2022-2023学年北京二十中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年北京二十中高一（下）月考数学试卷（3月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在单位圆中，的圆心角所对的弧长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平行四边形中，设对角线与相交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知角，是三角形的两个内角，则点(    )

A. 不可能在第一象限 B. 不可能在第二象限 C. 不可能在第三象限              D. 不可能在第四象限

6.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对于向量，，“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 是函数的图像的一条对称轴
C. 在上是减函数
D. 在上是增函数

9.  已知在区间的值域是，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是(    )
参考数据：

A. 点在轮子的左下位置，距离地面约为
B. 点在轮子的右下位置，距离地面约为
C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为
D. 点在轮子的右下位置，距离地面约为

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  已知，则______．

12.  若，则的值为          ．

13.  如图，正方形中，为的中点，若，则的值为______．

 

14.  若点关于轴对称点为，则的一个取值为          ．

15.  函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
；
是函数的周期；
函数在区间上单调递增；
函数所有零点之和为．
其中，正确结论的序号是           ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算下列各式．
；
若，则求的值．

17.  本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
用“五点法”画出在一个周期内的图象，并直接写出函数在区间上的取值范围．

18.  本小题分
已知函数由下列四个条件中的三个来确定：
最小正周期为；最大值为；；．
Ⅰ写出能确定的三个条件，并求的解析式；
Ⅱ求的单调递增区间．

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，是平行四边形，已知，．
求；
若，求点坐标；
若，且，，三点共线，求点坐标．

20.  本小题分
已知函数．
当时，求函数的最值及对应的取值；
若，求函数的最大值．

21.  本小题分
对于向量，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，，，，，．
当时，试写出向量；
证明：对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为；
若，，，证明：存在正整数，使得．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，
．
故选：．
由三角函数的定义即可求得的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题设，故．
故选：．
由向量共线的坐标表示求参数即可．
本题主要考查了向量共线的坐标关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据弧长公式，，代入计算即可．
本题主要考查了弧长公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法法则，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量的加法法则直接求解．

【解答】

解：在平行四边形中，设对角线与相交于点，

则．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：选项，当角，均为锐角时，，，即此时点在第一象限，故A错误；
选项，当角为钝角，为锐角时，，，即此时点在第二象限，故B错误；
选项，因三角形最多有一个钝角，故与不可能同时小于，即点不可能在第三象限，故C正确；
选项，当角为锐角，为钝角时，，即此时点在第四象限，故D错误．
故选：．
由角，为锐角还是钝角可判断位于哪个象限，据此可得答案．
本题主要考查了三角函数值符号的确定，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于，
所以，又，
所以，
故，解得．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：当，且与的夹角为时，有，故由，不能得到；
反之，由，能够得到．
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．
本题考查向量模的运算，考查充分必要条件的判定，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

由题意利用函数的图像变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查函数的图像变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

【解答】

解：将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，故A错误；
令，求得，可得的图像关于点对称，故B错误；
在上，，函数没有单调性，故C错误；
在上，，函数单调递增，故D正确，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：如图，当时，值域为，且最大，

此时，在同一周期上，，
则的最大值是．
故选：．
由函数的值域为以及三角函数的图像性质可知，定义域一定在一个周期内，再由函数图像可以得出，的值，进而求解即可．
本题主要考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
由已知求出轮子滚动的水平距离为时点转到的角的大小，即可求得答案．

【解答】

解：已知轮子的半径，轮子滚动一周的水平距离为，
又，，
，
又周，，
故A在轮子左下位置，可得轮子距地面距离
点在轮子的左下位置，距离地面约为．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：
原式利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．

【解答】

解：，
，
故答案为．

13.【答案】 

【解析】解：正方形中，为的中点，
，
，
，，
．
故答案为：．
由正方形中，为的中点，得到，由此能求出结果．
本题考查代数式求和，考查矩形性质、平面向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用点的对称的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．

【解答】

解：点关于轴对称点为，
所以，
整理得：，
整理得，
，
故当时，上式成立．也满足，
故答案为：答案不唯一．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以命题真假判断载体，考查了三角函数的基本性质，属于中档题．
根据计算判断；用反证法判断；用导数判断；用周期函数性质判断．

【解答】

解：对于，因为，所以对；
对于，假设是函数的周期，则，又因为是定义域为的奇函数，所以，于是，
与矛盾，所以错；
对于，因为，当时成立，所以函数在上单调递增，又因为是奇函数，
所以在区间上单调递增，所以对；
对于，由知在区间上单调递，又因为满足，所以关于对称，

，所以以为周期，
在一个周期内函数两个零点之和为，
在内有三个周期，所以所有零点之和为，所以对．
故答案为：．

16.【答案】解：原式；
由，
又． 

【解析】利用诱导公式化简求值即可；
由诱导公式、同角三角函数关系化简求值．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：设最小正周期为，
则
所以，当时，，
故的最小正周期为；
列表如下：

描点连线，可得在一个周期内的图象如下：

由图易知函数在区间上的取值范围为：． 

【解析】根据周期的定义，即可求解；
根据正弦函数的性质及五点作图法列表作图，再根据图象，即可求解．
本题考查三角函数的性质，数形结合思想，属中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ若函数满足条件，则，
这与，矛盾，故函数不能满足条件，
所以函数只能满足条件，，，
由条件，可得，
又因为，可得，
由条件，可得，
由条件，可得，
，，，
，，又因为，所以，
所以
Ⅱ令，，
，，
的单调递增区间为，． 

【解析】本题主要考查了求的解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
Ⅰ若函数满足条件，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件，由条件，利用周期公式可求，由条件，可得，由条件，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；
Ⅱ令，，即可得解．
 

19.【答案】解：由是平行四边形，可知：，
由，，可得，
即；
令，则，
由，可得，
解得，故D；
令，由，，三点共线，可设，
又，故，
而，
所以，可得或，
故E或． 

【解析】利用平行四边形对边所在向量相等，即可求得；
由向量共线的坐标表示列方程组，可求点坐标；
设点坐标，根据向量共线及模长的坐标表示列方程组，可求点坐标．
本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
 

20.【答案】解：由题设，
所以当，即时，；
当，即时，；
由，
当，即时，
当，即，；
当，即时，
当时，；
当，即时，
当，即时，；
综上，时，；时，；时，． 

【解析】由题设可得，根据二次函数、正弦函数的性质求最值，写出对应值；
由，讨论、、分别求出对应最值，即可得结果．
本题主要考查三角函数的最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；
，，，即；

由上可知，从开始，每个向量出现重复一个向量，
而；
证明：假设中，，有不止个为，
若，且，则，，故，
此时矛盾；
若且，，，，
所以为定值，而，，三数互不相等，
当，则，
不妨令，则，
显然，即，
所以，
以此类推得：，，，与，，三数互不相等矛盾；
综上，对于任意的，向量中的三个数，，至多有一个为；
证明：设，，三个数中最大的为，记作，
因为，，，且，，，
所以，其中，，，，，
所以，，，不可能单调递减，即必存在某个，使得，
根据的定义，可得向量中的三个数，，中必有，
由知，，有且仅有一个为，不妨设，
若，由题意，不妨设，
则，，，，
所以，同理，，
所以，
又因为，
所以此种情形不可能一直出现至多出现次，
所以一定能找到某个，使得
若，由题意，，，
，，，
所以存在正整数，使得，
综上，存在正整数，使得． 

【解析】根据定义依次写出，根据周期写出；
反证法，假设中，，有不止个为，结合分类讨论及已知推出矛盾即可；
令并根据在上的性质必存在使，再结合分类讨论确定必存在中有一项为，而另两项相等，即可得结论．
本题为信息题，根据题目告诉的新知识加以运用，主要考查现学现用的能力，逻辑判断，逻辑推理能力，反证法，分类讨论的思想，属难题．