专题22 四边形（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

这是一份专题22 四边形（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题22 四边形
一、单选题
1．（2022·上海嘉定·九年级）下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据等腰梯形的性质对①③进行判断；根据等腰梯形的判定方法对②④进行判断．
【详解】
解：等腰梯形的两个底角相等，所以①为真命题；
两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以②为真命题；
等腰梯形的对角线相等，所以③为真命题；
对角线相等的梯形是等腰梯形，所以④为真命题．
故选：D．
2．（2022·临沂第九中学九年级月考）如图，在□ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）

A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．
【详解】
解：∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
故A选项不符合题意，
若AE＝3.6，AD＝6，
∴，
又∵，
∴，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴∠AED＝∠ADB＝90°．
∴四边形DEBF为矩形．
故B选项不符合题意，
∵AB＝10，AE＝5，
∴BE＝5，
又∵∠ADB＝90°，
∴DE＝AB＝5，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF为菱形．
故C选项不符合题意，
∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，
∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．
故选项D符合题意．
故选：D．
3．（2022·重庆字水中学九年级）下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据正方形、矩形、平行四边形、菱形的判定定理逐一判断即可．
【详解】
A：是真命题，是正方形的判定定理；
B：是真命题，是矩形的判定定理；
C：是真命题，是平行四边形的判定定理；
D：不正确，是假命题，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；
故选：D．
4．（2022·沙坪坝·重庆八中九年级月考）如图，正方形和正方形中，点D在上，，，H是的中点，那么的长是（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边中线的性质解答即可．
【详解】
如图，连接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG，，，
∴∠ACD=∠GCF=45°，，
∴，，∠ACF=90°，
∴在中，，
∵H是AF的中点，
∴．
故选：B．
5．（2022·广东九年级期末）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB=8，BC=6，则MN=（ ）

A．8 B．6 C．5 D．
【答案】D
【分析】
连接BD，BF，DF，由矩形的性质可以得到MN是△BDF的中位线，即，由旋转的性质可以得到BF=BD，∠DBF=90°，利用勾股定理求出DF的长即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接BD，BF，DF，
∵四边形ABCD和四边形BGFE都是矩形，M，N分别是AC和EG的中点，
∴M和N分别也是BD和BF的中点，
∴MN是△BDF的中位线，
∴
∵AB=8，BC=6，∠ABC=90°，
∴，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，
∴BF=BD=10，∠DBF=90°，
∴，
∴，
故选D．

6．（2022·深圳市宝安中学（集团）九年级）下列判断正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
C．如果两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4∶3
D．若点是的黄金分割点，且，则的长为
【答案】C
【分析】
A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．
【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；
C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；
D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长为或，故此选项错误；
故选C．
7．（2022·山东济宁学院附属中学）如图，矩形纸片，，，E为边D上一点，将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处，过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则=（　　）．

A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】
连接，，可求得为的中点，根据中位线的性质可得，勾股定理求得即可．
【详解】
解：连接，

由折叠的性质可得，
又∵
∴点在线段上，
又∵
∴
∴
又∵的中点N
∴为的中位线
∴
在中，
∴
故选A
8．（2022·全国九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
【答案】B
【分析】
由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定与性质可得∠DFC＝∠BCF，∠DFC＝∠DCF，可证明①；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，再证明 FG⊥CE，可证明②；根据平行线的性质可得∠AEC＝∠DCE＝90°，进而可证明③；而无法证明④．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，
∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，

∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
∵

而不一定等于
∴不一定等于，故④错误；
故选：B．
9．（2022·全国九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　）

A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2
【答案】C
【分析】
如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，由此再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可．
【详解】

如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2，
∴EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为(AD+BC)×AN＝×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2，
故选：C．
10．（2022·珠海市文园中学九年级）如图，在边长为的正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点．下列结论①； ②；③； ④，正确的有（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；
②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
③可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°

∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故正确；
②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故正确；
④由①知，QF＝QB，
令PF＝k（k＞0），则PB＝2k
在Rt△BPQ中，设QB＝x，
∴x2＝（x﹣k）2+4k2，
∴x＝，
∴sin∠BQP＝，故正确；
③∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE＝BC，BF＝BC，
∴BE：BF＝1：，
∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，
∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故正确．
综上所述，共有4个结论正确．
故选A．
二、填空题
11．（2022·上海崇明·九年级）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米．
【答案】13
【分析】
根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长即可．
【详解】
∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，
∴两底的和为（厘米），
∴这个梯形的中位线长为（厘米），
故答案为：13．
12．（2022·浙江九年级月考）如图，已知的对角线，将绕其对称中心旋转，则点所转过的路径长为______．

【答案】
【分析】
点D所转过的路径是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，根据平行四边形的性质可得OD=，根据弧长公式计算即可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴OD==2cm，
∵将绕其对称中心旋转，
∴点D所转过的路径是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，
∴点所转过的路径长==，
故答案为：
13．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F，若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为____．

【答案】
【分析】
证明，进而证明是等边三角形，结合矩形的性质以及全等三角形的性质，勾股定理，进而即可求得．
【详解】
四边形是矩形
，

，
，

OE⊥BC，
，
BC＝2AF，


，

是等边三角形






．
故答案为：．
14．（2022·广东）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC＝CD，∠A＝60°，CD＝2，则下底AB的长等于__．

【答案】4
【分析】
由已知可得梯形为等腰梯形，从而可得AD=2，再根据含30°角直角三角形的性质可以得到AB的值 ．
【详解】
解：∵∠A＝60°，BD⊥AD，
∴∠ABD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝30°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∴∠ABC＝60°＝∠A，
∴AD＝BC＝CD＝2，
∴AB＝2AD＝4．
故答案为：4．
15．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）已知矩形ABCD中，BE平分∠ABC交矩形的一条边于点E，若BD＝10，∠EBD＝15°，则AB＝___．
【答案】5或5
【分析】
画出符合条件的两种情况，根据矩形性质求出∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，求出∠DBC的度数，求出CD即可得出结论．
【详解】
解：有两种情况：
①BE与边AD相交时，如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB=CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵∠EBD＝15°，
∴∠DBC＝∠CBE−∠DBE＝30°，
∴CD＝BD＝×8＝5，
∴AB=5；
②BE与边CD相交时，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝45°，
∵∠EBD＝15°，
∴∠ABD＝∠CBE-∠DBE＝30°，
∴，
∴
故答案为：5或5．
三、解答题
16．（2022·福建省同安第一中学九年级）如图，已知四边形ABCD是矩形，
（1）尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内；
（2）连接DE，若AB=6，AD=8，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）要使得正方形BECF的顶点E在矩形ABCD内，则应考虑以BC为对角线，因为∠B=∠C=90°，要构成正方形则E点应为∠B和∠C的角平分线的交点，所以可先作∠B与∠C的角平分线，然后再根据正方形的对称性作图即可；
（2）连接FE交BC于G点，并延长FE交AD于H点，根据矩形和正方形的性质分别求出DH和HE的长度，从而利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，先作∠B和∠C的角平分线，交于E点，
则此时△BEC为等腰直角三角形，
然后分别以B，C两点为圆心，BE，CE为半径作圆弧在BC下方交于F点，
∴此时四边形BECF即为所求正方形；

（2）如图所示，连接FE交BC于G点，并延长FE交AD于H点，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，
由（1）可知四边形BECF为正方形，
∴EG=GC=BC=4，EG⊥BC，
∴∠ADC=∠BCD=∠EGC=90°，即四边形CDHG为矩形，
∴DH=CG=4，GH=CD=6，∠DHE=90°，
∴HE=GH-GE=2，
在Rt△HDE中，根据勾股定理得：
DE==．

17．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）如图，在中，，D是边延长线上的一点，连接，过点A、D分别作、，、交于点E，连接．

求证：．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵、，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DE＝AB，∠EDB＋∠B＝180°，
∴DE＝AC，
∵∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝∠EDC，
在△ADC与△EDC中
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD＝CE．
18．（2022·宜兴市实验中学九年级）如图所示，的对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．求证：四边形是菱形．

【答案】见解析
【分析】
根据题意先证明，即可证明四边形为平行四边形，根据可得结果．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
19．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图所示，正方形的边长是4，点是边上的一个动点且，交于点，交正方形外角平分线于点，点是的中点，连按．
（1）求证：；
（2）若为的中点，求证：；
（3）点在何位置吋线段最短，并求出此时的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E为BC中点时，DG=3
【分析】
（1）由正方形性质可得，由得，由同角的余角相等即可求证结论；
（2）由正方形的性质求证，继而即可求证结论；
（3）易知，设设，，利用已知边表示出关于DG的二次函数关系，继而求得DG的值．
【详解】
解：（1）四边形是正方形
∴，，
∵，∴，
∴，
（2）如图
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∴，∴，
∵，∴，
又，∴，
∴，∴；

（3）设，，
由（1）知，又
∴，∴，∴
∴
∴
当即为中点时，
的最小值为3．

20．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；
（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．

【答案】（1）作图见解析；（2）．
【分析】
（1）作线段AD的垂直平分线交AB于E即可；
（2）过点E作EH⊥CD于H，求出EH，CH，即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图，线段DE即为所求作，

（2）过点E作EH⊥CD于H，
∵∠A=60°，EA=ED，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，AE=AD=DE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED=60°，
∵∠DHE=∠CHE=90°，
∴∠DEH=30°，
∴DH=DE=2，
由勾股定理得EH=，
∵AB=CD=6，
∴CH=CD-DH=4，
∴EC=．
21．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级开学考试）如图，E为长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若BE＝1，BC＝3，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据矩形的性质和折叠性质证得∠AED＝∠CDF，AD=CF，∠A＝∠CFD＝90°，进而证明△ADE≌△FCD即可；
（2）设，则，根据全等三角形性质得到，利用勾股定理列出x的方程，解之即可解答．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，AB=CD，∠A＝∠B＝90°，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDF，
由折叠可知：AD＝BC＝CF，∠B＝∠CFE＝90°，
∴∠A＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△FCD（AAS），
∴AE＝DF；
（2）设，则，
由折叠得：AD＝CF＝BC＝3，
∵△ADE≌△FCD，
∴，
Rt△AED中，，
∴，
解得：，
即CD＝5．
22．（2022·上海九年级专题练习）如图，在梯形中，，，，，

（1）求对角线的长度；
（2）求梯形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）如图，过A作交CB延长线于E，∵AC⊥DB，AE∥DB，∴AC⊥AE，∠AEC=∠DBC=30°，即△EAC为直角三角形，四边形为平行四边形，根据勾股定理求解；
（2）记梯形ABCD的面积为S，过A作AF⊥BC于F，则△AFE为直角三角形，求出梯形的高AF，根据梯形面积公式即可求解.
【详解】
解；（l）如图，过作交延长线于，
∵，.
∴，，
∴，即为直角三角形，
∴，
∴.
∵且.
∴四边形为平行四边形.
∴；
（2）记梯形的面积为，过作于，则为直角三角形.
∵
∴，即梯形的高，
∵四边形为平行四边形，
∴.
.

23．（2020·浙江）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，E为BC中点，AB＝DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠C＝60°，CD＝4，求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）12
【解析】
【分析】
（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出BE＝ED＝EC，再由边关系推出角相等进而推出平行，由双平行推出平行四边形，加上邻边相等的平行四边形是菱形，可以推出结论．
（2）作DF⊥BC于F，利用的直角三角形，求出DF的长度，再由梯形的面积公式即可求出．
【详解】
证明：（1）∵BD⊥DC，E为BC中点，
∴BE＝ED＝EC，
∴∠DBE＝∠BDE；
又AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴∠ADB＝∠BDE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB
∴∠BDE＝∠ABD
∴DE∥AB
又∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四边形ABCD为平行四边形
又AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
（2）由（1）得，BE＝EC＝AD＝DE，

∵∠C＝60°，
∴△DEC为等边三角形．
作DF⊥BC于F，则 ，
BC＝2BE＝2AD＝8，
∴S梯形ABCD＝ （AD+BC）×DF＝×（4+8）×2 ＝12．