BD
∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=12 BD
∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形
∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=12 AC
∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=12 AC
∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形
模型
证明过程
∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=12 BD
∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=12 BD
∴EH = FG = 12 BD 则EH+FG= BD
同理EF = GH = 12 AC 则EF+GH=AC
∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC
证明：CEFGH =AC+BD
过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M
s▱PHEQ=PQ•MN=12 AN•12 BD=12•(12 AN•BD)= 12S△ABD
同理s▱PGFQ = 12S△BCD
∴sEFGH =12sABCD
证明：sEFGH =12sABCD
已知条件
模型
证明过程
特例
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形。
根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形
∵AC⊥DB ∠DOC=90°
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF
∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 °
∴四边形EFGH是矩形。
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形。
∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF=12AC
∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG=12AC
∴EF=HG=12AC 同理EH=FG=12BC
∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形。
已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程）
∵AC⊥DB ∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是正方形
专题22 中点四边形
中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。
中点四边形的性质：
已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则
①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③sEFGH =12sABCD
证明：
结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。
结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。
结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。
结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形。
结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形。
结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形。
速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正。
【培优过关练】
1．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）顺次连接菱形中点得到的四边形具备，而平行四边形不具备的性质是（ ）
A．对角线相互平分B．对角线相等
C．两组对角分别相等D．两组对边分别平行
【答案】B
【分析】顺次连接菱形中点得到的四边形是矩形，根据矩形的特有性质解题即可．
【详解】解：顺次连接菱形中点得到的四边形是矩形，矩形具有而平行四边形不具有的性质为：对角线相等．
故选：B．
【点睛】本题考查中点四边形和矩形的性质，熟练掌握举行的性质是解题的关键．
2．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解．
【详解】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由：
∵点E，F，G，H分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，，
∴四边形为菱形．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键．
3．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，和均为等腰三角形，，，．若点、、、分别为边、、、的中点，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，交于点K，由题意可知垂直平分，利用等边三角形和等腰直角三角形的性质可以求出的长；由E，F，G，H分别为边的中点，可得出，从而可判定四边形是平行四边形；由，可判定，从而得四边形是矩形，而矩形的边长可由三角形的中位线定理求出，最后计算矩形的面积．
【详解】解：连接，交于点K，由题意可知垂直平分．
∵，为等腰三角形，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．
∵为等腰三角形，，
∴，
∴．
∵点E、F分别为四边形的边的中点，
∴，且．
同理，，且．
又∵，
∴且，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积．
故选C．
【点睛】本题主要考查矩形的判定及三角形中位线定理，判定四边形是矩形是解题关键；
4．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
，
四边形的周长．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（2017春·山东淄博·九年级校考期中）若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的四边形D．矩形
【答案】B
【详解】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直.
故选B.
6．（2022秋·九年级课时练习）顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）．
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
【答案】D
【分析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．
【详解】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．
∴EF=EH，EF⊥EH，
∴BD=2EF，AC=2EH，EF//BD，EH//AC
∴AC=BD，AC⊥BD，
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，
选项D满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．
7．（2022秋·九年级课时练习）如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是
A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形
B．当M，N，P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为正方形
C．当M，N、P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为菱形
D．当M，N、P、Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为矩形
【答案】B
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：连接AC、BD交于点O，
M，N，P，Q是各边中点，
∴，，，，
∴，，
四边MNPQ一定为平行四边形，A说法正确，不符合题意；
时，四边形MNPQ不一定为正方形，B说法错误，符合题意；
时，，
四边形MNPQ为菱形，C说法正确，不符合题意；
时，，
四边形MNPQ为矩形，D说法正确，不符合题意.
故选B．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．
8．（2022秋·九年级课时练习）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若，则四边形EFGH为矩形；
②若，则四边形EFGH为菱形；
③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；
④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先根据三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形，矩形，正方形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴，，
同理，
∴EH=GF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
①若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故①错误；
②若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③若AC与BD互相垂直且相等，结合①②的判断可知四边形EFGH是正方形，故③正确；
④若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故④错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是解题的关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形的内角和小于四边形的内角和
C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D．四边形的面积等于四边形面积的
【答案】C
【分析】连接，根据三角形中位线的性质，，，继而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：连接，设交于点，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意；
C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
10．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可．
【详解】解：如图，
∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知：
EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，
∴AC+BD=3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
11．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①新的四边形成为矩形，符合条件；
②四边形是平行四边形，．
．
根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③四边形是平行四边形，．
．
．
四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．
故选：．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
12．（2022·福建·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的对角线，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，若在四边形ABCD内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为_____________．
【答案】##0.5
【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．
【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AD，AB，BC，CD的中点，
∴EH、FG分别是△ACD、△ABC的中位线，EF、HG分别是△ABD、△BCD的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF∥BD，GH∥BD且EF=BD，GH=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=EF•FG=AC•BD，
∵四边形ABCD的面积=AC•BD，
∴这一点落在图中阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率，中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
13．（2022·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断：
①AC垂直平分BD；
②四边形ABCD的面积S＝AC•BD；
③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；
④将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，四边形ABCD的内切圆半径为．其中正确的是 _____．（写出所有正确判断的序号）
【答案】①
【分析】依据，，可得是线段的垂直平分线， 故①正确；依据四边形的面积，故②错误；依据三角形中位线可得顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是矩形，故③错误；由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质及等积法可求解．
【详解】解：在四边形中，，，
是线段的垂直平分线， 故①正确；
设AC与BD交于点O，如图所示：
∴四边形面积，故②错误；
顺次连接四边形ABCD的四边中点，分别记作M、N、G、H，如图所示：
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵BC＞AB，
∴AC≠BD，
∴四边形不可能正方形，故③错误；
将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示：
由折叠可得， 四边形是菱形，，，
，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵⊙I是四边形ABCD的内切圆，
∴，
∵，
∴，
∴；即四边形ABCD的内切圆半径为，故④错误；
综上所述：只有①正确；
故答案为①．
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、切线的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、切线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是_____．
【答案】且
【分析】根据条件先判定四边形为平行四边形，再由可判定其为菱形，最后由可得其为正方形．
【详解】解：满足的条件应为：且．
理由：∵，，，分别是边、、、的中点
∴在中，为的中位线
∴且
同理且
则且
∴四边形为平行四边形
又∵
∴
∴四边形为菱形
∵，
∴
∵
∴
∴
∴菱形是正方形．
故答案是：且
【点睛】本题考查了中点四边形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行线的判定与性质等，解题的关键是能利用中位线的性质得到且．
15．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG、FH交于点O．若AC=4，则EG2+FH2=______．
【答案】16
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH．在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=4，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值．
【详解】∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，
EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FGBD，EF=HGAC．
又∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH，EG=2OE，FH=2OH．
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=4，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=4×4=16，
∴（2OE）2+（2OH）2=16，
即EG2+FH2=16．
故答案为16．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大．
16．（2022秋·九年级课时练习）已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．
【答案】
【分析】根据矩形的周长表示出边BC，再根据EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半列式整理即可得解．
【详解】∵矩形ABCD的周长为18，AB=，
∴BC=，
∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，矩形的性质，熟知中点四边形EFGH的面积等于矩形ABCD的面积的一半是本题的关键．
17．（2021秋·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，在四边形中，，，且顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…如此进行下去，得到四边形，下列结论正确的有__________．
①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是．
【答案】②③
【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形，四边形是菱形，四边形是矩形，四边形是菱形，从而可得到规律，序号n是奇数时四边形是矩形，当序号n是偶数时四边形是菱形，再探究n是奇数时四边形的周长即可解决问题．
【详解】解： 分别是的中点，


四边形是平行四边形，


四边形是矩形，

如图，分别是的中点，
四边形是平行四边形，

四边形是菱形，故①不符合题意，

同理可得：四边形是矩形，
四边形是菱形，故②符合题意，

总结规律：
四边形， 当序号是奇数时四边形是矩形，
当序号是偶数时四边形是菱形，

四边形的周长为
如图， 四边形是矩形，四边形是菱形，分别是的中点，
由中位线的性质同理可得：

所以四边形的周长为
由规律可得：四边形是矩形，
同理可得：四边形的周长是故③符合题意．
故答案为②③．
【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
18．（2022秋·九年级课时练习）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）平行四边形；理由见解析；（3）菱形、矩形、正方形．理由见解析．
【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证．
【详解】（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1：
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴ ， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴ ， ，
∴EH∥GF，EH =FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2：
∵E，F分别是DA，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= ，
∵M，N分别是BC，AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形MNEF是平行四边形；
（3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下：
已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF=BD，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC，
∵G是CD的中点，H是AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH= AC，
又∵AC=BD，
∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形；
如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形，
理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF∥BD， ，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形；
如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下：
已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF∥BD，GF=BD，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（2022秋·九年级课时练习）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 ．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形
【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；
（3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．
【详解】解：（1）如图1，连接BD，
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）结论：四边形EFGH是菱形，
理由：如图2，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∴EF=FG，
由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（3）结论：四边形EFGH是正方形，
理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中点四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．
20．（2021春·广西桂林·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．
（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；
（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析
【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得；
（2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形．
【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下：
连接AC，如图，
在△ABC和△ADC中，
∵EF、GH分别为其中位线，
∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形，
连接BD ，如图，
在△BCD中，
∵GF为其中位线，
∴GF=BD ，
∵EF=AC（已证），且AC=BD，
∴EF=GF ，
又∵四边形EFGH为平行四边形（已证），
∴四边形EFGH为菱形．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半．
21．（2021春·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析
【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可．
【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；
②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
故答案为：菱；矩；
（2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：
分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，，
在和中，
，
∴，∴，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．
【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键．
22．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键．
23．（2019·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
【答案】(1)相等；(2)垂直；(3)见解析.
【分析】（1）连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半,再根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判定即可
（3）由（2）可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
【详解】（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH=BD，EH∥BD．
同理得FG=BD，FG∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．
若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；
若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；
若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；
故答案为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
【点睛】此题综合运用了三角形的中位线定理和特殊四边形的判定定理．熟记结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．
模型
证明过程
∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=12 BD
∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=12 BD
∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形
∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=12 AC
∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=12 AC
∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形
模型
证明过程
∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=12 BD
∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=12 BD
∴EH = FG = 12 BD 则EH+FG= BD
同理EF = GH = 12 AC 则EF+GH=AC
∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC
证明：CEFGH =AC+BD
过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M
s▱PHEQ=PQ•MN=12 AN•12 BD=12•(12 AN•BD)= 12S△ABD
同理s▱PGFQ = 12S△BCD
∴sEFGH =12sABCD
证明：sEFGH =12sABCD
已知条件
模型
证明过程
特例
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形。
根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形
∵AC⊥DB ∠DOC=90°
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF
∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 °
∴四边形EFGH是矩形。
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形。
∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF=12AC
∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG=12AC
∴EF=HG=12AC 同理EH=FG=12BC
∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形
点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形。
已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程）
∵AC⊥DB ∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是正方形