江苏省南通市启东市启东蝶湖中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数是（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，因此，
【详解】∵，∴，0，，是有理数.
∴无理数有：﹣π，0.1010010001…．共有2个.
故选B.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．
2. 对于命题“若，则，”，下列能说明该命题是假命题的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则、有理数的大小比较法则及假命题的概念解答即可．
【详解】解：当，时，，而，，
说明命题“若，则，”是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查命题和定理，任何一个命题非假即真，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．
3. 若与的和是单项式，则的算术平方根是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同类项的定义求得m与n的值，代入计算，再利用算术平方根定义计算即可求出值．
【详解】解：∵与的和是单项式，
∴与是同类项，
∴m＝5,n＝1，
∴＝16，
∴的算术平方根为＝4，
故选：C．
【点睛】此题考查了同类项的定义、算术平方根等知识，熟练掌握同类项的定义及算术平方根的求法是解题的关键．
4. 如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC=∠B，④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD条件为（ ）
A. ①②B. ②④C. ②③D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一进行排除即可．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，不符合题意；
②∠3=∠4，
∴BC∥AD，故符合题意；
③∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴BC∥AD，符合题意；
④∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴BC∥AD，符合题意；
∴能推出BC∥AD的条件为②③④；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5. 若、都是实数，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数必须是非负数，列出不等式，求出的值，代入原式计算求出的值，根据有理数的乘法计算得到答案，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6. 已知点P坐标为（1-a，2a+4），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）
A. （2，2）B. （2，-2）C. （6，-6）D. （2，2）或（6，-6）
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得： ，解方程即可求得a的值，从而求得点P的坐标．
【详解】∵点P坐标为（1-a，2a+4）
∴点P到y轴的距离为，点P到x轴的距离为
∵点P到两坐标轴的距离相等
∴
即
由，解得a=−1，此时点P的坐标为（2，2）
由，解得a=−5，此时点P的坐标为（6，−6）
即点P的坐标为（2，2）或（6，−6）
故选：D
【点睛】本题主要考查了求点的坐标、点到坐标轴的距离等知识，注意点到y轴、x轴的距离分别等于点的横坐标、纵坐标的绝对值．
7. 如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】D
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，标注角度，
由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=(180°-∠1-∠5)=35°，
∵长方形的对边平行，
∴∠2=∠3=35°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记各性质定理是解题的关键．
8. 若【x】表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如【】，【】，，则【】的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】估算出的小数部分和的整数部分，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴【】，
∴【】．
故选：A
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
9. 如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（ ）度
A. 46B. 72C. 88D. 96
【答案】C
【解析】
【分析】过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数．
【详解】解：如图，过作，
，
，
的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
设，，
，，
四边形中，，
即，①
又，
，②
由①②可得，，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．
10. 如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点B，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C，D，此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G，H，I，此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可．
【详解】解：由题意可得：A、D、I．．．
每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，
则动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为，横坐标为：
故选：C．
【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12小题每小题3分，第13-18小题每小题4分，共30分，无需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 已知点，则点到轴的距离是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可，熟练掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：∵点，
∴点到轴的距离，
故答案为：．
12. 已知，，则__．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可.
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键.
13. 请将命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式：______．
【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
【解析】
【分析】根据题意，分清命题的条件和结论，即可．
【详解】命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
故答案为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．
【点睛】本题考查命题的定义，解题的关键是理解命题的条件和结论．
14. 若一个正数平方根为和，则的值为 _____
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平方根定义和性质，解答中涉及简单的一元一次方程的解法；关键是掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．根据平方根的定义，知和互为相反数，列出方程，求出的值；再根据平方根与平方的关系，求出的值．
【详解】解：根据题意，得
，
解得；
所以．
故答案为：．
15. 如图，将长方形沿对折，使得点D落在边上的点G处，点C落在点H处，若，则______．

【答案】103
【解析】
【分析】先根据平角的定义求出，再由折叠的性质得到，则由平行线的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，正确求出是解题的关键．
16. 对于任意两个正数x和y，规定“☆”，例如，．请计算_______．
【答案】##
【解析】
【分析】先估算出的范围，再利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<<3，
∴，，
∴
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17. 如图，在中，，将沿着射线方向平移到，连接．若和这两个角中，有一个角是另一个角的3倍，则__________度．
【答案】11或22或33
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当点在上时或当点在延长线上时，结合平移的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：①当点在上时，设，
若，如下图，则，
由题意可知，，
∴，
∵将沿着射线方向平移到，
∴，
即，
解得
∴；
若，如下图，
则，
由题意可知，，
∴，
∵将沿着射线方向平移到，
∴，
即，
解得，
∴；
②当点在延长线上时，如下图，
设，则，
∵，
∴，
∵将沿着射线方向平移到，
∴，
即，
解得
∴．
综上所述，或或．
故答案为：11或22或33．
【点睛】本题主要考查了平面内角的计算、平行线的性质以及平移的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
18. 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点O；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有 ______（填序号）．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据“距离坐标”的定义，以及点到直线的距离，角平分线的判定，即可求解．
【详解】解： ①“距离坐标”是的点只有点O，故①正确；
②“距离坐标”是表示点M在直线上且到的距离等于1，
∴“距离坐标”是的点有2个，故②是错误；
③“距离坐标”是表示点M到直线和的距离均等于2，
∴点M在两直线和形成的夹角的平分线上，
∴“距离坐标”是的点共有4个，故③正确．
正确的有：①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，角平分线的判定，理解“距离坐标”的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
（1）先去括号，再计算加减；
（2）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
20. 如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．若，求的度数．
【答案】65°
【解析】
【分析】本题考查了角平分线定义、对顶角、垂直定义等知识点，能求出各个角的度数是解此题的关键．根据对顶角相等求出的度数，根据垂直求出的度数，根据角平分线定义即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
21. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c；
（2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答．
【小问1详解】
∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴．
【小问2详解】
将，，代入得：，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键．
22. 已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示：化简：________．
【答案】b
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算．先根据数轴判断、、的取值范围，再判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项．
【详解】解：由图形得：，且，
∴，，
，
故答案为：．
23. 如图，已知，， 交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键．
（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据，，得到，，进而得出，又根据，得到，最后根据平角的定义可求出的度数，从而可求得的度数．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中B点的坐标为，点C的坐标为．
（1）已知线段轴，且C，D两点到x轴的距离相等，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，求四边形的面积；
（3）求与y轴交点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据平行线和直角坐标系的性质分析，即可得到答案；
（2）根据直角坐标系、三角形和正方形面积性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【小问1详解】
∵轴，
∴C，D两点的横坐标相等
∵，且C，D两点到x轴的距离相等，
∴；
【小问2详解】
如图，设交x轴于点F，过点B作轴，交x轴于点H，过点C作,交于点G，
∴四边形的面积
正方形的面积
【小问3详解】
连接，如图：
则，
∴，
∴，
∵点E在y轴上，
∴．
【点睛】本题考查了直角坐标系、一元一次方程、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系的性质，从而完成求解．
25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的级亲密点．例如：点的级亲密点为B，即点的坐标为．
（1）已知点的3级亲密点是点，则点的坐标为 ；
（2）已知点的级亲密点位于坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点在轴上，点不与原点重合，点的级亲密点为点，且的长度为长度的倍，求的值．
【答案】（1）
（2）点的坐标为或；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；
（2）根据新定义进行计算可得点的级亲密点是点，根据坐标轴上点的坐标特征分类进行求解即可得出答案；
（3）设，则点的级亲密点为点，根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，，，则，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意可得，
点的3级亲密点是点，
即点的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意可得，
点的级亲密点是点，
即点的坐标为，
当位于轴上，
，
，
；
当位于x轴上，
即，解得，
∴；
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设，则点的级亲密点为点，
根据题意可得，，，
则，
即，
解得：．
26. 如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，．
如图，当点在点的右侧，且时，求的值；
当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】26. ，理由见解析．
27. ；或，证明见解析．
【解析】
【分析】（）由平分，得到，又，所以，证得；
（）①由平分，平分，得到，由，可得，，，即可得到结果；
当点在点的左侧时，由平分，平分，得到，由，，得到，，从而得到结果；
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
．
理由如下：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
和之间的数量关系为或．
理由如下：
当点在点的右侧时，由得；
当点在点左侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，和之间的数量关系为或．