江苏省南通市启东市南苑中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份江苏省南通市启东市南苑中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了 新定义等内容，欢迎下载使用。

考试时间∶120分钟 满分∶150分
一．选择题（共10题，每题3分）
1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. 二次函数的图象是由下面哪个函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位所得到的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律逆推进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，则二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，得到原二次函数图象，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是，
故选：．
3. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．
【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2−2x−3的图象如图：
由图象知．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．
4. 如图，点A，B，C，D在上，，B是弧的中点，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．
【详解】解：连接，如图所示，

∵B是弧的中点，
即，
∴，
∵和都对，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．
5. 如图，半径为5的与y轴交于点，则点A的横坐标为（ ）
A. -3B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作与D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可；
【详解】解：过点A作与D，连接,
,
半径为5的与y轴交于点，
，
过圆心A，
，
由勾股定理得：
，
点的横坐标为3，
故选择：B
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，能根据垂径定理求出是解题的关键．
6. 如图，点A，B，C在上，若，则等于（ ）

A. 100°B. 110°C. 120°D. 140°
【答案】D
【解析】
【分析】在优弧上取点D，连接，，先由圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可．
【详解】试题分析：在优弧上取点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∵与是同弧所对的圆周角与圆心角
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理等，解题的关键是做出辅助线，构建圆内接四边形．
7. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）

A. 20B. 26C. 28D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用；
根据直角三角形的性质证明，可得要使取得最大值，则需取得最大值，连接并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，求出，得到，进而可得答案．
详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点 、点关于原点对称，
∴点O是的中线，
∴，
∴要使取得最大值，则需取得最大值，
连接并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若，，，是抛物线上的两点，则，其中正确个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据该二次函数图象的对称轴、开口方向、与轴的交点情况以及顶点坐标和图象上的坐标特征，分别判断每个小题的正误即可．
【详解】解：①抛物线开口向上，
．
当时，，
．
对称轴直线，
，
．故①正确．
②对称轴直线，
．故②不正确．
③由①知，，，
．故③正确．
④有两个不同的实根，
．故④不正确．
⑤距对称轴的距离为；
距对称轴的距离为，
与相比，距对称轴的距离更近，
．故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及图象上坐标的特征等，属于二次函数部分的基础内容，难度不大，一定要牢固掌握，灵活运用．
9. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．设，而，即函数向上平移1个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解．
【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移1个单位得到函数，
则两个函数的图象如图所示，
从图象看，，
故选：A．
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
二．填空题（共8题，11-12每题3分，13-18每题4分）
11. 二次函数的图象开口向下，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和二次函数的性质即可求解．
【详解】 二次函数的图象开口向下，
，



（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是明确．
12. 二次函数的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】通过二次函数图像的特点可知函数有最小值，在顶点处取到，直接代值求解即可．
【详解】
对称轴所在的直线为
二次函数有最小值，在顶点处取到，
即当时，
故答案为：
【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是函数在顶点处取到函数的最小值．
13. 已知二次函数的图象与轴只有一个交点．则________．
【答案】##2或## 或2
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知两个相等的实数根，再根据一元二次方程的根的判别式求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
14. 如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作，交于点D，则长的最大值为 ___________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时，最小，根据垂径定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时D、B两点重合，
∴，
即的最大值为2，
故答案：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15. 如图，点A，B，C在上，，则______．

【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据，得到，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度）
【答案】70°
【解析】
【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．
【详解】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．
故答案为70°；
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
17. 如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转180°得，交x轴于点；…，如此进行下去，直至得．若在第2023段抛物线上，则______．

【答案】
【解析】
【分析】求出抛物线与轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在轴下方，再根据横坐标确定点的纵坐标即可得解．
【详解】解：令，则，解得
同理：
由图可知，抛物线在轴下方，
的纵坐标等于点的纵坐标，
当时，，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，利用点的变化确定函数图像的变化更简便，掌握中心对称点的坐标的特点是本题的关键．
18. 已知二次函数（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是_____．
【答案】−2≤a＜4
【解析】
【分析】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜−2时，y随x的增大而减小，可得a≥−2，从而得出结论．
【详解】解：y＝（x−a−1）（x−a＋1）−2a＋9
＝x2−2ax＋a2−2a＋8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（−2a）2−4（a2−2a＋8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向上，且当x＜−2时，y随x的增大而减小，
∴a≥−2，
∴实数a的取值范围是−2≤a＜4．
故答案为：−2≤a＜4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共8题）
19. 已知二次函数．
（1）求出此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求出y随x的增大而减小时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将二次函数的解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据函数的图象的顶点坐标确定其对称轴，然后结合其开口方向确定其增减性，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴顶点坐标为．
【小问2详解】
解：∵，
∴对称轴为，
又∵
∴二次函数的图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小．
故y随x的增大而减小时，x的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20. 如图，AB是的直径，弦于点E．若，，求弦CD．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，如图，根据垂径定理得到CE=DE，然后利用勾股定理计算出CE，从而得到CD的长．
【详解】解：连接OC，如图，
∵AB为直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，
∵AB=8，
∴OA=OC=4，
∴OE=OA-AE=4-1=3，
在Rt△OCE中，CE=，
∴CD=2CE=．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21. 如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：连接，
，，
，
．
是的外角，
．
，
，
，
．
22. 某电商在抖音平台上对红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【答案】（1）11元 （2）售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元
【解析】
【分析】（1）设每千克售价应为x元，根据“如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克”列出方程，即可求解；
（2）设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意，列出函数的关系式，结合二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每千克售价应为x元，根据题意得：
，
解得：，
∵商家想尽快销售完库存，
∴，
答：每千克售价应为11元；
【小问2详解】
解：设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，W的值最大，最大值为720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数的解析式，利用二次函数的性质求最值．
23. 如图，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）判断的形状，并证明；
（2）求BD的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据角平分线定义得∠ACD = ∠DCB,再利用圆周角定理得∠ACD = ∠ABD,∠DCB = ∠DAB,等量代换即可求解,
（2）利用直径和勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）△ADB是等腰直角三角形.
证明：∵CD平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠DCB.
∵ ∠ACD = ∠ABD,∠DCB = ∠DAB,
∴ ∠ABD = ∠DAB.
∴AD=BD
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
（2）在Rt△ADB中, AD2+BD2=AB2,
∴2BD2=AB2,
∴BD=AB=×6=(cm)
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】延长至，使得，先证明，再证明，进而得为等边三角形，从而可得，由此即可得证．
【详解】证明：如图，延长至，使得，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
25. 如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；
（2）通过计算判断此球能否过网；
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．
【答案】（1）；（2）此球能过网，见解析；（3）2m
【解析】
【分析】（1）依题意，函数图象的顶点坐标为（4，），则可设函数的解析式为：，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a即可
（2）将x＝5代入所求的函数解析式，求得y即可判断；
（3）将y＝代入函数解析式求得x，即可求出乙与球网的水平距离．
【详解】解（1）依题意，函数图象的顶点坐标为，
故设函数的解析式为：，
∵点在抛物线上，
∴代入得，
解得，
则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：；
（2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为，
则当时，，
∵，
∴此球能过网；
（3）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为，
当时，有，
解得（舍去），，
∴此时乙与球网的水平距离为：.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出羽毛球经过的路线对应的函数关系式是解题的关键．
26. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标是时，四边形的面积最大，最大面积为；
（3）存在，点的坐标是、、．
【解析】
【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，分类讨论思想，数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）首先根据直线与轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是点C的坐标是；然后根据抛物线经过B、C两点,求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式；
（2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，然后设点E的坐标是 则点M的坐标是求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值以及四边形面积最大各是多少即可；
（3）在抛物线上存在点P, 使得以为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【小问1详解】
解：∵直线与轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是， 点C的坐标是，
∵抛物线 经过B、C两点，
∴，
解得，
．
【小问2详解】
解：如图1，过点E作y轴的平行线交直线于点M，交x轴于点F，
∵点E是直线上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是
则点M的坐标是
，
∴当时，即点E的坐标是时，的面积最大，最大面积是3；
∴此时，四边形的面积最大，最大面积：．
【小问3详解】
解：存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
设,
①当为平行四边形的对角线时，
②当为平行四边形的对角线时，
③当为平行四边形的对角线时，

综上，可得在抛物线上存在点P， 使得以为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是．