2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第30讲平面向量的数量积（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第30讲平面向量的数量积（教师版），共12页。试卷主要包含了向量的夹角，平面向量的数量积，平面向量数量积的有关结论等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
题型归纳
题型1 平面向量数量积的运算
【例1-1】已知向量，满足，，则
A．0B．2C．3D．4
【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．
【解答】解：．
故选：．
【例1-2】在中，为线段的中点，，，则
A．B．C．3D．4
【分析】以，为基底，分别表示，，即可求解．
【解答】解：为线段的中点，，，
又，，则，．
．
故选：．
【跟踪训练1-1】平行四边形中，，，，是线段的中点，则
A．0B．2C．4D．
【分析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．
【解答】解：如图，根据题意：，，且，，，
．
故选：．
【跟踪训练1-2】已知，满足，，的夹角为，则 ．
【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可．
【解答】解：，满足，，的夹角为，
．
故答案为：．
【名师指导】
求非零向量a，b的数量积的3种方法
题型2 平面向量数量积的应用
【例2-1】已知向量，的夹角为，，，则
A．1B．C．3D．2
【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得．
【解答】解：向量，的夹角为，，
．
则，
故选：．
【例2-2】已知平面向量，，，则与的夹角为
A．B．C．D．
【分析】根据条件可求出，，然后即可求出的值，从而得出与的夹角．
【解答】解：，，
，且，
．
故选：．
【例2-3】已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则
A．B．C．D．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得的值．
【解答】解：是两个非零向量，其夹角为，若，
则，
．
，
，
．
则，
故选：．
【跟踪训练2-1】已知向量，满足，，，，则
A．2B．3C．4D．6
【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．
【解答】解：因为，，所以．
故选：．
【跟踪训练2-2】已知，是单位向量，若，则与的夹角为
A．B．C．D．
【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出与的夹角的余弦值，可得它的与的夹角．
【解答】解：已知，是单位向量，若，设与的夹角为，
，
即，求得，，
故选：．
【跟踪训练2-3】已知向量、满足，，向量，的夹角为，则的值为
A．4B．3C．2D．
【分析】根据条件可求出，从而根据即可求出答案．
【解答】解：，且，
．
故选：．
【跟踪训练2-4】已知，，若，则 ．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出的值，可得的值．
【解答】解：已知，，若，
则，，
则，
故答案为：．
【跟踪训练2-5】已知向量，，且，则
A．B．C．6D．8
【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，再由，利用向量垂直的性质能求出的值．
【解答】解：向量，，
，
，
，
解得．
故选：．
【跟踪训练2-6】已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为
A．B．C．D．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得实数的值．
【解答】解：向量，，向量在向量方向上的投影为，
，
若，则，
，
故选：．
【跟踪训练2-7】已知向量，，若，则实数的值为
A．B．1C．D．2
【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出，再由，能求出实数的值．
【解答】解：向量，，
，
，
，
解得实数．
故选：．
【跟踪训练2-8】已知向量与的夹角为，，，当时，实数为
A．1B．2C．D．
【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值．
【解答】解：向量与的夹角为，，，
由知，，
，
，
解得．
故选：．
【跟踪训练2-9】已知，，且，则 ．
【分析】推导出，，由此能求出结果．
【解答】解：，，且，
，
，
．
故答案为：．
【跟踪训练2-10】已知，，若，则实数的值为 ．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．
【解答】解：已知，，．
若，，，，
则实数，
故答案为：5．
【跟踪训练2-11】在中，，若角的最大值为，则实数的值是 ．
【分析】由得出，设三角所对的边分别为、、，求出，再利用角的最大值得出方程求出的值．
【解答】解：中，，
所以，
即，
所以，
设三角所对的边分别为、、，
则，
所以，
若角的最大值为，
则，
令，解得．
故答案为：3．
【名师指导】
1.求平面向量模的2种方法
2.求平面向量夹角的2种方法
3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
题型3 平面向量与三角函数的综合问题
【例3-1】已知向量，，向量，，函数．
（1）求的最大值；
（2）若，是关于的方程的两根，且，求及的值．
【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解即可．
（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可．
【解答】解：（1）向量，，向量，，
函数，
所以函数的最大值为2．
（2），是关于的方程的两根，即与，，
是关于的方程的两根，所以，，
因为，所以，解得．
所以．
【例3-2】已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，时，求函数的最值．
【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．
（2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．
【解答】解：（1）．
由，，
可得，，
单调递增区间为：，．
（2）若．
当，时，，
即，则，
所以函数的最大值、最小值分别为：，．
【跟踪训练3-1】已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，则函数的值域．
【分析】（1）根据平面向量平行的坐标运算以及二倍角公式进行求解即可；
（2）先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数化简为，再结合正弦函数的图象与性质求解即可．
【解答】解：（1），，，即，
，，．
（2），
，，．
函数的值域为．
【跟踪训练3-2】已知，．
（1）若，求向量在向量方向的投影的数量．
（2）若，且，求向量的坐标．
【分析】（1）先将等式的左边展开化简运算可得，再根据平面向量数量积的定义求解即可；
（2）把代入的坐标中可得向量，设，根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列出关于和的方程组，解之即可．
【解答】解：（1），
，
向量在向量方向的投影的数量为．
（2），，，，
设，则①，
，②，
由①②解得，或．
故向量的坐标为或．
【名师指导】
向量与三角函数综合问题的特点与解题策略
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．
(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
方法
适用范围
定义法
已知或可求两个向量的模和夹角
基底法
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
坐标法
①已知或可求两个向量的坐标；
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
公式法
利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
定义法
当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求得
坐标法
若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cs 〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]