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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最值课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最值课件新人教A版，共46页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，单调递增，单调递减，单调区间，函数的最值，fx≤M，fx0M，fx≥M等内容，欢迎下载使用。
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
微点拨函数单调性定义的等价形式
(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 .
微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗?
提示 不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的.
微点拨1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
微思考已知函数f(x)= ,对于∀x∈{x|x≠0}都有f(x)>0,能否认为f(x)= 的最小值为0?
提示 不能.尽管f(x)>0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能说f(x)= 的最小值为0.
常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x)g(x)是增(减)函数;若两者都恒小于0,则f(x)g(x)是减(增)函数.
3.复合函数的单调性:对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解为y=f(u)和u=g(x),则有:
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在R上单调递减,则f(1)>f(2).( )2.若函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递增,则f(1)
解析 因为函数f(x)= 在区间[2,6]上单调递减,所以,函数f(x)= 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4.
6.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第1题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],且在区间[-1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 . (1)f(0)f(2);(3)f(x)在区间[-1,5]上有最大值,而且f(2)是最大值;(4)f(0)与f(3)的大小关系不确定;(5)f(x)在区间[-1,5]上有最小值;(6)f(x)在区间[-1,5]上的最小值是f(5).
(1)(3)(4)(5)
解析 ∵函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增,∴f(0)
8.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[5,+∞)
解析 由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),又因为函数y=x2-4x-5在(2,+∞)上单调递增,由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)单调递增,所以a≥5,故选D.
考点一函数单调性的判断与证明
例1利用单调性的定义证明:函数f(x)= +2x-1在区间(-∞,0)上单调递增.
[对点训练1](2024·山东德州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,有f(x)<0,则不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集为( )
解析 由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),f(0)=0.由于函数f(x)的定义域为R,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.任取x1,x2∈R,且x10,f(x2-x1)<0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,即f(x1)>f(x2),因此函数f(x)在R上为减函数.由f(5-x2)+f(3x-x2)<0可得f(5-x2+3x-x2)0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1
例2(1)(2024·四川成都模拟)已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为( )A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,-2)
解析 由函数f(x)=ax+1在R上单调递减,可知a<0,所以函数g(x)=a(x2-4x+3)图象开口向下,对称轴为直线x=2,因此g(x)在(-∞,2)上单调递增,故选C.
(2)(2024·湖北宜昌模拟)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是( )A.[1,2]B.[-1,0]C.(0,2]D.[2,+∞)
解析 当x≤2时,f(x)=-x2+2x,则f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;当x>2时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,所以f(x)=|x-2|x的单调递减区间是[1,2],故选A.
(3)(2024·江苏南通模拟)设函数f(x)=-x2+2x+8,g(x)=lgax(0
考向1利用单调性比较大小例3(2024·黑龙江绥化模拟)若正数a,b满足2a-4b=lg2b-lg2a,则a与2b大小关系为 .
解析 因为2a-4b=lg2b-lg2a,所以2a+lg2a=4b+lg2b=22b+lg2b+lg22-1 =22b+lg22b-1.设f(x)=2x+lg2x(x>0),则f(a)=f(2b)-1,所以f(a)
[对点训练3](2024·山东潍坊模拟)已知函数 ,若f(a-2)>3,则实数a的取值范围是 .
考向3利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024·湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.(2,+∞)
变式探究1 (变条件)本例(1)中,若f(x)不变,令g(x)=f2(x),且对于任意x1
例6求下列函数的最值:
规律方法求函数最值的五种常用方法及其思路
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
微点拨函数单调性定义的等价形式
(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 .
微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗?
提示 不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的.
微点拨1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
微思考已知函数f(x)= ,对于∀x∈{x|x≠0}都有f(x)>0,能否认为f(x)= 的最小值为0?
提示 不能.尽管f(x)>0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能说f(x)= 的最小值为0.
常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x)g(x)是增(减)函数;若两者都恒小于0,则f(x)g(x)是减(增)函数.
3.复合函数的单调性:对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解为y=f(u)和u=g(x),则有:
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在R上单调递减,则f(1)>f(2).( )2.若函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递增,则f(1)
解析 因为函数f(x)= 在区间[2,6]上单调递减,所以,函数f(x)= 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4.
6.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第1题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],且在区间[-1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 . (1)f(0)
(1)(3)(4)(5)
解析 ∵函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增,∴f(0)
8.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[5,+∞)
解析 由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),又因为函数y=x2-4x-5在(2,+∞)上单调递增,由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)单调递增,所以a≥5,故选D.
考点一函数单调性的判断与证明
例1利用单调性的定义证明:函数f(x)= +2x-1在区间(-∞,0)上单调递增.
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解析 由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),f(0)=0.由于函数f(x)的定义域为R,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.任取x1,x2∈R,且x1
例2(1)(2024·四川成都模拟)已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为( )A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,-2)
解析 由函数f(x)=ax+1在R上单调递减,可知a<0,所以函数g(x)=a(x2-4x+3)图象开口向下,对称轴为直线x=2,因此g(x)在(-∞,2)上单调递增,故选C.
(2)(2024·湖北宜昌模拟)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是( )A.[1,2]B.[-1,0]C.(0,2]D.[2,+∞)
解析 当x≤2时,f(x)=-x2+2x,则f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;当x>2时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,所以f(x)=|x-2|x的单调递减区间是[1,2],故选A.
(3)(2024·江苏南通模拟)设函数f(x)=-x2+2x+8,g(x)=lgax(0
考向1利用单调性比较大小例3(2024·黑龙江绥化模拟)若正数a,b满足2a-4b=lg2b-lg2a,则a与2b大小关系为 .
解析 因为2a-4b=lg2b-lg2a,所以2a+lg2a=4b+lg2b=22b+lg2b+lg22-1 =22b+lg22b-1.设f(x)=2x+lg2x(x>0),则f(a)=f(2b)-1,所以f(a)
[对点训练3](2024·山东潍坊模拟)已知函数 ,若f(a-2)>3,则实数a的取值范围是 .
考向3利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024·湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.(2,+∞)
变式探究1 (变条件)本例(1)中,若f(x)不变,令g(x)=f2(x),且对于任意x1
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