湖南省邵阳市新宁县 第一中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题

这是一份湖南省邵阳市新宁县 第一中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了 请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(每题3分，共30分)(共10题)
1．下列运算正确的是（ ）
A. 3a+2a=5a2 B. -8a2÷4a=2a
C. （-2a2）3=-8a6 D. 4a3•3a2=12a6
2．李师傅有一根长10m的木料，要截成1m和2m两种规格均有的短木料，在没有余料的前提下，有几种不同的截法（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
3．已知x2+2x-1=0，则x4-5x2+2x的值为（ ）
A. 0 B. -1 C. 2 D. 1
4．若一个关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个二元一次方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
5．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为x cm,y cm,且满足（x-y）2-2x+2y+1=0，则该长方形的面积为（ ）cm2．
A. B.
C. 15 D. 16
7．已知a+=4，则a2+=（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A. B.
C. D.
9．在关于x,y的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（ ）
①当a=3时，方程的两根互为相反数；②当且仅当a=-4时，解得x与y相等；③x,y满足关系式x+5y=-12；④若9x•27y=81，则a=10．
A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
10．如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
二、填空题(每题3分，共24分)(共8题)
11．因式分解：______．
12．已知二次三项式4x2-kx+9是一个完全平方式，则k=_____．
13．已知a、b、c为三角形的三边，且则a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，则三角形的形状是 _____．
14．如果关于x、y的二元一次方程组，则__________．
15．若x=2m，y=3+4m，用含x的代数式表示y,则y=_____．
16．《九章算术》是我国古代一部数学专著，其中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同）乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．则黄金每枚重_____两，白银每枚重_____两．
17．若规定符号的意义是：=ad-bc,则当m2-2m-3=0时，的值为 _____．
18．根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．
三、解答题(19到25题每题8分，26题10分)(共9题)
19．求下列方程组的解：
（1）
（2）
20．把下列各式分解因式
（1）9（x-y）+4（y-x）．
（2）﹣25 + 6mn + 9
21．先化简，再求值：，其中，．
22．已知的展开式中不含项和项，求：
（1），的值；
（2）的值。
23．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
（3）由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值．
24．璧山某中学拟组织部分七年级师生赴A地进行研学活动．下面是活动负责人李老师和小芳同学、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“某客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”
小芳：“我们八年级师生上个星期在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到A地，一天的租金共计5600元．”
小明：“我们七年级师生租用2辆60座和5辆45座的客车正好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）按小明提出的租车方案，七年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
（3）小芳听了小明的话后，说：“你们七年级还有更合算的租车方案．”请求出这个租车方案？
25．如图，是由四个长为m,宽为n的小长方形拼成的正方形．
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为 _____（用含m,n的代数式表示）；
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出（m+n）2，（m-n）2，mn之间的一个等量关系 _____；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：若m+n=7，mn=3，求阴影正方形的面积．
26．我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式方法，但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解．例如，通过观察可知，多项式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：，我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种分解因式的方法解答下列各题：
（1）分解因式：．
（2）若三边满足，试判断的形状，并说明理由．
27．阅读理解：
对于任意一个三位数正整数m（各个数位上的数字互不相同且都不为零），将m三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的数，把这6个数的和与111的商记为m的星河数T（m）．例如m=234，可以得到243、324、342、423、432这5个不同的数，这6个数的和为234+243+324+342+423+432=1998，因为1998÷111=18，所以234的星河数T（234）=18．
（1）计算T（169）的值；
（2）若p和q都是各个数位上的数字互不相同且都不为零的三位正整数，p的十位和个位上的数字分别是6和3，3和7分别是q的百位和个位上的数字，且p的百位上的数字比q的十位上的数字大3．若15T（p）+17T（q）=828，求p和q的值．
试卷答案
1．【答案】C
【解析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
解：A、3a+2a=5a,故此选项错误；
B、-8a2÷4a=-2a,故此选项错误；
C、（-2a2）3=-8a6，正确；
D、4a3•3a2=12a5，故此选项错误；
故选：C．
2．【答案】B
【解析】设1m规格的短木料x米，2m规格的短木料y米，由一根长10m的木料，要截成1m和2m两种规格均有的短木料，列出方程可求解．
解：设1m规格的短木料x米，2m规格的短木料y米，
由题意可得：x+2y=10，
∴x=2，y=4，
x=4，y=3，
x=6，y=2，
x=8，y=1，
故选：B．
3．【答案】A
【解析】通过观察题目，可变出x2=1-2x,再将x2代入x4-5x2+2x中化简即可求值．
解：∵x2+2x-1=0，
∴x2=1-2x,
x4-5x2+2x
=（x2）2-5x2+2x
=（1-2x）2-5（1-2x）+2x
=1-4x+4x2-5+10x+2x
=4x2+8x-4
=4（1-2x）+8x-4
=4-8x+8x-4
=0，
故选：A．
4．【答案】D
【解析】对方程组的解进行变形，运用加减消元法消去t即可解答．
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴②变形为③，
①﹣③得．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和加减消元法，正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键．
5．【答案】D
【解析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
解：A．是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
B．结果不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C．不是对多项式变形，故本选项错误，不符合题意；
D．运用完全平方公式分解，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式．
6．【答案】A
【解析】由长方形的周长可以求出x+y=8①，再利用完全平方公式可以得出x-y=1②，联立①②，解方程组即可得出x,y的值，最后求长方形的面积即可得出结论．
解：∵长方形的周长为16cm,
∴2（x+y）=16，
∴x+y=8①；
∵（x-y）2-2x+2y+1=0，
∴（x-y）2-2（x-y）+1=0，
∴（x-y-1）2=0，
∴x-y=1②．
联立①②，得，
解得：，
∴长方形的面积S=xy==（cm2），
故选：A．
7．【答案】B
【解析】先把已知方程两边平方，再变形得结论．
解：∵a+=4，
∴（a+）2=42．
即a2+2+=16．
∴a2+=14．
故选：B．
8．【答案】A
【解析】设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，根据共有22人，一张桌子与4只椅子配套，列方程组即可．
解：设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，
由题意得：
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是挖掘隐含条件：一张课桌需要配四把椅子．
9．【答案】D
【解析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a即可判断；②根据x=y列出方程，求出a即可判断；③在原方程中，我们消去a,即可得到x,y的关系；④把底数统一化成a,等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x,y的方程，把方程组的解代入求出a.
解：，
由①得：x=2y+a+6③，
把③代入②中，得：y=④，
把④代入③中，得：x=，
∴原方程组的解为．
①∵方程的两根互为相反数，
∴x+y=0，
即，
解得：a=3，
∴①正确；
②当x与y相等时，x=y,
即，
解得：a=-4，
∴②正确；
③在原方程中，我们消去a,得到x,y的关系，
②-①×2得：x+5y=-12，
∴③正确；
④∵9x•27y=81，
∴（32）x•（33）y=34，
∴32x•33y=34，
∴32x+3y=34，
∴2x+3y=4，
将方程组的解代入得：=4，
解得：a=10，
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故选：D．
10．【答案】B
【解析】首先设两个正方形的边长为a，b，由图甲求出，再根据图乙求出，进而求出，然后表示出图丙的阴影面积，再整理代入计算即可．
设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，由图甲，得，
解得或（舍）；
由图乙，得，
解得．
，
所以或（舍）．
则图丙阴影部分得面积为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
11．【答案】
【解析】解：原式=4a（a2﹣4）=4a（a+2）（a﹣2）．故答案为4a（a+2）（a﹣2）．
12．【答案】±12
【解析】首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3积的2倍．
解：∵二次三项式4x2-kx+9是一个完全平方式，
∴①4x2-kx+9=（2x+3）2+（-k-12）x,
∴-k-12=0，k=-12；
②4x2-kx+9=（2x-3）2+（-k+12）x,
∴-k+12=0，k=12；
故答案为±12．
13．【答案】等边三角形
【解析】先对等式左边因式分解，再找到a,b,c的关系，判断三角形的形状．
解：∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²=0．
∴（a-b）²+（b-c）²=0．
∵（a-b）²≥0，（b-c）²≥0．
∴a-b=0，b-c=0．
∴a=b=c.
∴三角形是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
14．【答案】12
【解析】先利用加减法解得，再用整体思想解得，最后代入数值即可解题．
，
②-①得，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题考查含参数的二元一次方程解法，涉及加减消元法、整体思想等，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．【答案】3+x2
【解析】直接利用幂的乘方运算法则表示出y与x之间的关系即可．
解：∵x=2m，
∴y=3+4m
=3+22m
=3+（2m）2
=3+x2．
故答案为：3+x2．
16．【答案】(1);(2);
【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程即可．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得．
即每枚黄金重两，每枚白银重两．
故答案是：；．
17．【答案】9
【解析】结合题中规定符号的意义，求出=m3-7m+3，然后根据m2-2m-3=0，整体代入求解即可．
解：由题意可得，
=m2（m-2）-（m-3）（1-2m）
=m3-7m+3，
∵m2-2m-3=0，
∴m2=2m+3，m2-2m=3
∴m3-7m+3
=m（m2）-7m+3
=m（2m+3）-7m+3
=2m2-4m+3
=2（m2-2m）+3
=2×3+3
=9，
所以当m2-2m-3=0时，的值为9．
故答案为：9．
18．【答案】7
【解析】先根据规律可得，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可得．
解：由题中的规律可知，，
将代入得：，
则，
因为，，，，，，
所以的末位数字是按为一个循环的，
因为，
所以的末位数字与的末位数字相同，即为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了与多项式乘法相关的规律、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
19．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
把②代入①得，
解得：，
把代入②得，
∴；
【小问2详解】
解：
由②变形得
由③-①得，
解得，
把代入①得，
∴．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
20．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）先将原式变形，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）直接利用平方差公式及完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】题目主要考查利用公式法及提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
21．【答案】
【解析】先利用单项式乘多项式计算法则，平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项，最后代值求解即可得到答案.
解：原式
把，代入上式中，
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．【答案】（1），
（2）243
【解析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含和项，列方程求出与的值即可，
（2）把与的值代入求值．
【小问1详解】
展开式中不含和项
且
解得，．
【小问2详解】
把，代入原式
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于的方程是解此题的关键．
23．【答案】（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2．
【解析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；
（3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值．
解：（1）两个方程相加得，
∴，
把代入得，
∴方程组的解为：；
故答案是：；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，
由（1）可得：，
∴m+5＝1，n+3＝2，
∴m＝-4，n＝-1，
∴，
故答案是：；
(3)由方程组与有相同的解可得方程组，
解得，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，
解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，
解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
24．【解析】（1）设平安客运公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元，由题意：60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元，我们八年级师生上个星期在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到滁州市琅琊山，一天的租金共计5600元．列出方程组，解方程组即可；
（2）按小明提出的租车方案，计算租金即可；
（3）设租用60座客车m辆，租用45座客车n辆，由题意列出二元一次方程，求出正整数解，进行比较即可．
解：（1）设平安客运公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元．
由题意，列方程组得：
，
解得：，
答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1000元，800元．
（2）七年级师生共需租金：2×1000+5×800=6000（元）．
答：按小明提出的租车方案，七年级师生到该公司租车一天，共需租金6000元．
（3）设租用60座客车m辆，租用45座客车n辆，
依题意得：60m+45n=2×60+5×45，
整理得：4m+3n=23，
∵m,n均为正整数，
∴m=2，n=5，或m=5，n=1，
当m=2，n=5时，所需费用为1000×2+800×5=6000（元）；
当m=5，n=1时，所需费用为1000×5+800×1=5800（元）；
∵58800＜6000，
∴更合算的租车方案为：租用5辆60座和1辆45座的客车，此时租车费为5800元，
故答案为：租用5辆60座和1辆45座的客车．
25．【答案】(1)m-n;(2)（m+n）2-（m-n）2=4mn;
【解析】（1）根据拼图可得答案；
（2）根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案；
（3）根据（m+n）2-（m-n）2=4mn,整体代入计算即可．
解：（1）由拼图可知，
图中的阴影正方形的边长可表示为m-n,
故答案为：m-n；
（2）大正方形的边长为m+n,因此面积为（m+n）2，小正方形的边长为m-n,因此面积为（m-n）2，4个小长方形的面积和为4mn,
所以有（m+n）2-（m-n）2=4mn,
故答案为：（m+n）2-（m-n）2=4mn；
（3）∵（m+n）2-（m-n）2=4mn,
∴（m-n）2=（m+n）2-4mn,
当m+n=7，mn=3，
原式=72-4×3
=37．
26．【答案】（1）
（2）等腰三角形，见解析
【解析】（1）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式继续分解即可；
（2）先把所给等式左边利用分组分解法得到，由于，则，即，然后根据等腰三角形的判定方法进行解题．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
的为等腰三角形．
理由：，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定、因式分解的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
27．【解析】（1）根据星河数T（m）的定义公式求解即可，
（2）设p=100x+63，q=307+10y,根据星河数的定义求出T（p）和T（q），根据题意，列出x、y的方程组，即可求得p和q的值．
解：（1）T（169）=（169+196+619+691+916+961）÷111=32，
（2）设p=100x+63，q=307+10y,则y=x-3，
∴T（p）=（100x+63+100x+36+306+10x+360+x+603+10x+630+x）÷111=18+2x,
T（q）=（100y+37+100y+73+307+10y+370+y+703+10y+730+y）÷111=20+2y=20+2（x-3）=14+2x,
∵15T（p）+17T（q）=828，
∴15×（18+2x）+17×（14+2x）=828，
解得：x=5，y=2，
故：p=563，q=327．