2023-2024学年江苏省南通市海门区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中是必然事件的是( )
A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
B. 购买一张彩票，中奖
C. 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
D. 任意画一个三角形，其内角和是360°
2.平面直角坐标系内与点P(−1,5)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (5,−1)B. (1,5)C. (1,−5)D. (−5,−1)
3.一个几何体的三视图如图所示，组成这个几何体的正方体的个数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.等腰三角形的底角是30°，腰长为2 3，则它的周长为( )
A. 6 3B. 6+2 3C. 6+4 3D. 12+4 3
5.如图，CD是⊙O的直径，弦AB=8cm，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则直径CD的长为( )
A. 2 7cmB. 7cmC. 10cmD. 5cm
6.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( )
A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°
7.函数y=−2|−x|的图象为( )
A. B.
C. D.
8.为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为( )
A. anbB. bnaC. banD. abn
9.如图，平行于BC的线段DE把△ABC分成面积相等的两部分，则若AD=1，则BD的长为( )
A. 22B. 1C. 2D. 2−1
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限的点A，B分别在反比例函数y=kx，y=nkx(nk≠0)的图象上，AB//x轴，AD⊥x轴于点D，连接OB交AD于点C，交反比例函数y=kx的图象于点E，若CE=2OC，则n的值为( )
A. 9B. 8C. 4D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△AˈBCˈ，连接AAˈ，则AAˈ的长为 ．
12.两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，两人随机同时出手一次，平局的概率为 ．
13.如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，则BD=____ ___cm．
14.如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是4：2：1，如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为_ Pa．
15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ．
16.在Rt△ABC中，∠C=90°，csA= 32，AC= 3，则BC的长为 ．
17.如图，△ABC内接于⊙O，A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°，BD为⊙O的直径，连接AD，若AD=8，则AC的长为 ．
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=18，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，DF//BE，交AE于点F，EG⊥DF于点G，则EG的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点C的对应点C2的坐标；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π)．
20.(本小题8分)
盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一个球，它是黑球的概率是13．
(1)直接写出表示x和y关系的表达式：________；
(2)往盒中再放进1个黑球．如果从盒中随机取出一个球，那么取得黑球的概率变为12．
①此时，盒中共有____个黑球，____个白球；
②此时，从盒中随机取出两个球，求两个球恰好是一白一黑的概率．
21.(本小题8分)
如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图：
(1)在图1中的△ABC内部画一点D，使得DA=DB=DC；
(2)在图2中，N是边BC的中点，连接AN，在线段AN上画一点G，使得AG=2GN；
(3)在图3中边CB的延长线上画一点E，使得AC2=CB⋅CE．
22.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若CD=3，AD=5，求⊙O的半径长．
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=−34x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a,3)．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且S△ABC=2，求点B的坐标；
(3)若点P(m,n)在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少米？
25.(本小题8分)
如图，已知锐角△ABC．
(1)若sinA=0.8，sinC=0.6，BC=20，求AB的长；
(2)求证BC：AC：AB=sinA：sinB：sinC；
(3)若∠C=2∠A，AC=54BC，直接写出sinBsinC的值．
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，对角线AC，OB相交于点D，将正方形OABC绕点O逆时针旋转α(0°<α<45°)得正方形OA′B′C′，点O，A，B，C，D的对应点分别是O，A′，B′，C′，D′，函数y=kx(k>0,x>0)的图象记为图象G．
(1)当OA=4，α=30°时，点A′恰好在图象G上，求k的值；
(2)当点A′，D′同时在图象G上时，点B′横坐标为4，求k的值；
(3)点P为x轴上一动点，当tanα=34时，图象G过点D，且PC+PB′的值最小时，OP=17，求k的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不合题意；
B、“购买一张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不合题意；
C、“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征解答即可．
【解答】解：P(−1,5)点关于原点的对称点的坐标是(1,−5)．
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据视图的定义，在俯视图的相应位置标注所摆放的小正方体的个数即可．
【解答】解：在俯视图的相应位置标注所摆放的小正方体的个数如下：
所以组成这个几何体的正方体的个数是1+2+1=4．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确解答的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据底角是30°，腰长为2 3，可求得等腰三角形的底长，等腰三角形的周长=两腰的长+底的长．
【解答】解：，
等腰三角形的底=2×2 3×cs30°=2×2 3× 32=6，
等腰三角形的周长=6+2 3+2 3=6+4 3，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的周长，关键是掌握余弦定义．
5.【答案】C
【解析】【分析】连接OA，令OM=3xcm，OC=5xcm，由垂径定理得到AM=12AB=4(cm)，由勾股定理得到(5x)2=(3x)2+42，求出x=1(s舍去负值)，得到OC=5x=5cm，即可得到直径CD的长．
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC=3：5，
∴令OM=3xcm，OC=5xcm，
∴OA=OC=5xcm，
∵半径OC⊥AB，
∴AM=12AB=12×8=4(cm)，
∵OA2=OM2+AM2，
∴(5x)2=(3x)2+42，
∴x=1(舍去负值)，
∴OC=5x=5cm，
∴直径CD=2OC=10(cm).
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于x的方程．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有nπR180=2πr=πR，
∴n=180°．
故选：B．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】画出函数y=−2−x的图象即可判断．
【解答】解：列表：
描点，连线，画出函数图象如图，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】首先求出有记号的b条鱼在a条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，
∴有标记的鱼占ba，
∵共有n条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有n÷ba=nab(条)，
故选：A．
【点评】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
9.【答案】D
【解析】【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为12，则相似比为 22，ADAB= 22，可求出AB的长，则DB的长可求出．
【解答】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE=S四边形DBCE，
∴S△ADES△ABC=12，
∴ADAB= 22，
∵AD=1，
∴AB= 2．
∴DB=AB−AD= 2−1．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．
10.【答案】A
【解析】【分析】作BM⊥x轴，EN⊥x轴，证明△OCD∽△OEN∽△OBM，根据条件求出点N的坐标，利用反比例函数k值的几何意义和相似三角形的性质列出关于n的比例式求出n值即可．
【解答】解：如图，作BM⊥x轴，垂足为M，作EN⊥x轴，垂足为N，
∵AD⊥x轴，BM⊥x轴，EN⊥x轴，
∴△OCD∽△OEN∽△OBM，
设点A的坐标为(m,km)，则点B的坐标为(mn,km)，D(m.0)，M(mn,0)，
∵CE=2OC，
∴0D0N=0C0E=13，
∴ON=3m，N(3m,0)，
∴S△OENS△OBM=0N20M，
∵S△OEN=k2，S△OBM=nk2，
∴knk=(3m)2(m)2，
解得n=9，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义以及相似三角形的判定和性质，求出点N的坐标是关键．
11.【答案】5 2
【解析】【分析】先根据勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得到BA=BA′=5，∠ABA′=90°，然后利用勾股定理可计算出AAˈ的长．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△AˈBCˈ，
∴BA=BA′=5，∠ABA′=90°，
∴AA′= 52+52=5 2．
故答案为：5 2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理．
12.【答案】13
【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，平局的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，平局的结果数为3，
所以两人随机同时出手一次，平局的概率=39=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
13.【答案】1.6
【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABBC=BDAB，进而得出答案．
【解答】解：∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，
∵AB=4cm，BC=10cm，
∴BD=4×410=1.6(cm)，
故答案为：1.6．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ABD∽△CBA是解题关键．
14.【答案】a2
【解析】【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P⋅S=mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的A面向下放在地下上，地面所受压强是4a2=2a．
【解答】解：设该砖的质量为m，则P⋅S=mg
∵B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，A，B，C三个面的面积之比是4：2：1
∴把砖的A面向下放在地下上，P=a42=a2．
故答案为：a2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
15.【答案】(25 2+225)π
【解析】【分析】根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体、圆柱体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由这个几何体的三视图可知，逐个几何体是由一个底面直径为10，高为5的圆锥体与一个底面直径为10，高为20的圆柱体的组合体，
所以圆锥体的母线长为 52+52=5 2，
因此S表面积=S圆锥侧面积+S圆柱侧面积+S底面积
=12×10π×5 2+10π×20+π×52
=25 2π+200π+25π
=(25 2+225)π，
故答案为：(25 2+225)π．
【点评】本题考查几何体的表面积，掌握圆锥体、圆柱体的侧面积、底面积的计算方法以及通过三视图判断几何体是正确解答的关键．
16.【答案】1
【解析】【分析】根据题意画出图形，先利用余弦函数定义求出AB，再利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：如图．
在Rt△ABC中，∠C=90°，csA= 32，
∴ACAB= 32，
又∵AC= 3，
∴AB=2，
∴BC= AB2−AC2= 22−( 3)2=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解直角三角形，画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键．
17.【答案】8 33
【解析】【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=AC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACB=30°，接着根据圆周角定理得到∠ADB=30°，∠BAD=90°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出AB，从而得到AC的长．
【解答】解：∵A为劣弧BC的中点，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=12(180°−∠BAC)=12×(180°−120°)=30°，
∴∠ADB=∠ACB=30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB= 33AD= 33×8=8 33，
∴AC=8 33．
故答案为：8 33．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．
18.【答案】6
【解析】【分析】设CE=x，则AE=18−x，再利用线段的垂直平分线的性质可得AD=BD=12AB，EA=EB=18−x，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE，AE的长，从而求出△ABE的面积，进而求出△ADE的面积，再利用平行线分线段成比例可得AF=EF，从而可得△DEF的面积=12△ADE的面积=392，DF是△ABE的中位线，进而可得DF=12BE=132，最后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】解：设CE=x，
∵AC=18，
∴AE=AC−CE=18−x，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=12AB，EA=EB=18−x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
∴122+x2=(18−x)2，
解得：x=5，
∴CE=5，AE=BE=13，
∴△ABE的面积=12AE⋅BC=12×13×12=78，
∴△ADE的面积=12△ABE的面积=39，
∵DF//BE，AD=BD，
∴AF=EF，
∴△DEF的面积=12△ADE的面积=392，DF是△ABE的中位线，
∴DF=12BE=132，
∵EG⊥DF，
∴12DF⋅EG=392，
∴EG=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为(−2,−4)；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；点C的对应点C2的坐标为(−1,4)；
(3)∵BC2= 22+32= 13，
∴C点旋转到C2点所经过的路径长=90π× 13180= 132π.

【解析】【分析】(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可；
(3)利用勾股定理求出BC2，再利用弧长公式求解．
【点评】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
20.【答案】解：∵从盒中随机取出一个球，它是黑球的概率是13，
∴xx+y=13，
即y=2x．
故答案为：y=2x．
(2)①由题意得，x+1x+y+1=12，
将y=2x代入，得x+1x+2x+1=12，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解且符合题意，
∴此时，盒中共有1+1=2(个)黑球，2×1=2(个)白球．
故答案为：2；2．
②列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两个球恰好是一白一黑的结果有8种，
∴两个球恰好是一白一黑的概率为812=23．

【解析】【分析】(1)根据概率公式可列方程为xx+y=13，整理即可．
(2)①根据概率公式可列方程为x+1x+y+1=12，再将y=2x代入，可求出x的值，进而可得答案．
②列表可得出所有等可能的结果数以及两个球恰好是一白一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)如图1中，点D即为所求；
(2)如图2中，线段AN，点G即为所求；
(3)如图3中，点E即为所求．

【解析】【分析】(1)根据三角形的外心的定义解决问题；
(2)作直线CT，交AN于点G，利用重心的性质解决问题；
(3)由AC2=CB⋅CE.判断出△CAB∽△CEA，可得∠AEC=45°，在CB的延长线寻找一点E，使得DA=DC=DE即可．
【点评】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠1=∠4．
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB．
(2)解：如图2，作OE⊥AD于点E，
，
设⊙O的半径为x，
∵AD⊥CD，OE⊥AD，
∴OE//CD；
由(1)，可得AD//OC，
∴四边形OEDC是矩形，
∴OE=CD=3，AE=AD−DE=5−x，
∴32+(5−x)2=x2，
解得x=3.4，
∴⊙O的半径是3.4．

【解析】【分析】(1)连接OC，根据切线的性质，判断出AD//OC，再应用平行线的性质，即可推得AC平分∠DAB．
(2)作OE⊥AD于点E，判断出四边形OEDC是矩形，并应用勾股定理，求出⊙O的半径是多少即可．
【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
23.【答案】解：(1)将点A坐标代入正比例函数解析式得，
34a=3，
解得a=−4，
所以点A的坐标为(−4,3)．
将A点坐标代入反比例函数解析式得，
k=−4×3=−12，
所以反比例函数的解析式为y=−12x．
(2)因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称，
所以点C的坐标为(4,−3)．
令点B的坐标为(a,0)，
由S△ABC=2得，
12|a|⋅(3+3)=2，
解得a=±23，
所以点B的坐标为(23,0)或(−23,0)．
(3)因为A(−4,3)，C(4,−3)，且点P到x轴距离小于3，
所以点P在直线y=−3和y=3之间的反比例函数的图象上，
故m的取值范围是：m<−4或m>4．

【解析】【分析】(1)先求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题．
(2)先求出点C的坐标，再根据△ABC的面积为2即可解决问题．
(3)利用数形结合的思想即可解决问题．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知待定系数法及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
24.【答案】解：由题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，
∵∠CGD=∠AGB，
∴△CDG∽△ABG，
∴CDAB=DGBG，
∴20AB=8080+BD，
∵∠H=∠H，
∴△EHF∽△AHB，
∴EFAB=FHBH，
∴20AB=160160+200+BD，
∴8080+BD=160160+200+BD，
解得：BD=200，
∴20AB=8080+200，
解得：AB=70，
∴山峰的高度AB为70米，它和标杆CD的水平距离BD是200米．

【解析】【分析】根据题意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，从而可得∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，然后证明A字模型相似△CDG∽△ABG，△EHF∽△AHB，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
25.【答案】(1)解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵sinC=BHBC=0.6，BC=20，
∴BH=20×0.6=12，
∵sinA=BHAB=0.8，
∴AB=120.8=15；
(2)证明：如图，过点B作BH⊥AC于H，过点A作AD⊥BC于D，
∵sin∠ABC=ADAB，sin∠ACB=ADAC，
∴sin∠ABC：sin∠ACB=ADABADAC=ACAB，
同理可得：sin∠BAC：sin∠ACB=BCAB，
∴BC：AC：AB=sin∠BAC：sin∠ABC：sin∠ACB；
(3)如图，过点C作CE平分∠ACB，交AB于E，
∵AC=54BC，
∴设BC=4x，则AC=5x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠ACB=2∠A，
∴∠ACE=∠A=∠BCE，
∴AE=CE，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴BCAB=CEAC=BEBC，
∴4xAB=CE5x=EB4x，
∴EB=45CE，
∴BE=45AE，AB=95AE，
∴4x⋅5x=95AE⋅AE，
∴AE=103x，
∴AB=6x，
∴sinBsin∠ACB=ACAB=56．

【解析】【分析】(1)由锐角三角函数可求BH，AB的长；
(2)由锐角三角函数可求sin∠ABC：sin∠ACB=ACAB，sin∠BAC：sin∠ACB=BCAB，即可求解；
(3)通过证明△ABC∽△CBE，可得BCAB=CEAC=BEBC，可求AB的长，由(2)的结论可求解．
【点评】本题是三角形综合题，考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造直角三角形或相似三角形是解题的关键．
26.【答案】解：(1)k=4 3；
(2)k=2 5+2；
(3)k=10404．

【解析】【分析】(1)由旋转得：OA′=OA=4，∠A′OA=30°，过点A′作A′K⊥OA于K，可得A′(2 3，2)，再运用待定系数法即可求得k的值；
(2)过点A′作A′K⊥OA于K，过点B′作B′G⊥y轴于G，交A′K于E，作B′F⊥x轴于F，过点D′作D′H⊥x轴于H，设A′(a,ka)，则OK=a，A′K=ka，先证明△OA′K≌△A′B′E(AAS)，可得：B′E=A′K=ka，OK=A′E=a，EK=A′K+A′E=ka+a，得出B′(4,ka+a)，再求得D′(2,k2a+12a)，根据点A′，D′同时在图象G上，可得k=a2a−1，由OK=OF+FK，可得a=4+aa−1，即可求得答案；
(3)设正方形OABC的边长为b，则A(b,0)，B(b,b)，C(0,b)，当tanα=34时，A′K0K=tanα=34，设A′K=3e，OK=4e，可求得A′(45b，35b)，作点C关于x轴的对称点M(0,−b)，连接B′M交x轴于点P，此时，PC+PB′=PM+PB′=B′M的值最小，过点A′作A′K⊥x轴于K，过点B′作B′F⊥x轴于F，作B′E//x轴交A′K于E，则四边形B′FKE是矩形，B′F=EK，B′E=FK，OM=OC=b，由B′F//OM，可得△B′PF∽△MPO，可求得D(102,102)，即可求得答案．
x
…
−3
−2
−1
−12
12
1
2
3
…
y
…
−23
−1
−2
−4
−4
−2
−1
−23
…
黑
黑
白
白
黑
(黑，黑)
(黑，白)
(黑，白)
黑
(黑，黑)
(黑，白)
(黑，白)
白
(白，黑)
(白，黑)
(白，白)
白
(白，黑)
(白，黑)
(白，白)