高考数学导数冲满分-专题11 导数中洛必达法则的应用

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在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是最值分析法或参变分离法．用最值分析法常需要分类讨论，有时对参数进行讨论会很难．用参变分离法在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．出现“eq \f(0,0)”或“eq \f(∞,∞)”型的代数式，就没法求其最值．解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．“eq \f(0,0)”或“eq \f(∞,∞)”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，
洛必达法则
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a)) f(x)＝0及eq \(lim,\s\d4(x→a))g(x)＝0；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f′(x),g′(x))＝A，
那么eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f(x),g(x))＝eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f′(x),g′(x))＝A．
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件
(1)eq \(lim,\s\d4(x→a))f(x)＝∞及eq \(lim,\s\d4(x→a))g(x)＝∞；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3)eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′(x),g′(x))＝A，
那么eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f(x),g(x))＝eq \(lim,\s\d4(x→a))eq \f(f′(x),g′(x))＝A．
法则3 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) eq \(lim,\s\d4(x→∞))f(x)＝0及eq \(lim,\s\d4(x→∞))g(x)＝0；
(2)∃m≠0，f(x)和g(x)在(－∞，m)与(m，＋∞)上可导，且g′(x)≠0；
(3) eq \(lim,\s\d4(x→∞))eq \f(f′(x),g′(x))＝A．
那么eq \(lim,\s\d4(x→∞))eq \f(f(x),g(x))＝eq \(lim,\s\d4(x→∞))eq \f(f′(x),g′(x))＝A．
注意：(1)必达法则的功能是用于求极限值；(2)主要用于eq \f(0,0)，eq \f(∞,∞)两种类型，其他结构需转化才能应用；(3) 未定式可以连续应用，已定式不能再用．
计算下列各题
(1)eq \(lim,\s\d4(x→0))eq \f(sinx,x)；(2)eq \(lim,\s\d4(x→0))xlnx；(3)eq \(lim,\s\d4(x→1))(eq \f(1,x－1)－eq \f(1,lnx))；(4)eq \(lim,\s\d4(x→1))eq \f(x3－x2－x＋1,x3－3x＋2)．
【例题选讲】
[例1] (2011全国Ⅰ)已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．
(1)求a，b的值；
(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)，求k的取值范围．
[例2] 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R．若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[例3] 已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
[例4] 已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．
(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围．
2．设函数f(x)＝ln(x＋1)＋ae－x－a，a∈R，当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x＋1)＋eq \f(1,x)，当x>0且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)恒成立，求k的取值范围．
4．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2．
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．