第8章 立体几何与空间向量 素能培优(十五) 空间几何体的内切球 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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探究一 柱体与其内切球
例1如图所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切,则两球半径之和为__________. 
解析 作正方体的对角面,得如图所示的截面图,其中AB,CD为正方体的棱,AD,BC为正方体的面对角线,AC为体对角线.球心O1和O2在直线AC上,过点O1,O2分别作AD,BC的垂线交于E,F两点.
[对点训练1]若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球体积之比为(　　)
探究二 锥体与其内切球
规律方法1.解决几何体的内切球问题,应先作出一个适当的 截面(一般作出多面体的对角面所在的截面),这 个截面应包括几何体与球的主要元素,且能反映 出几何体与球的位置关系和数量关系.
2.球的内切问题(等体积法).例如:如图,在四棱锥P-ABCD中,内切球为球O,求球O的半径r.方法如下:VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB,
3.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合,内切球的半径为球心到多面体任一面的距离.4.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上,但不一定重合.
解析 因为三棱锥A-BCD每组对棱棱长相等,所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,如图所示.
探究三 与球切、接有关的最值问题
例3(2022·全国乙,理9,文12)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(　　)
规律方法与球切、接有关的最值问题的求解策略(1)转化为函数最值问题:通过引入参数,建立关于这个参变量的函数关系,转化为函数的最值问题来解决,有时要用导数法求最值.(2)转化为平面几何问题:根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目的其他条件逐步向该平面转移,然后利用几何方法或三角方法来解决.(3)利用基本不等式:可通过引入变量建立数学模型,然后利用基本不等式等求其最值.
[对点训练3](2024·陕西安康模拟)已知矩形ABCD的周长为36,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为__________.