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2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第03讲不等关系与一元二次不等式（学生版）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第03讲不等关系与一元二次不等式（学生版），共4页。试卷主要包含了两个实数比较大小的依据，不等式的性质等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b(2)传递性：a>b，b>c⇒aeq \a\vs4\al(>)c；
(3)可加性：a>b⇔a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒aneq \a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒eq \r(n,a)eq \a\vs4\al(>)eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
核心素养分析
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
题型归纳
题型1不等式的性质及应用
【例1-1】下列命题中，正确的是
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【跟踪训练1-1】若，，则
A．B．
C．D．
【名师指导】
比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
题型2一元二次不等式的解法
【例2-1】不等式的解集为 ．
【例2-2】求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
【跟踪训练2-1】一元二次不等式的解集为
A．B．
C．D．
【跟踪训练2-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是
A．B．，，
C．D．，
【名师指导】
1.解一元二次不等式的4个步骤
2.解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
题型3一元二次不等式的恒成立或有解问题
【例3-1】已知关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【例3-2】不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 ．
【跟踪训练3-1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．，
【跟踪训练3-2】关于的不等式在区间，上有实数解，则实数的取值范围是 .
【名师指导】
1.一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b2－4ac<0.))
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b2－4ac<0.))
2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异
实根x1，
x2(x1有两相等实
根x1＝x2
＝－eq \f(b,2a)
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
eq \a\vs4\al(∅)
知识梳理
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒aneq \a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒eq \r(n,a)eq \a\vs4\al(>)eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
核心素养分析
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
题型归纳
题型1不等式的性质及应用
【例1-1】下列命题中，正确的是
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【跟踪训练1-1】若，，则
A．B．
C．D．
【名师指导】
比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
题型2一元二次不等式的解法
【例2-1】不等式的解集为 ．
【例2-2】求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
【跟踪训练2-1】一元二次不等式的解集为
A．B．
C．D．
【跟踪训练2-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是
A．B．，，
C．D．，
【名师指导】
1.解一元二次不等式的4个步骤
2.解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
题型3一元二次不等式的恒成立或有解问题
【例3-1】已知关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【例3-2】不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是 ．
【跟踪训练3-1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．，
【跟踪训练3-2】关于的不等式在区间，上有实数解，则实数的取值范围是 .
【名师指导】
1.一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,b2－4ac<0.))
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,b2－4ac<0.))
2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异
实根x1，
x2(x1
根x1＝x2
＝－eq \f(b,2a)
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
eq \a\vs4\al(∅)
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