2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数为虚数单位），则　　A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．的共轭复数为2．（5分）某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为　　A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）某地8名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为7，8，8，12，11，10，14，16，则它们的分位数是　　A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为　　A． B． C． D．5．（5分）在中，，，，则此三角形　　A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定6．（5分）抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是　　A． B． C． D．7．（5分）若，则实数的值为　　A．3 B． C．2 D．48．（5分）已知，，．若点是所在平面内一点，且，则的最大值为　　A．13 B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位．被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是　　A． B．为纯虚数 C．的共轭复数为 D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称10．（5分）下列说法正确的是　　A．对于任意两个向量，若，且与同向，则 B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是钝角11．（5分）在中，，，是角，，的对边，已知，，则以下判断正确的是　　A．的外接圆面积是 B． C．可能等于16 D．作关于的对称点，则的最大值是12．（5分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为 C．事件发生的概率为 D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知样本1，2，4，，的平均数是3，标准差是2，则　　．14．（5分）在中，，，，是中点，在边上，，则　　；的值为 　　．15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　　．16．（5分）已知的外心为，满足，则的最小值是 　　．四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量．（1）若且，求；（2）若与互相垂直，求实数的值．18．（12分）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．（1）求；（2）若，在复平面上的对应点分别为，，求．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在区间上的值域；（Ⅱ）若，，且，求．20．（12分）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长．学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．（1）求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数；（2）求样本数据的平均数与方差．21．（12分）如图，在凸四边形中，已知，．（1）若，，求的值；（2）若，四边形的面积为4，求的值．22．（12分）已知中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，，为角的平分线，求的长；（3）若，求锐角面积的取值范围．
2021-2022学年江苏省苏州十中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数为虚数单位），则　　A．的实部为3 B．的虚部为 C． D．的共轭复数为【解答】解：，的实部为，故错误，的虚部为1，故错误，，故错误，，故正确．故选：．2．（5分）某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了3人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为　　A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由题意可知：，高一年级、高二年级、高三年级的学生人数比例为：，从高二年级的学生中抽取了3人，从高一年级的学生中应抽取4人．故选：．3．（5分）某地8名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为7，8，8，12，11，10，14，16，则它们的分位数是　　A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，10，11，12，14，16；计算，所以该组数据的分位数是．故选：．4．（5分）为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为　　A． B． C． D．【解答】解：某市扶贫办在乡镇的2个脱贫村与乡镇的2个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，基本事件总数，抽取的两个脱贫村为同一乡镇包含的基本事件个数，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概率为．故选：．5．（5分）在中，，，，则此三角形　　A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定【解答】解：在中，，，，则，可得，可得此三角形有两解．故选：．6．（5分）抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有种结果，绝对值为3的基本事件有，，，，，六种结果，故所求概率．故选：．7．（5分）若，则实数的值为　　A．3 B． C．2 D．4【解答】解：若，即，即，即，即，即，即，则实数，故选：．8．（5分）已知，，．若点是所在平面内一点，且，则的最大值为　　A．13 B． C． D．【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设则，，，，，所以，即，故，，所以，当且仅当即时等号成立．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位．被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是　　A． B．为纯虚数 C．的共轭复数为 D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称【解答】解：选项：，故错误；选项：， 为纯虚数，故正确；选项：， 的共轭复数为，故正确． 选项：，，所以 与 实部相等，虚部互为相反数，故复数， 在复平面内的对应点关于实部对称，故 错误．故选：．10．（5分）下列说法正确的是　　A．对于任意两个向量，若，且与同向，则 B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是钝角【解答】解：对于任意两个向量，若，且与同向，但是不能说，因为向量不能比较大小，所以不正确；已知，为单位向量，若，则在上的投影为：，投影向量为，所以正确；存在负数，使得，则与反向共线，夹角为，此时成立，当成立时，则与夹角满足，则与不一定反向共线，即“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故正确，若，则与的夹角是钝角或平角，所以不正确；故选：．11．（5分）在中，，，是角，，的对边，已知，，则以下判断正确的是　　A．的外接圆面积是 B． C．可能等于16 D．作关于的对称点，则的最大值是【解答】解：对于，在中，，，分别是角，，的对边，已知，，由，可得，可得的外接圆的面积是，故正确；对于，，故正确；对于，，，可得，，不可能等于16，故错误；对于，作关于的对称点，设到的距离为，可得，即有，由，即，当且仅当取得等号，可得，则的最大值是．故错误．故选：．12．（5分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球标号之积大于8”，则　　A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为 C．事件发生的概率为 D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为【解答】解：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，抽取的两个小球的标号情况共有20种，其中两个小球标号之和大于5的情况有：，，，，，，，，，，，共11种，两个小球标号之积大于8的情况有：，，，，，，，，共8种，所以（A），（B），因为，所以，，对于，（A），故选项错误；对于，（A），故选项正确；对于，（B），故选项正确；对于，至少抽到一个有标号为3的小球的概率为，故选项正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知样本1，2，4，，的平均数是3，标准差是2，则　10　．【解答】解：样本1，2，4，，的平均数是3，，即，①又标准差是2，，即，②由①②联立，消去得，；由、的对称性知，．故答案为：10．14．（5分）在中，，，，是中点，在边上，，则　　；的值为 　　．【解答】解：如图，，，是的中点，，且，，，，又，，解得．故答案为：．15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　9　．【解答】解：可化为：，故原式化为，由正余弦定理得：，化简得．故答案为：9．16．（5分）已知的外心为，满足，则的最小值是 　　．【解答】解：依题意作图，取的中点，连接，，在中，记，，，因为的外心为，则，因为，又，所以，同理可得，由得，，即，在中，由余弦定理得，，又，当且仅当时，等号成立，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量．（1）若且，求；（2）若与互相垂直，求实数的值．【解答】解：（1），，，且，，，．（2），，与互相垂直，，，或．18．（12分）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．（1）求；（2）若，在复平面上的对应点分别为，，求．【解答】解：（1）设，则，，，在复平面上所对应的点在第一象限，，，，．（2），，，，，，，．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在区间上的值域；（Ⅱ）若，，且，求．【解答】解：，由得，所以，所以，故在区间上的值域为；因为，，且，所以所以，因为，若，则，不符合题意；所以，所以，．20．（12分）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长．学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．（1）求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数；（2）求样本数据的平均数与方差．【解答】解：（1）这300个样本数据中女生人数为人，因为样本数据中在8小时以下的学生所占比例为0.05+0.2+0.3+0.25＝0.8，所以85%分位数为：；（2）样本的平均数为：（1×0.025+3×0.1+5×0.15+7×0.125+9×0.075+11×0.025）×2＝5.8，方差为：[（1﹣5.8）2×0.025+（3﹣5.8）2×0.1+（5﹣5.8）2×0.15+（7﹣5.8）2×0.125+（9﹣5.8）2×0.075+（11﹣5.8）2×0.025]×2＝6.16．21．（12分）如图，在凸四边形中，已知，．（1）若，，求的值；（2）若，四边形的面积为4，求的值．【解答】解：（1）在中，因为，，所以，在中，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以．（2）在，中，由余弦定理得，，，从而，①，由，得：，②，①②得，，所以．22．（12分）已知中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，，为角的平分线，求的长；（3）若，求锐角面积的取值范围．【解答】（1）由得，，，，；（2）设，由得．解得，即角平分线的长度为；（3）设外接圆半径为，由，即，，的面积，，，，，，，，，，，，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:13:16；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367