2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第56讲排列与组合（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第56讲排列与组合（教师版），共7页。试卷主要包含了排列、组合的定义等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
题型归纳
题型1排列问题
【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】 (1)从7人中选5人排列，有Aeq \\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq \\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq \\al(4,4)种方法，共有Aeq \\al(3,7)Aeq \\al(4,4)＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq \\al(6,6)种排列方法，共有5×Aeq \\al(6,6)＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有Aeq \\al(2,6)种排法，其他有Aeq \\al(5,5)种排法，共有Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(5,5)＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq \\al(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq \\al(4,4)种方法，共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(4,4)＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有Aeq \\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq \\al(3,5)种方法，共有Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)＝1 440(种)．
【跟踪训练1-1】高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A．1 800 B．3 600
C．4 320 D．5 040
【解析】选B 先排除舞蹈节目以外的5个节目，共Aeq \\al(5,5)种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有Aeq \\al(2,6)种，所以共有Aeq \\al(5,5)Aeq \\al(2,6)＝3 600(种)．
【跟踪训练1-2】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A．250个 B．249个
C．48个 D．24个
【解析】选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有Aeq \\al(3,4)＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有Aeq \\al(3,4)＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
【跟踪训练1-3】将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )
A．1 108种 B．1 008种
C．960种 D．504种
【解析】选B 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(6,6)种排法；将甲排在排头，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)种排法；乙排在排尾，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(6,6)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝1 008(种)．
【名师指导】
求解排列应用问题的6种主要方法
题型2组合问题
【例2-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
【解】 (1)从余下的34种商品中，
选取2种有Ceq \\al(2,34)＝561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有Ceq \\al(3,34)种或者Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(2,34)＝Ceq \\al(3,34)＝5 984(种)取法．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝2 100(种)取法．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)种，选取3种假货有Ceq \\al(3,15)种，
共有选取方式Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＋Ceq \\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)法一：(间接法)
选取3种商品的总数为Ceq \\al(3,35)，因此共有选取方式
Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
法二：(直接法)
共有选取方式Ceq \\al(3,20)＋Ceq \\al(2,20)Ceq \\al(1,15)＋Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
【跟踪训练2-1】从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 B．70
C．66 D．64
【解析】选D 从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,7)＋Ceq \\al(1,7)·Ceq \\al(1,6)＝56种选法，三个数相邻共有Ceq \\al(1,8)＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．
【跟踪训练2-2】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有Ceq \\al(3,6)种情况，没有女生参加的情况有Ceq \\al(3,4)种，故共有Ceq \\al(3,6)－Ceq \\al(3,4)＝20－4＝16(种)．
【答案】16
【跟踪训练2-3】在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．
【解析】若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq \\al(1,5)种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有Ceq \\al(2,4)种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有Ceq \\al(2,5)种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有Ceq \\al(2,5)＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案．
【答案】40
【名师指导】
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
题型3排列与组合问题的综合应用
【例3-1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
【解析】 (1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝Aeq \\al(3,3)×Aeq \\al(2,4)＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,3)＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
(2)根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有Ceq \\al(2,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,2)＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．
【答案】 (1)60 (2)24
【例3-2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
【解析】 添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有Aeq \\al(7,7)种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有Aeq \\al(10,10)种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有eq \f(A\\al(10,10),A\\al(7,7))＝720(种)．
【答案】 720
【例3-3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【解析】 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90(种)分派方法．
(2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．
(3)将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有Ceq \\al(1,6)种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有Ceq \\al(2,5)种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有Ceq \\al(3,3)种取法．
根据分步乘法计数原理，共有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)＝60种取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有Aeq \\al(3,3)＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
【答案】 (1)90 (2)36 (3)360
【跟踪训练3-1】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
【解析】选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
【跟踪训练3-2】第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有( )
A．150 B．126
C．90 D．54
【解析】选B 根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq \\al(1,3)种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有Ceq \\al(1,3)·eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(3,3)种方法．故满足题意的不同安排方案数共有Ceq \\al(1,3)·eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(3,3)＝108＋18＝126.故选B.
【跟踪训练3-3】冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．
【解析】5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),2)＋\f(C\\al(1,5)C\\al(2,4),2)))·Aeq \\al(3,3)＝150(种)．
【答案】150
【名师指导】
一、解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．
二、解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq \\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法种eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
三、分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法