2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第14讲导数的概念及运算（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第14讲导数的概念及运算（学生版），共5页。试卷主要包含了导数的概念，基本初等函数的导数公式，复合函数的导数等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型归纳
题型1 导数的运算
【例1-1】已知函数，则它的导函数等于
A．B．C．D．
【例1-2】已知：函数，其导函数．若函数的导函数，且，则的值为
A．B．1C．D．
【跟踪训练1-1】设函数，若（1），则 ．
【跟踪训练1-2】已知（1），则（1）的值为 ．
【名师指导】
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
题型2 求切线方程
【例2-1】曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【例2-2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
【跟踪训练2-1】已知函数，则曲线在点处的切线的方程为 ．
【跟踪训练2-2】过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【名师指导】
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
题型3 求切点坐标
【例3-1】过点作曲线的切线，则切点坐标为
A．B．C．D．
【跟踪训练3-1】过点作曲线的切线，则切点坐标为 ．
【名师指导】
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
题型4 由曲线的切线（斜率）求参数取值范围
【例4-1】曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为
A．B．6C．12D．
【例4-2】函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，，
【跟踪训练4-1】直线与曲线相切，则的值为 ．
【名师指导】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
题型5 两曲线的公切线问题
【例5-1】已知与有相同的公切线，设直线与轴交于点，，则的值为
A．1B．0C．D．
【跟踪训练5-1】若存在，使得函数与在这两函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为
A．B．C．D．
【名师指导】
解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(fx1－gx2,x1－x2).原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元