2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第02讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第02讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词（教师版），共7页。试卷主要包含了充分条件、必要条件与充要条件，全称量词与全称命题，存在量词与特称命题等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3．存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
核心素养分析
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。
题型归纳
题型1全称命题与特称命题
【例1-1】已知命题，，，则为
A．，B．，
C．，D．，
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以：命题，，，则为，．
故选：．
【例1-2】命题“”的否定是
A．，B．
C．，D．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，；
故选：．
【跟踪训练1-1】命题，的否定为
A．，B．，
C．，D．，
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题：“，”的否定为：，．
故选：．
【跟踪训练1-2】命题，的否定为 ．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是特称命题，
则命题的否定是，，
故答案为：，．
【名师指导】
全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
题型2充分条件、必要条件的判定
【例2-1】 “”是“直线和直线垂直”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两直线垂直的充要条件的应用，四个条件的应用求出结果．
【解答】解：当时，直线转换为，直线转换为，所以两直线垂直．
当“直线和直线垂直”则：，解得或1，
故“”是“直线和直线垂直”的成分不必要条件．
故选：．
【例2-2】 “”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由化弦为切求得，再由充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：或，
即由不一定得到，反之，由一定得到．
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【跟踪训练2-1】若直线，，平面满足，，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】在，的前提下，由不一定得到，反之成立，结合充分必要条件的判定方法得答案．
【解答】解：，，由不能得到，与还可能平行或是相交不垂直；
反之，由，一定得到．
若，，则“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【跟踪训练2-2】 “”是“函数的图象关于点，对称”的
条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．
【分析】把代入函数，求出可知充分；反之，由求得，，说明不必要．
【解答】解：若，则函数，此时，可得函数的图象关于点，对称；
反之，若函数的图象关于点，对称，则，
即，，则，．
“”是“函数的图象关于点，对称”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【名师指导】
判断充分、必要条件的2种方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
题型3充分条件、必要条件的应用
【例3-1】已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【分析】，解得或，可得，根据是的必要不充分条件，即可得出．
【解答】解：，或，
，
又，是的必要不充分条件，
据题意，得，解得．
故答案为：，．
【例3-2】已知，，
（1）若是的充分条件，但不是的必要条件，求实数的取值范围．
（2）是的充分不必要条件，求的范围．
【分析】若成立，则；若成立，则．
（1）根据是的充分不必要条件，可得，是，的真子集，即可得出．
（2）由是的充分不必条件，可得是的充分不必要条件，即可得出．
【解答】解：若成立，则；若成立，则．
（1）是的充分不必要条件，，是，的真子集，
（等号不同时成立），解得．故实数的取值范围为．
（2）是的充分不必条件，是的充分不必要条件，
，解得：．
故实数的取值范围为．
【跟踪训练3-1】（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是
A．B．C．1D．4
【分析】分别解出””，“”，根据”是“”的充分不必要条件，即可得出．
【解答】解：“”．
“”，或．
“”是“”的充分不必要条件，
，或，解得：，或，
则实数可以是．
故选：．
【跟踪训练3-2】若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是
A．B．C．D．或
【分析】，化为：，解得：范围．根据成立的一个充分不必要条件是，即可得出．
【解答】解：，化为：，解得：．
成立的一个充分不必要条件是，
，等号不能同时成立，解得．
则实数的取值范围是．
故选：．
【跟踪训练3-3】请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合，，．
（1）求集合，；
（2）若是成立的 条件，判断实数是否存在？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）根据不等式的解法分别求出不等式的解集即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．
【解答】解：（1）由得，故集合，
由得，，
因为，故集合．
（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，
则有，解得，
所以，实数的取值范围是，．
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
则有，解得，
所以，实数的取值范围是，．
若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，
则有，方程组无解．
所以，不存在满足条件的实数．
故答案为：若是成立的充分不必要条件，则，
若是成立的必要不充分条件，则，
若是成立的充要条件，则不存在.
【名师指导】
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．