2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第11讲函数的图象（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第11讲函数的图象（教师版），共11页。试卷主要包含了利用描点法作函数的图象，利用图象变换法作函数的图象等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留x轴及上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留y轴及右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
eq \f(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)
eq \f(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变,0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变)→y＝af(x)．
题型归纳
题型1作函数的图象
【例1-1】已知函数．
（Ⅰ）画出函数的图象；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）直接写出的值域．
【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可；
（Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解；
（Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）函数的图象如图；
（Ⅱ）当时，满足，
当，由得，得或，
此时或，
当时，恒成立，
综上得或，
即的取值范围是得或；
（Ⅲ）由图象知，即的值域是，．
【跟踪训练1-1】已知函数．
（1）作出函数的图象；
（2）由图象写出函数的单调区间．
【分析】（1）由函数．分别画出和时的图象即可；
（2）根据函数的图象，写出单调区间即可．
【解答】解：（1）函数．
当时，；
当时，．
故图象如图所示；
（2）函数的增区间为：，，；
减区间为：，，，．
【名师指导】
作函数图象的两种常用方法
1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
题型2函数图象的识辨
【例2-1】函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，
函数，则，则函数为奇函数，故排除，，
当是，，故排除，
故选：．
【例2-2】已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为
A．B．
C．D．
【分析】由图可知，函数为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项和；对比和选项，发现当时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解．
【解答】解：由图可知，函数为奇函数，而选项和中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项和；
当时，从图象可知，，而对于选项，，，所以，与图象不符，排除选项．
故选：．
【例2-3】已知角的始边与的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为点，的面积为，则函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】由题可知，点，点，点，则，故排除选项和，又因为当时，，排除选项，可得所求图象．
【解答】解：由题知，点，点，点，
则，故排除选项和，
又因为当时，，排除选项．
故选：．
【跟踪训练2-1】函数在，的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】由的解析式知该函数为奇函数可排除，然后计算时的函数值，根据其值即可排除，．
【解答】解：由在，，知
，
是，上的奇函数，因此排除
又（4），因此排除，．
故选：．
【跟踪训练2-2】已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是
A．B．
C．D．
【分析】由函数的奇偶性排除与，在分析复合函数的单调性排除，则答案可求．
【解答】解：令，该函数的定义域为，且，
为上的偶函数；
令，该函数的定义域为，且，
为上的奇函数，
又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，
且图中所给出的函数为偶函数，排除与；
又由图可知，所求函数在，上为减函数，
而中内层函数在，上为增函数，而外层函数正弦函数在，上为增函数，
故当大于0且在0附近时，中函数为增函数，排除．
故选：．
【跟踪训练2-3】如图，点在以为直径的半圆弧上，点沿着运动，记．将点到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案．
【解答】解：，
选项符合题意，
故选：．
【名师指导】
识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
题型3函数图象的应用
【例3-1】函数的图象
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于直线对称D．关于原点对称
【分析】先求出函数的定义域，再计算的表达式，并观察与的联系，发现，故而得解．
【解答】解：，或，即函数的定义域为，，（定义域关于原点对称），
，，
函数是偶函数，关于轴对称，
故选：．
【例3-2】已知定义在上的偶函数部分图象如图所示，那么不等式的解集为 ．
【分析】根据题意，由函数的图象以及奇偶性分析可得以及的解集，又由或，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由的图象分析可得：在和上，，在区间上，，
又由为偶函数，则在和上，，在区间上，，
或，
则有或或，
即不等式的解集为或或；
故答案为：或或．
【例3-3】已知函数其中表示不超过的最大整数，如：，，．若直线与函数的图象恰好有三个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
【分析】画图可知就是周期为1的函数，且在，上是一直线的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线过点与直线过点之间即可．
【解答】解：函数，
函数的图象如下图所示：
，故函数图象一定过点
若有三个不同的根，则与的图象有三个交点
当过点时，，当过点时，，
故有三个不同的根，则实数的取值范围是
故答案为：．
【跟踪训练3-1】函数，若函数的图象与函数的图象有公共点，则的取值范围是 ．
【分析】作出函数图象，求出函数的值域，结合函数与方程的关系转化为图象交点问题进行求解即可．
【解答】解：作出函数的图象如图：
当时，，
当时，，
即函数的值域为，，，
要使函数的图象与函数的图象有公共点，
则，或，
则的取值范围，，，
故答案为：，，
【跟踪训练3-2】已知函数和的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【分析】根据和图象可得和的正负，即可求解不等式的解集．
【解答】解：由图象可得时，，
时，，
当时
由图象可得时，，
时，，
不等式，即或；
，
不等式的解集为，
故答案为：，
【名师指导】
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．