2022-2023学年江苏省苏州十中高一（下）期初数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州十中高一（下）期初数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x≥1，x+1≥0”的否定是( )
A. ∀x≥1，x+1<0B. ∃x≥1，x+1<0
C. ∀x≥1，x+1≥0D. ∃x<1，x+1<0
2.集合{(x,y)|2x+y≤6，x，y∈N*}中的元素个数为( )
A. 1B. 3C. 4D. 6
3.下列函数为幂函数的是( )
A. y=x2+1B. y=axC. y=2x−2D. y=1x
4.已知角α的终边上一点P(−1,3)，则sinα+csα=( )
A. − 105B. 105C. ± 105D. − 1010
5.若α，β∈R，则“α=β”是“tanα=tanβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.定义在{x|x≠0}]上的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x，则满足f(x)=f(6x+5)的所有x的值的和等于( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
7.设a=sin12，b=lg31.74，c=22023，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. a>c>b
8.设函数f(x)=|x|x+2−ax2有四个不同的零点，则实数a的取值范围为( )
A. a>1B. a≥1C. 0二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 565°角是第三象限角
B. 锐角都是第一象限角
C. 若θ为第二象限角，则θ2为第一象限或第三象限角
D. 若一扇形面积为π，弧长为π，则其圆心角也为π
10.已知a>b>c>0，下列结论中一定正确的是( )
A. a−b>b−cB. (a−c)a>(b−c)b
C. sina>sinbD. 2023a−c+a>2023b−c+b
11.为了得到函数y=cs(2x+π4)的图象，只要将函数y=sinx的图象( )
A. 向左平移3π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
B. 向右平移5π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)
C. 向左平移3π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)
D. 横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移3π8个单位长度
12.定义区间(α,β)的长度为β−α，记函数f(x)=lg[ax−(1+a2)x2](其中a>0)的定义域I的长度为L(a)，则下列说法正确的有( )
A. L(a)=a1+a2
B. L(a)的最大值为12
C. L(a)在(0,+∞)上单调递增
D. 给定常数k∈(0,1)，当a∈[1−k,1+k]时，L(a)的最小值为1−kk2−2k+2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知5a=6b=30，则1a+1b= ______．
14.一种波的波形为函数y=−sinπ2x的图象，若其在区间[0,t]上至少有3个波谷(图象的最低点)，则正整数t的最小值是______．
15.若a>0，b>0且满足2a+b=2，则4a+ab的最小值是______．
16.已知θ为锐角，sin(θ+15°)=35，则cs(2θ−15°)= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−4x≤0}，B={x|(x−t)(x−t−6)≤0}，其中t∈R．
(1)当t=2时，求A∪B；
(2)若A⊆B，求t的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知sinα+2csα=− 5，求sin(α+3π2)cs(−α)tan2αtan(π−α)sin(2π−α)cs(π2+α)的值．
(2)已知sinθ，csθ是关于x的方程：25x2−35x+a=0的两个实根，求1sinθ−1cs(π+θ)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)；在同一周期中，当x=π12时取得最大值4，当x=5π12时取得最小值−4．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)若f(23α+π12)=2，α∈(0,π)，求α的值．
20.(本小题12分)
心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为f(x)(f(x)值越大，表示接受能力越强)，f(x)与x的函数关系为：f(x)=−0.1x2+2.6x+44,0(1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
(2)若一个数学难题，需要56及以上的接受能力(即f(x)≥56)以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3+aex1+ex是定义域上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)若关于θ的不等式f(k)+f( 3sinθcsθ+cs2θ)>0在θ∈[−π6,π3]上有解，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
定义：双曲余弦函数csh(x)=ex+e−x2，双曲正弦函数sinh(x)=ex−e−x2．
(1)求函数y=csh(2x)+sinh(x)的最小值；
(2)若函数f(x)=lg9[csh(2x)−a⋅sinh(x)]在R上的最小值为−1，求正实数a的值；
(3)求证：对任意实数k，关于x的方程sinh(x)csh(x)=kx+12总有实根．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：命题“∃x≥1，x+1≥0”的否定是∀x≥1，x+1<0．
故选：A．
由已知结合含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：{(x,y)|2x+y≤6，x，y∈N*}={(1,1)(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)}，故有6个元素．
故选：D．
根据x，y∈N*，分别代入即可求得结果．
本题主要考查元素和集合的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：形如y=xa的函数为幂函数，ABC不符合题意，
y=1x=x−1，符合题意．
故选：D．
结合幂函数的定义，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：角α的终边上一点P(−1,3)，
则r=|OP|= (−1)2+32= 10，
则sinα+csα=3 10+−1 10= 105．
故选：B．
根据三角函数的定义进行求解即可．
本题主要考查三角函数的定义，比较基础．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查充分必要条件的判断、属于基础题．
通过取特殊值，可判断两条件间的关系，从而得到答案．
【解答】
解：当α=β=π2时，tanα，tanβ不存在；
当α=π4，β=5π4时，tanα=tanβ．
所以“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要条件．
故选：D
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)为偶函数，x>0时，f(x)=2x，
令x<0，则−x>0，
∴f(−x)=2−x，
∴f(x)=f(−x)=2−x，
∵f(x)=f(6x+5)，
则x=6x+5或x=−6x+5，得x=1或x=−6或x=−3或x=−2，
∴1−2−3−6=−10．
故选：C．
由已知结合偶函数的定义及偶函数的对称性即可求解．
本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：12<π6，则a=sin12<12，b=lg31.74>lg3 3=12，
即b∈(12,+∞)，c=22023>1．
故c>b>a．
故选：C．
由已知结合函数单调性分别判断a，b，c的范围即可比较．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：令f(x)=|x|x+2−ax2=0，则x=0或1=a(x+2)|x|，
若x>0，则ax2+2ax−1=0，
则当a>0，ax2+2ax−1=0有一个正根，
当a<0时，ax2+2ax−1=0没有正根；
则由函数f(x)=|x|x+2−ax2,a∈R有四个不同的零点可知，
若x<0，则ax2+2ax+1=0有2个负根，
则Δ=4a2−4a>0−2aa<01a>0，解得，a>1．
综上所述，a∈(1,+∞)．
故选：A．
函数f(x)=|x|x+2−ax2,a∈R有四个不同的零点化为方程|x|x+2−ax2=0的解的个数．
本题主要考查函数的零点与方程的根之间的转化，注意分类讨论，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：565°=360°+205°，为第三象限角，A正确；
锐角为第一象限角，B正确；
若π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z，
则π4+kπ<θ2<π2+kπ，k∈Z，
所以θ2为第一象限角或第三象限角，C正确；
若一扇形面积为π，弧长为π，则π=12πr，即r=2，
所以圆心角为π2，D错误．
故选：ABC．
结合象限角的概念检验选项A，B，C，结合扇形的弧长及面积公式检验选项D即可．
本题主要考查了象限角的判断，还考查了弧长及面积公式的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：因为a>b>c>0，
当a=3，b=2，c=1时，A显然错误；
因为(a−c)a−(b−c)b=a2−ac−b2+bc=(a−b)(a+b−c)>0，
故(a−c)a>(b−c)b，B正确；
当a=5π6，b=2π3时，C显然错误；
令f(x)=2023x−c+x，
则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
故a>b>c>0时，2023a−c+a>2023b−c+b，D正确．
故选：BD．
举出反例检验选项A，C，利用比较法判断选项B，构造函数f(x)=2023x−c+x，结合函数单调性检验选项D．
本题主要考查了不等式大小关系的判断，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，将函数y=sinx的图象向左平移3π4个单位长度，得到的图象解析式为：y=sin(x+3π4)，
再将横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象解析式为y=sin(12x+3π4)，故A错；
对于B，将函数y=sinx的图象向右平移5π4个单位长度，得到的图象解析式为y=sin(x−5π4)=sin(x−5π4+2π)=sin(x+3π4)，
再将横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象解析式为：y=sin(2x+3π4)=cs(2x+π4)，故B对；
对于C，将函数y=sinx的图象向左平移3π4个单位长度，得到的图象解析式为：y=sin(x+3π4)，
再将横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象解析式为：y=sin(2x+3π4)=cs(2x+π4)，故C对；
对于D，将函数y=sinx的图象横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象解析式为y=sin2x，
再向左平移3π8个单位长度得到的图象的解析式为y=sin[2(x+3π8)]=sin(2x+3π4)=cs(2x+π4)，故D对．
故选：BCD．
利用三角函数图象变换规律，依次对每一选项进行判断，即可求解．
本题考查了三角函数的图象变换，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由ax−(1+a2)x2>0，得0L(a)在(0,1]上是增函数，在[1,+∞)上是减函数，
设0∵00，∴L(a1)同理可证，L(a)在[1,+∞)上是减函数，L(12)=12为最大值，B正确，C错误；
∵k∈(0,1)，∴0<1−k<1，1+k>1，L(a)在[1−k,1]上是增函数，在[1,1+k]上是减函数，
L(a)的最小值为L(1−k)，L(1+k)中较小者，
L(1−k)−L(1+k)=(−2k)[1−(1−k)(1+k)][1+(1−k)2][1+(1+k)2]=−2k3[1+(1−k)2][1+(1+k)2]<0．
∴L(a)的最小值为1−kk2−2k+2，D正确．
故选：ABD．
利用单调性定义证明单调性，利用函数性质判断A，C，D项．
本题考查函数性质，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：∵5a=6b=30，则a=lg530，b=lg630，
∴1a+1b=1lg530+1lg630=lg5lg30+lg6lg30=lg5+lg6lg30=lg30lg30=1．
故答案为：1．
利用换底公式可求值．
本题考查对数运算，属于基础题．
14.【答案】9
【解析】解：由T=2πω=4，可知此波形的函数周期为4，
显然，当0≤x≤1时，函数单调递减；1x=1时，y=−1，因此自x=0开始向右的第一个波谷所对的x值为1，
第二个波谷对应的x值为5，第三个波谷对应的x值为9，所以要在区间[0,t]上至少有3个波谷，
则t的最小值为9．
故答案为：9．
由题意并根据函数的图象特征可得正整数t的最小值．
本题主要考查三角函数的性质，属于基础题．
15.【答案】4+2 2
【解析】解：因为a>0，b>0且满足2a+b=2，
则4a+ab=4a+2ba+ab=4+2ba+ab≥4+2 2ba⋅ab=4+2 2，
当且仅当a= 2b，即b=4 2−27，a=8−2 27时取等号．
故答案为：4+2 2．
由已知利用等式关系可得4=4a+2b，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】31 250
【解析】解：令t=θ+15°，则θ=t−15°，sint=35，
由θ为锐角，知15°由sint=35< 32=sin60°，知15°所以cst= 1−sin2t=45，
所以cs2t=1−2sin2t=725，sin2t=2sintcst=2425，
所以cs(2θ−15°)=cs[2(t−15°)−15°]=cs(2t−45°)= 22(cs2t+sin2t)= 22×(725+2425)=31 250．
故答案为：31 250．
采用换元法，令t=θ+15°，求出t的取值范围，可得sint=35，cst=45，再由二倍角公式求出cs2t和sin2t的值，然后利用两角差的余弦公式，求解即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)集合A={x|x2−4x≤0}={x|0≤x≤4}，B={x|(x−t)(x−t−6)≤0}={x|t≤x≤t+6}，当t=2时，B=[2,8]，
故A∪B=[0,8]．
(2)因为A⊆B，
所以t≤0t+6≥4，解得−2≤t≤0，
所以t的取值范围为[−2,0]．
【解析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A和集合B，然后根据并集的定义进行求解；
(2)根据A⊆B，然后建立关系式，解之即可．
本题主要考查一元二次不等式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵sinα+2csα=− 5，且sin2α+cs2α=1，
∴解得sinα=− 55，csα=−2 55，则tanα=12．
∴sin(α+3π2)cs(−α)tan2αtan(π−α)sin(2π−α)cs(π2+α)=−csα⋅csα⋅(−tan3α)−sinα⋅(−sinα)
=−tanα=−12；
(2)∵sinθ，csθ是关于x的方程：25x2−35x+a=0的两个实根，
∴sinθ+csθ=3525=75，∴1+2sinθcsθ=4925，得sinθcsθ=1225．
∴1sinθ−1cs(π+θ)=1sinθ+1csθ=sinθ+csθsinθcsθ=751225=3512．
【解析】(1)由已知结合平方关系求解tanα，再由诱导公式化简得答案；
(2)利用根与系数的关系结合诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.【答案】解：(1)由已知可得A=4，T2=πω=5π12−π12=π3，
解得ω=3，
由f(π12)=4sin(3×π12+φ)=4，得sin(π4+φ)=1．
∴π4+φ=2kπ+π2，k∈Z，
∵0<φ<π，∴φ=π4．
∴f(x)=4sin(3x+π4)；
(2)由−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为[−π4+2kπ3,π12+2kπ3]，k∈Z；
(3)由f(23α+π12)=2，得4sin(2α+π2)=4cs2α=2，
即cs2α=12，
∵α∈(0,π)，∴2α∈(0,2π)，
则2α=π3或2α=5π3．
∴α=π6或5π6．
【解析】(1)由已知可得A=4，T=2π3，再由周期公式求得ω=3，结合f(π12)=4求得φ，则函数解析式可求；
(2)直接由复合函数的单调性求函数的单调增区间即可；
(3)由f(23α+π12)=2，得cs2α=12，再由α∈(0,π)求得α的值．
本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可知，当0所以当x=10时，f(x)的最大值为60，
因为当10所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；
(2)当0解得6≤x≤10，
当1056，满足要求，
当15解得15故1613−6=1013分钟<12分钟，
老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．
【解析】(1)求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；
(2)在每段上解不等式f(x)≥56，求出满足条件的x，从而得到接受能力56及以上的时间，然后与12进行比较即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=3+aex1+ex是定义域R上的奇函数，
所以f(0)=3+a2=0，即a=−3，
所以f(x)=3−3ex1+ex，经检验f(x)此时为奇函数，符合题意；
(2)由(1)得f(x)=3−3ex1+ex=−3(1−21+ex)，
因为1+ex>1，
所以−1<1−21+ex<1，
所以−3(3)因为 3sinθcsθ+cs2θ= 32sin2θ+12cs2θ+12=sin(2θ+π6)+12，
当−π6≤θ≤π3时，−π6≤2θ+π6≤5π6，
所以−12≤sin(2θ+π6)≤1，
所以0≤sin(2θ+π6)+12≤32，
因为f(x)=−3(1−21+ex)在R上单调递减，
若关于θ的不等式f(k)+f( 3sinθcsθ+cs2θ)>0在θ∈[−π6,π3]上有解，
则f( 3sinθcsθ+cs2θ)>−f(k)=f(−k)在θ∈[−π6,π3]上有解，
所以32>−k，即k>−32，
故k的范围为{k|k>−32}.
【解析】(1)由已知结合奇函数的性质f(0)=0可求a；
(2)结合指数函数及反比例函数的性质即可求解；
(3)结合辅助角公式，二倍角公式对 3sinθcsθ+cs2θ进行化简，然后结合正弦函数的性质求出其最大值，再由函数单调性及存在性问题与最值关系的转化即可求．
本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，函数性质在函数值域求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
22.【答案】解：(1)依题意有y=csh(2x)+sinh(x)=e2x+e−2x2+ex−e−x2=12(ex−e−x)2+12(ex−e−x)+1，
令t=ex−e−x，则y=12t2+12t+1=12(t+12)2+78，
因为t=ex−e−x在R上单调递增，当x→−∞时，t→−∞，当x→+∞时，t→+∞，
所以t∈R，所以当t=−12时，即ex=−1+ 174时，
函数y=csh(2x)+sinh(x)有最小值78．
(2)函数f(x)=lg9[csh(2x)−a⋅sinh(x)]在R上的最小值为−1，
即函数y=csh(2x)−a⋅sinh(x)有最小值19．
因为y=csh(2x)−a⋅sinh(x)=e2x+e−2x2−a(ex−e−x)2=12(ex−e−x)2−a2(ex−e−x)+1，
令t=ex−e−x，则y=12t2−a2t+1=12(t−a2)2−a28+1，
因为最小值为19，所以−a28+1=19，解得a=±83，
所以正实数a的值为83．
(3)证明：令p(x)=sinh(x)csh(x)，定义域为R，则p(x)=ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1=1−2e2x+1，
又p(−x)=e−2x−1e−2x+1=1−e2x1+e2x=−p(x)，所以p(x)是奇函数，
因为y=e2x是R上的增函数，
所以p(x)=1−2e2x+1在R上单调递增，且当x→+∞时，p(x)→1，
所以函数p(x)在R上的值域为(−1,1)，
直线y=kx+12过定点(0,12)，
如图所示：无论k取任何实数，直线y=kx+12与函数p(x)的图象都有交点，
即对任意实数k，关于x的方程sinh(x)csh(x)=kx+12总有实根．
【解析】(1)令t=ex−e−x，将函数y=csh(2x)+sinh(x)化为y=12t2+12t+1=12(t+12)2+78，利用二次函数性质即可求最小值；
(2)函数f(x)=lg9[(csh(2x)−a⋅sinh(x)]在R上的最小值为−1，转化为函数y=csh(2x)−a⋅sinh(x)有最小值19，由(1)由二次函数性质即可求解；
(3)令p(x)=sinh(x)csh(x)，分析函数p(x)的性质，再将关于x的方程sinh(x)csh(x)=kx+12有实数根转化为直线y=kx+12与函数p(x)的图象有交点，即可证明．
本题考查了求函数的最值，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数思想、数形结合思想及转化思想，属于中档题．