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江苏省南通市启东市2023—2024学年七年级下学期4月期中考试数学试题+
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这是一份江苏省南通市启东市2023—2024学年七年级下学期4月期中考试数学试题+，共24页。试卷主要包含了解答题解答时应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北偏东30°B．信义大道
C．报告厅5排D．东经103°，北纬30°
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线（ ）
A．AEB．ACC．ADD．BE
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝4C．＝﹣2D．＝﹣4
4．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；④∠2＝∠3．其中，能判断直线a∥b的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1
6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，点E在边CB的延长线上，∠C＝∠F＝90°，则∠CDE的度数为（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
7．估计﹣2的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是x轴上的两点，有一点P与AB构成三角形，若三角形PAB的面积为3（ ）
A．3B．2或﹣2C．2D．3或﹣3
9．在，，中，其中无理数的个数共有（ ）
A．1979个B．45个C．1980个D．1981个
10．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上。
11．如图，直线a，b相交，则∠2＝ ．
12．已知＝103，则＝ ．
13．（4分）已知点P（a，2a+3）在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等 ．
14．（4分）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，则与点C对应的实数是 ．
15．（4分）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是 ．
17．（4分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为 °．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设动点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+⋯+x199+x200＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）已知，如图，点E为AB延长线上一点，连接EF，交BC于点G，若∠1＝∠2，∠A＝∠C
证明：∵∠1＝∠3（ ），
∠1＝∠2（已知）．
∴ ＝ （等量代换）．
∴ ∥ （ ）．
∴∠A+∠4＝180°（ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ ）．
21．（10分）如图，在8×12的长方形网格中，每个小正方形的边长都为1
（1）在所给网格中按下列要求画图：在网格中建立平面直角坐标系，使四边形ABCD顶点A的坐标为（﹣5，2），并写出B，C；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．（10分）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
23．（10分）已知点M（m+3，2m﹣1），将点M向上平移4个单位得到点N．
（1）若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标；
（2）若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标．
24．（12分）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是，且，设，可画出示意图．
由面积公式，可得x2+2x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2．
解得x＝0.5，即 ．
上述过程中，主要运用的数学思想是 ．
（2）容易知道，设，请类比（1）的方法的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
25．（14分）综合与探究
问题情境
如图1，点D是∠ABC的边AB上一点，过点D作直线EF∥BC，以点D为端点作线段DN，连接MN．
问题初探
（1）在图1中，若DN是∠ADF的平分线，试探究：∠M与∠N的数量关系；
问题再探
（2）如图2，若DN是∠BDE的平分线，则∠M与∠N又有怎样的数量关系，并说明理由；
拓展探究
（3）如图3，若DN是∠ADE的平分线，∠N＝15°
26．（14分）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系
（3）如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3），当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
江苏省南通市启东市2023—2024学年七年级下学期4月期中数学试
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．
1．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北偏东30°B．信义大道
C．报告厅5排D．东经103°，北纬30°
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、在北偏东30°，没有距离，故A不符合题意；
B、信义大道，没有距离，故B不符合题意；
C、报告厅5排，故C不符合题意；
D、东经103°，能确定位置．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，正确利用有序数对确定位置是解题关键．
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线（ ）
A．AEB．ACC．ADD．BE
【分析】根据垂线段的性质，垂线段最短解答即可．
【解答】解：根据垂线段的性质可知：需要测量的线段是AC．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段的性质，垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝4C．＝﹣2D．＝﹣4
【分析】直接根据平方根，算术平方根、立方根的意义进行判断即可．
【解答】解：选项A中，＝4，不符合题意．
选项B中，±＝±4，不符合题意．
选项C中，＝﹣2，符合题意．
选项D中，＝＝4，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练理解掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
4．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；④∠2＝∠3．其中，能判断直线a∥b的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠5+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠2＝180°，∠3+∠6＝180°，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
5．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1
【分析】根据2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则2m﹣4与3m﹣1互为相反数，构建方程求得m的值．
【解答】解：（2m﹣4）+（5m﹣1）＝0，
解得：m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解两个平方根的关系是关键．
6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，点E在边CB的延长线上，∠C＝∠F＝90°，则∠CDE的度数为（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠BEF＝45°，求出∠BED＝45°﹣30°＝15°，由直角三角形的性质求出∠CDE＝90°﹣15°＝75°．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ABC＝∠BEF＝45°，
∵∠DEF＝30°，
∴∠BED＝45°﹣30°＝15°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣15°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠BEF＝45°．
7．估计﹣2的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【分析】直接得出的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴6＜﹣2＜3，
∴﹣6在2和3之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是x轴上的两点，有一点P与AB构成三角形，若三角形PAB的面积为3（ ）
A．3B．2或﹣2C．2D．3或﹣3
【分析】根据S△APB＝|yp|求解即可．
【解答】解：∵S△APB＝|yp|，
∴|yp|＝6，
解得：yp＝±3，
故选：D．
【点评】本题考查图形与坐标，三角形面积，解题的关键是学会利用参数构建方程．
9．在，，中，其中无理数的个数共有（ ）
A．1979个B．45个C．1980个D．1981个
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：∵12＝2，22＝8，…，442＝1936，452＝2025＞2024，
∴原数据中共有44个数不是无理数，
则无理数的个数为2024﹣44＝1980（个），
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
10．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+4α+180°﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上。
11．如图，直线a，b相交，则∠2＝ 140° ．
【分析】先根据对顶角相等求出∠1的度数，再根据平角等于180°列式求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠3＝80°，∠7＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝×80°＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查了对顶角相等的性质，根据对顶角相等求出∠1的度数是解题的关键．
12．已知＝103，则＝ 10.3 ．
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵＝＝103＝10.4．
故答案为：10.3．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
13．（4分）已知点P（a，2a+3）在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等 ﹣1 ．
【分析】根据点P（a，2a+3）在第二象限可知a＜0，2a+3＞0，再由P到x轴的距离与它到y轴的距离相等可得出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵点P（a，2a+3）在第二象限，
∴a＜4，2a+3＞5，
∵P到x轴的距离与它到y轴的距离相等，
∴﹣a＝2a+3，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．
14．（4分）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，则与点C对应的实数是 ．
【分析】根据点A与点B表示的数互为相反数，点A表示的数是，可得点B表示的数为，而AB＝BC＝2，可设点C对应的实数为x，其中x＞0，即2＝|x﹣|，求解即可．
【解答】解：∵点A与点B表示的数互为相反数，点A表示的数是，
∴点B表示的数为，
∴AB＝4，
由题可知，AB＝BC，
∴设点C对应的实数为x，其中x＞0，
即2＝|x﹣|，
解得：x＝5或x＝﹣，舍去），
∴点C对应的实数为5，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
15．（4分）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 210° ．
【分析】过∠2顶点做直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解．
【解答】解：过∠2顶点做直线l∥支撑平台，
∴l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠6＝30°、∠5+∠3＝180°，
∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°，
∵∠5+∠5＝∠2，
∴∠3+∠3＝210°．
故答案为：210°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是 （﹣1，0） ．
【分析】先根据所给平移方式，用m表示出点Q的坐标，再根据点Q在x轴上即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点Q由点P向左平移3个单位，向下平移1个单位得到，
所以点Q的坐标可表示为（m﹣5，2m﹣2）．
又因为点Q恰好在x轴上，
所以8m﹣2＝0，
解得m＝4，
所以m﹣2＝﹣1，
所以点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣1，6）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟知坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
17．（4分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为 120 °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠ODM＝∠EOF，即可求出∠CDM的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可得出∠ANM的度数．
【解答】解：∵DM∥OE，
∴∠ODM＝∠EOF，
∵∠EOF＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∵∠ODC＝30°，
∴∠CDM＝∠ODM+∠ODC＝90°+30°＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠CDM＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设动点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+⋯+x199+x200＝ 100 ．
【分析】根据点M的运动方式，发现其对应点的横坐标的变化规律，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
点P1的横坐标为1；
点P5的横坐标为﹣1；
点P3的横坐标为﹣6；
点P4的横坐标为3；
点P4的横坐标为3；
点P6的横坐标为﹣6；
点P7的横坐标为﹣3；
点P7的横坐标为5；
点P9的横坐标为7；
点P10的横坐标为﹣5；
…，
观察点P2，P6，P10，…，的横坐标发现，
点P4n﹣2的横坐标可表示为：﹣2n+1．（n为正整数）．
当n＝50时，
点P198的横坐标为﹣99．
所以点P199的横坐标为﹣99，
点P200的横坐标为101，
所以x1+x5+⋯+x199+x200＝1+（﹣1）+（﹣4）+3+3+（﹣5）+（﹣3）+…+99+99+（﹣99）+（﹣99）+101＝﹣1+101＝100．
故答案为：100．
【点评】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现点P4n﹣2的横坐标可表示为﹣2n+1，进而得到P200的坐标，并发现从第四个数开始连续四个数的和为0是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）已知，如图，点E为AB延长线上一点，连接EF，交BC于点G，若∠1＝∠2，∠A＝∠C
证明：∵∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∠1＝∠2（已知）．
∴ ∠2 ＝ ∠3 （等量代换）．
∴ AD ∥ BC （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠A+∠4＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴ CF ∥ EA （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∠4＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换），
∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；∠5；AD；同位角相等；两直线平行；CF；两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
21．（10分）如图，在8×12的长方形网格中，每个小正方形的边长都为1
（1）在所给网格中按下列要求画图：在网格中建立平面直角坐标系，使四边形ABCD顶点A的坐标为（﹣5，2），并写出B，C；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（2）利用割补法求四边形的面积即可
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可得，B（﹣4，C（﹣1，D（﹣3．
（2）四边形ABCD的面积为4×3﹣＝12﹣．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平面直角坐标系，能够正确建立平面直角坐标系是解答本题的关键．
22．（10分）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）＝20（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m．
由题意有：5a×5a＝315，
解得：a＝，
∵3a表示长度，
∴a＞3，
∴a＝，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+2a）＝16a＝16，
∵80＝16×5＝16×＞16，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【点评】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
23．（10分）已知点M（m+3，2m﹣1），将点M向上平移4个单位得到点N．
（1）若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标；
（2）若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质可得点N的坐标为（m+3，2m+3），再根据点N的纵坐标比横坐标大3，求出m即可得出答案；
（2）由点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求出m，即可得N点坐标．
【解答】解：（1）∵点M（m+3，2m﹣3），
∴将点M向上平移4个单位得到点N的坐标为（m+3，2m+3），
∵点N的纵坐标比横坐标大3，
∴2m+3﹣（m+3）＝3，
解得m＝3，
∴点M的坐标为（6，8）；
（2）∵点M到x轴的距离为2，且在第四象限，
∴2m﹣3＝﹣2，
∴m＝﹣，
∴点N的坐标为（，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平移法则是解题的关键．
24．（12分）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是，且，设，可画出示意图．
由面积公式，可得x2+2x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2．
解得x＝0.5，即 1.5 ．
上述过程中，主要运用的数学思想是 数形结合思想 ．
（2）容易知道，设，请类比（1）的方法的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）类比近似值的求解过程求解即可．
【解答】解：（1）由题意知1.7；
故答案为：1.5，数形结合思想；
（2）如图，设，则（2﹣x）4＝3，
根据图中面积可得：28﹣2x﹣2x+x8＝3，
∴4﹣5x+x2＝3，
略去x4得方程 4﹣4x＝2，
∴x＝0.25，
∴．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．（14分）综合与探究
问题情境
如图1，点D是∠ABC的边AB上一点，过点D作直线EF∥BC，以点D为端点作线段DN，连接MN．
问题初探
（1）在图1中，若DN是∠ADF的平分线，试探究：∠M与∠N的数量关系；
问题再探
（2）如图2，若DN是∠BDE的平分线，则∠M与∠N又有怎样的数量关系，并说明理由；
拓展探究
（3）如图3，若DN是∠ADE的平分线，∠N＝15°
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADF＝∠ABC，再利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠ABC，∠ADN＝∠ADF，从而可得∠ABM＝∠ADN，然后利用平行线的判定可得DN∥BM，从而利用平行线的性质可得∠M+∠N＝180°，即可解答；
（2）根据平行线的性质可得∠ABC＝∠BDE，再利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠ABC，∠BDN＝∠BDE，从而可得∠ABM＝∠BDN，然后利用平行线的判定可得BM∥DN，从而从而利用平行线的性质可得∠M＝∠N，即可解答；
（3）延长ND，BM交于点G，根据平行线的性质可得∠BDF+∠ABC＝180°，再利用角平分线的定义可得∠ADN＝∠ADE，然后利用对顶角相等可得∠ADN＝∠BDG，∠ADE＝∠BDF，从而可得∠BDG＝∠BDF，再利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠ABC，从而可得∠BDG+∠ABM＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠G＝90°，从而利用三角形的外角性质可得∠BMN＝105°，即可解答．
【解答】解：（1）∠M+∠N＝180°，
理由：∵EF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵BM是∠ABC的平分线，DN是∠ADF的平分线，
∴∠ABM＝∠ABC∠ADF，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴DN∥BM，
∴∠M+∠N＝180°；
（2）∠M＝∠N，
理由：∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BM是∠ABC的平分线，DN是∠BDE的平分线，
∴∠ABM＝∠ABC∠BDE，
∴∠ABM＝∠BDN，
∴BM∥DN
∴∠M＝∠N；
（3）延长ND，BM交于点G，
∵EF∥BC
∴∠BDF+∠ABC＝180°，
∵DN是∠ADE的平分线，
∴∠ADN＝∠ADE，
∵∠ADN＝∠BDG，∠ADE＝∠BDF，
∴∠BDG＝∠BDF，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠ABC，
∴∠BDG+∠ABM＝∠BDF+
＝（∠BDF+∠ABC）
＝×180°
＝90°，
∴∠G＝180°﹣（∠BDG+∠ABM）＝90°，
∵∠N＝15°，
∴∠BMN＝∠N+∠G＝105°，
∴∠BMN的度数为105°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（14分）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系
（3）如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3），当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣70°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝160°．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠3+∠3＝90°，
∵∠1＝∠6，∠3＝∠4，
∴∠5+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠2+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）β＝2α﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠5+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠2＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠7＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠8，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
＝180°﹣（6∠2+2∠8）
＝180°﹣2（∠2+∠6）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°；
（3）90°+m或160°．
理由如下：①当n＝5时，如图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝70°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠6＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣3×（70°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝140°，
则∠GHC＝20°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣70°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣70°＝90°，
则γ＝160°．
综上所述：γ的度数为90°+m或160°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
1．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北偏东30°B．信义大道
C．报告厅5排D．东经103°，北纬30°
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线（ ）
A．AEB．ACC．ADD．BE
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝4C．＝﹣2D．＝﹣4
4．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；④∠2＝∠3．其中，能判断直线a∥b的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1
6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，点E在边CB的延长线上，∠C＝∠F＝90°，则∠CDE的度数为（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
7．估计﹣2的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是x轴上的两点，有一点P与AB构成三角形，若三角形PAB的面积为3（ ）
A．3B．2或﹣2C．2D．3或﹣3
9．在，，中，其中无理数的个数共有（ ）
A．1979个B．45个C．1980个D．1981个
10．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上。
11．如图，直线a，b相交，则∠2＝ ．
12．已知＝103，则＝ ．
13．（4分）已知点P（a，2a+3）在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等 ．
14．（4分）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，则与点C对应的实数是 ．
15．（4分）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是 ．
17．（4分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为 °．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设动点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+⋯+x199+x200＝ ．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）已知，如图，点E为AB延长线上一点，连接EF，交BC于点G，若∠1＝∠2，∠A＝∠C
证明：∵∠1＝∠3（ ），
∠1＝∠2（已知）．
∴ ＝ （等量代换）．
∴ ∥ （ ）．
∴∠A+∠4＝180°（ ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ ）．
21．（10分）如图，在8×12的长方形网格中，每个小正方形的边长都为1
（1）在所给网格中按下列要求画图：在网格中建立平面直角坐标系，使四边形ABCD顶点A的坐标为（﹣5，2），并写出B，C；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．（10分）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
23．（10分）已知点M（m+3，2m﹣1），将点M向上平移4个单位得到点N．
（1）若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标；
（2）若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标．
24．（12分）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是，且，设，可画出示意图．
由面积公式，可得x2+2x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2．
解得x＝0.5，即 ．
上述过程中，主要运用的数学思想是 ．
（2）容易知道，设，请类比（1）的方法的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
25．（14分）综合与探究
问题情境
如图1，点D是∠ABC的边AB上一点，过点D作直线EF∥BC，以点D为端点作线段DN，连接MN．
问题初探
（1）在图1中，若DN是∠ADF的平分线，试探究：∠M与∠N的数量关系；
问题再探
（2）如图2，若DN是∠BDE的平分线，则∠M与∠N又有怎样的数量关系，并说明理由；
拓展探究
（3）如图3，若DN是∠ADE的平分线，∠N＝15°
26．（14分）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系
（3）如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3），当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
江苏省南通市启东市2023—2024学年七年级下学期4月期中数学试
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．
1．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北偏东30°B．信义大道
C．报告厅5排D．东经103°，北纬30°
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、在北偏东30°，没有距离，故A不符合题意；
B、信义大道，没有距离，故B不符合题意；
C、报告厅5排，故C不符合题意；
D、东经103°，能确定位置．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，正确利用有序数对确定位置是解题关键．
2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线（ ）
A．AEB．ACC．ADD．BE
【分析】根据垂线段的性质，垂线段最短解答即可．
【解答】解：根据垂线段的性质可知：需要测量的线段是AC．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段的性质，垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝4C．＝﹣2D．＝﹣4
【分析】直接根据平方根，算术平方根、立方根的意义进行判断即可．
【解答】解：选项A中，＝4，不符合题意．
选项B中，±＝±4，不符合题意．
选项C中，＝﹣2，符合题意．
选项D中，＝＝4，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练理解掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
4．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3+∠4＝180°；④∠2＝∠3．其中，能判断直线a∥b的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠5+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠2＝180°，∠3+∠6＝180°，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
5．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1
【分析】根据2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则2m﹣4与3m﹣1互为相反数，构建方程求得m的值．
【解答】解：（2m﹣4）+（5m﹣1）＝0，
解得：m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解两个平方根的关系是关键．
6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，点E在边CB的延长线上，∠C＝∠F＝90°，则∠CDE的度数为（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠BEF＝45°，求出∠BED＝45°﹣30°＝15°，由直角三角形的性质求出∠CDE＝90°﹣15°＝75°．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ABC＝∠BEF＝45°，
∵∠DEF＝30°，
∴∠BED＝45°﹣30°＝15°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣15°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠BEF＝45°．
7．估计﹣2的值在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【分析】直接得出的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5，
∴6＜﹣2＜3，
∴﹣6在2和3之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是x轴上的两点，有一点P与AB构成三角形，若三角形PAB的面积为3（ ）
A．3B．2或﹣2C．2D．3或﹣3
【分析】根据S△APB＝|yp|求解即可．
【解答】解：∵S△APB＝|yp|，
∴|yp|＝6，
解得：yp＝±3，
故选：D．
【点评】本题考查图形与坐标，三角形面积，解题的关键是学会利用参数构建方程．
9．在，，中，其中无理数的个数共有（ ）
A．1979个B．45个C．1980个D．1981个
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：∵12＝2，22＝8，…，442＝1936，452＝2025＞2024，
∴原数据中共有44个数不是无理数，
则无理数的个数为2024﹣44＝1980（个），
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
10．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+4α+180°﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上。
11．如图，直线a，b相交，则∠2＝ 140° ．
【分析】先根据对顶角相等求出∠1的度数，再根据平角等于180°列式求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠3＝80°，∠7＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝×80°＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题主要考查了对顶角相等的性质，根据对顶角相等求出∠1的度数是解题的关键．
12．已知＝103，则＝ 10.3 ．
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵＝＝103＝10.4．
故答案为：10.3．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
13．（4分）已知点P（a，2a+3）在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等 ﹣1 ．
【分析】根据点P（a，2a+3）在第二象限可知a＜0，2a+3＞0，再由P到x轴的距离与它到y轴的距离相等可得出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵点P（a，2a+3）在第二象限，
∴a＜4，2a+3＞5，
∵P到x轴的距离与它到y轴的距离相等，
∴﹣a＝2a+3，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．
14．（4分）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，则与点C对应的实数是 ．
【分析】根据点A与点B表示的数互为相反数，点A表示的数是，可得点B表示的数为，而AB＝BC＝2，可设点C对应的实数为x，其中x＞0，即2＝|x﹣|，求解即可．
【解答】解：∵点A与点B表示的数互为相反数，点A表示的数是，
∴点B表示的数为，
∴AB＝4，
由题可知，AB＝BC，
∴设点C对应的实数为x，其中x＞0，
即2＝|x﹣|，
解得：x＝5或x＝﹣，舍去），
∴点C对应的实数为5，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
15．（4分）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 210° ．
【分析】过∠2顶点做直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解．
【解答】解：过∠2顶点做直线l∥支撑平台，
∴l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠6＝30°、∠5+∠3＝180°，
∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°，
∵∠5+∠5＝∠2，
∴∠3+∠3＝210°．
故答案为：210°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（m+1，2m﹣1）向左平移3个单位，若点Q恰好落在x轴上，则点Q的坐标是 （﹣1，0） ．
【分析】先根据所给平移方式，用m表示出点Q的坐标，再根据点Q在x轴上即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点Q由点P向左平移3个单位，向下平移1个单位得到，
所以点Q的坐标可表示为（m﹣5，2m﹣2）．
又因为点Q恰好在x轴上，
所以8m﹣2＝0，
解得m＝4，
所以m﹣2＝﹣1，
所以点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣1，6）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟知坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
17．（4分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为 120 °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠ODM＝∠EOF，即可求出∠CDM的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可得出∠ANM的度数．
【解答】解：∵DM∥OE，
∴∠ODM＝∠EOF，
∵∠EOF＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∵∠ODC＝30°，
∴∠CDM＝∠ODM+∠ODC＝90°+30°＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠CDM＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设动点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+⋯+x199+x200＝ 100 ．
【分析】根据点M的运动方式，发现其对应点的横坐标的变化规律，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
点P1的横坐标为1；
点P5的横坐标为﹣1；
点P3的横坐标为﹣6；
点P4的横坐标为3；
点P4的横坐标为3；
点P6的横坐标为﹣6；
点P7的横坐标为﹣3；
点P7的横坐标为5；
点P9的横坐标为7；
点P10的横坐标为﹣5；
…，
观察点P2，P6，P10，…，的横坐标发现，
点P4n﹣2的横坐标可表示为：﹣2n+1．（n为正整数）．
当n＝50时，
点P198的横坐标为﹣99．
所以点P199的横坐标为﹣99，
点P200的横坐标为101，
所以x1+x5+⋯+x199+x200＝1+（﹣1）+（﹣4）+3+3+（﹣5）+（﹣3）+…+99+99+（﹣99）+（﹣99）+101＝﹣1+101＝100．
故答案为：100．
【点评】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现点P4n﹣2的横坐标可表示为﹣2n+1，进而得到P200的坐标，并发现从第四个数开始连续四个数的和为0是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）已知，如图，点E为AB延长线上一点，连接EF，交BC于点G，若∠1＝∠2，∠A＝∠C
证明：∵∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），
∠1＝∠2（已知）．
∴ ∠2 ＝ ∠3 （等量代换）．
∴ AD ∥ BC （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠A+∠4＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．
∴ CF ∥ EA （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∠4＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A＝∠C（已知），
∴∠C+∠4＝180°（等量代换），
∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；∠5；AD；同位角相等；两直线平行；CF；两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
21．（10分）如图，在8×12的长方形网格中，每个小正方形的边长都为1
（1）在所给网格中按下列要求画图：在网格中建立平面直角坐标系，使四边形ABCD顶点A的坐标为（﹣5，2），并写出B，C；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
（2）利用割补法求四边形的面积即可
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可得，B（﹣4，C（﹣1，D（﹣3．
（2）四边形ABCD的面积为4×3﹣＝12﹣．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平面直角坐标系，能够正确建立平面直角坐标系是解答本题的关键．
22．（10分）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）＝20（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m．
由题意有：5a×5a＝315，
解得：a＝，
∵3a表示长度，
∴a＞3，
∴a＝，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+2a）＝16a＝16，
∵80＝16×5＝16×＞16，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【点评】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
23．（10分）已知点M（m+3，2m﹣1），将点M向上平移4个单位得到点N．
（1）若点N的纵坐标比横坐标大3，求点M的坐标；
（2）若点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求点N的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质可得点N的坐标为（m+3，2m+3），再根据点N的纵坐标比横坐标大3，求出m即可得出答案；
（2）由点M到x轴的距离为2，且在第四象限，求出m，即可得N点坐标．
【解答】解：（1）∵点M（m+3，2m﹣3），
∴将点M向上平移4个单位得到点N的坐标为（m+3，2m+3），
∵点N的纵坐标比横坐标大3，
∴2m+3﹣（m+3）＝3，
解得m＝3，
∴点M的坐标为（6，8）；
（2）∵点M到x轴的距离为2，且在第四象限，
∴2m﹣3＝﹣2，
∴m＝﹣，
∴点N的坐标为（，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平移法则是解题的关键．
24．（12分）（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是，且，设，可画出示意图．
由面积公式，可得x2+2x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2．
解得x＝0.5，即 1.5 ．
上述过程中，主要运用的数学思想是 数形结合思想 ．
（2）容易知道，设，请类比（1）的方法的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）类比近似值的求解过程求解即可．
【解答】解：（1）由题意知1.7；
故答案为：1.5，数形结合思想；
（2）如图，设，则（2﹣x）4＝3，
根据图中面积可得：28﹣2x﹣2x+x8＝3，
∴4﹣5x+x2＝3，
略去x4得方程 4﹣4x＝2，
∴x＝0.25，
∴．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．（14分）综合与探究
问题情境
如图1，点D是∠ABC的边AB上一点，过点D作直线EF∥BC，以点D为端点作线段DN，连接MN．
问题初探
（1）在图1中，若DN是∠ADF的平分线，试探究：∠M与∠N的数量关系；
问题再探
（2）如图2，若DN是∠BDE的平分线，则∠M与∠N又有怎样的数量关系，并说明理由；
拓展探究
（3）如图3，若DN是∠ADE的平分线，∠N＝15°
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADF＝∠ABC，再利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠ABC，∠ADN＝∠ADF，从而可得∠ABM＝∠ADN，然后利用平行线的判定可得DN∥BM，从而利用平行线的性质可得∠M+∠N＝180°，即可解答；
（2）根据平行线的性质可得∠ABC＝∠BDE，再利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠ABC，∠BDN＝∠BDE，从而可得∠ABM＝∠BDN，然后利用平行线的判定可得BM∥DN，从而从而利用平行线的性质可得∠M＝∠N，即可解答；
（3）延长ND，BM交于点G，根据平行线的性质可得∠BDF+∠ABC＝180°，再利用角平分线的定义可得∠ADN＝∠ADE，然后利用对顶角相等可得∠ADN＝∠BDG，∠ADE＝∠BDF，从而可得∠BDG＝∠BDF，再利用角平分线的定义可得∠ABM＝∠ABC，从而可得∠BDG+∠ABM＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠G＝90°，从而利用三角形的外角性质可得∠BMN＝105°，即可解答．
【解答】解：（1）∠M+∠N＝180°，
理由：∵EF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵BM是∠ABC的平分线，DN是∠ADF的平分线，
∴∠ABM＝∠ABC∠ADF，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴DN∥BM，
∴∠M+∠N＝180°；
（2）∠M＝∠N，
理由：∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BM是∠ABC的平分线，DN是∠BDE的平分线，
∴∠ABM＝∠ABC∠BDE，
∴∠ABM＝∠BDN，
∴BM∥DN
∴∠M＝∠N；
（3）延长ND，BM交于点G，
∵EF∥BC
∴∠BDF+∠ABC＝180°，
∵DN是∠ADE的平分线，
∴∠ADN＝∠ADE，
∵∠ADN＝∠BDG，∠ADE＝∠BDF，
∴∠BDG＝∠BDF，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠ABC，
∴∠BDG+∠ABM＝∠BDF+
＝（∠BDF+∠ABC）
＝×180°
＝90°，
∴∠G＝180°﹣（∠BDG+∠ABM）＝90°，
∵∠N＝15°，
∴∠BMN＝∠N+∠G＝105°，
∴∠BMN的度数为105°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（14分）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系
（3）如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°）（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3），当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣70°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝160°．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠3+∠3＝90°，
∵∠1＝∠6，∠3＝∠4，
∴∠5+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠2+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）β＝2α﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠5+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠2＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠7＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠8，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
＝180°﹣（6∠2+2∠8）
＝180°﹣2（∠2+∠6）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°；
（3）90°+m或160°．
理由如下：①当n＝5时，如图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝70°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠6＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣3×（70°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝140°，
则∠GHC＝20°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣70°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣70°＝90°，
则γ＝160°．
综上所述：γ的度数为90°+m或160°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
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