2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数中，与的和为的数是
( )
A. B. C. D.
2.据统计，南通市去年一整年接待旅游人数约为人，这个数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.一组数据，，，，的中位数、众数和方差分别是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
4.小明同学现有长度为，，，的四条线段，从中任选三条，能组成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
6.在函数为常数的图像上有三点，则函数值的大小关系
( )
A. B. C. D.
7.用表示不大于 的 最大整数，则方程的解的个数为
( )
A. B. C. D.
8.某品牌电视机连续两次降价后，又再降价，或者连续两次降价，则前者的售价比后者的售价
( )
A. 多B. 不多也不少C. 多D. 多
9.如图，点是上一定点，圆上一点从圆上一定点出发，沿逆时针方向运动到点，运动时间是，线段的长度是图是随变化的关系图象，则点的运动速度是
( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.计算：的结果为 ．
12.因式分解： ．
13.函数中，自变量的取值范围为 ．
14.如图，扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是 ．
15.关于的不等式组：有个整数解，则的取值范围是 ．
16.如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，且恰为线段的中点，连结若，则的值为 ．
17.如图，抛物线与轴的一个交点在点和之间包括这两点，顶点是矩形上包括边界和内部的一个动点，则的取值范围是 ．
18.已知实数满足：求的最小值
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
计算：
先化简，再求值，其中为整数且满足不等式组．
计算：．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，、为上两点，，连接、并延长，交于点，．
求证：四边形是矩形；
若的面积为．
求四边形的面积；
四边形的面积为_____．
21.本小题分
若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解．
22.本小题分
如图，是的直径，是的一条弦，是的切线，作并与交于点，延长交于点，交于点，连接．
求证：；
若的半径，，求的长．
23.本小题分
已知以，，三点为顶点的三角形被直线分成两部分，设靠近原点一侧部分的面积为，
试写出用表示的的解析式；
求的取值范围．
24.本小题分
某水果超市以元千克的单价购进千克的苹果，为提高利润和便于销售，将苹果按大小分两种规格出售，计划大、小号苹果都为千克，大号苹果单价定为元千克，小号苹果单价定为元千克，若大号苹果比计划每增加千克，则大苹果单价减少元，小号苹果比计划每减少千克，则小苹果单价增加元．设大号苹果比计划增加千克．
大号苹果的单价为_____元千克；小号苹果的单价为____元千克；用含的代数式表示
若水果超市售完购进的千克苹果，请解决以下问题：
当为何值时，所获利润最大？
若所获利润为元，求的值．
25.本小题分
如图，抛物线的图象过点，顶点为，点在轴正半轴上，线段．
求抛物线的解析式；
抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
将直线绕点逆时针方向旋转所得直线与抛物线相交于另一点，，连接若点是线段上的动点，点是线段上的动点，问：在点和点的移动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
26.本小题分
如图，在中，，，是上一个动点，连接，以为边向右侧作等腰直角，其中．

如图，，分别是边，的中点，连接，，求证：；
在点从点向点运动过程中，求周长的最小值；
如图，连接，直接写出当为何值时，是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】找出的相反数即为所求．
【详解】解：与是互为相反数，
与的和为的数是．
故选：．
【点睛】此题考查了相反数，，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：．
故选：．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
3.【答案】
【解析】根据中位数、众数和方差的概念求解．排序后的第个数是中位数；出现次数最多的数据是众数，利用方差公式计算方差即可；
【详解】解：把这组数据从小到大排列：，，，，，最中间的数是，则这组数据的中位数是；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
平均数是，
所以方差为，
故选：．
【点睛】此题考查了中位数、众数和方差，解题的关键是掌握相应的概念．
4.【答案】
【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：在长度分别为，，，的 四条线段中，任意选取三条，有如下种情况：
，，；，，；，，；，，，
其中能组成三角形的有，，；，，；，，，这种情况，
能组成三角形的概率是．
故选：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率用到的知识点为：构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．
5.【答案】
【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
试题解析：能看到的用实线，在内部的用虚线．
故选C．
考点：简单组合体的三视图．
6.【答案】
【解析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．
【详解】解：，
函数为常数的图象在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
7.【答案】
【解析】由于，所以可把方程写成，可得不等式，求得的取值范围．再将的取值范围分为类求解即可进行选择．
【详解】解：因为，方程变形为，
，
解此不等式得：．
现将的取值范围分为类进行求解
，则，
原方程化为，
解得；
则，
原方程化为，
无解；
，则，
原方程化为，
无解；
，则，
原方程化为，
解得；
显然是原方程的解．
综合以上，所以原方程的解为，，．
故选：．
【点睛】本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：解题的关键是确定的取值范围，从而得到的值．注意分情况进行讨论．
8.【答案】
【解析】设电视机的原价为元，根据降价的方式分别计算出两种形式降价后的价格，然后把它们的差与原价进行比较．
【详解】设电视机的原价为元，
电视机连续两次降价后，又再降价后的价格为元，
电视机连续两次降价后的价格为元，
前者的售价比后者的售价．
故选：．
【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
9.【答案】
【解析】通过观察，可以发现当时，有最大值，即的直径为，半径为；再根据当时，，由勾股定理逆定理可得；进而求得点运动，走了圆周，即求出圆周的长即可．
【详解】解：当时，有最大值
的直径为，半径为
当时，，
点运动时，走了圆周，
点的运动速度是
故答案为．
【点睛】本题考查了分析函数图像、弧长公式、勾股定理逆定理等知识，掌握弧长公式和分析函数图像的方法是解答本题的关键．
10.【答案】
解：正方形的边长是，点的横坐标和点的纵坐标为，，，，的面积为，，，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值．，，，故选C．
11.【答案】
【解析】先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加法运算即可得．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】先提公因式，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13.【答案】或
【解析】根据分式、二次根式有意义求解即可．
【详解】解：根据题意，得
解得或．
故答案为：或．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】设扇形半径长度为，圆心角为，由扇形面积与弧长两者比值可以计算出扇形的半径，即可求出扇形的圆心角的度数．
【详解】设扇形半径长度为，圆心角为，
由题意得：
由可得：，
将代入可得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长以及面积公式．
15.【答案】
【解析】先将当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有个整数解，可得出的取值范围．
【详解】解：
解不等式，得
解不等式，得
不等式组有个整数解，依次为：，，，，
解得
故本题答案为：．
【点睛】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集．
16.【答案】
【解析】设点坐标为，点坐标为，根据线段中点坐标公式得到点坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，得到，
然后根据三角形面积公式得到，于是可计算出的值．
【详解】设点坐标为，点坐标为．
恰为线段的中点，点坐标为
点在反比例函数图象上，，．
，，，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的 交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
17.【答案】
【解析】试题解析：顶点是矩形上包括边界和内部的一个动点，
当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，
，解得；
当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，
，解得；
顶点可以在矩形内部，
．
考点：二次函数综合题．
18.【答案】
【解析】用分类讨论的思想，解决问题即可．
【详解】解：不妨设是，，中的最大者，即，，由题设知，
且，，
于是，是一元二次方程的两实根，
，即，
所以．
又当，时，满足题意．
故，，中最大者的最小值为．
因为，所以，，为全大于或一正二负．
若，，均大于，，，中的最大者不小于，这与矛盾．
若，，为或一正二负，
不妨设，，，则，
，
故，
当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立．
故的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目．
19.【答案】【小问详解】
解：
，
解不等式组，得，
则不等式组的整数解为，，，
又，，
符合题意的的值为，
原式
【小问详解】
解：
．

【解析】先对分式进行混合运算，再根据不等式组的解和分式有意义的条件确定的值，代入求值即可；
先将三角函数，负数指数幂，绝对值，次幂化简，再进行计算即可．
【点睛】本题主要考查了分式的化简计算及解不等式组，锐角三角函数函数的混合运算．熟练掌握分式混合运算法则和准确解出不等式组的解集，各个特殊角度的锐角三角函数值，以及负数指数幂，绝对值，次幂化简的方法是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
在平行四边形中，
，，，
，
，
在与中，
≌，
，
，
，
，
四边形是矩形；
，
∽，
，
，
，
的面积为，
的面积为，
四边形的面积为，；
四边形的面积为，
，
，
四边形的面积为，
故答案为．

【解析】根据平行四边形的性质得到，，于是得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，由矩形的判定定理即可得到结论；
根据相似三角形的性质得到，求得的面积为，于是得到四边形的面积为；
根据四边形的面积为，列方程得到，即可得到结论．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得∽是解题的关键．
21.【答案】 方程两边乘后，整理得．
当时，原方程有唯一解．
当时，方程的判别式，故总有两个不相等的实数解．而按题设原方程只有一个解，故的两个解中必有一个是原方程的增根．而原方程的增根只可能是或，但不是的解．以代入得解得，设的另一根即原方程的根为，则由韦达定理得．
综上所述可得，当时，原方程只有一个解；
当时，原方程只有一个解．

【解析】略
22.【答案】证明：为直径，是的切线，
，
，，
，
，
，
；
解：连接，为直径，
，
，，
∽，
，，
即，
解得，，
又，
．


【解析】根据切线的性质得出，由等角的余角相等得出，进而得证；
根据圆周角定理的推论得出，进而可证明∽，利用相似三角形的性质求出，由圆周角定理证明即可．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，第题证明∽是解题的关键．
23.【答案】【小问详解】
解：设直线的解析式为，
将，，代入，
得
解得
，
，
当时，，
直线经过，
直线与线段相交时，设交点为，

当时，，
直线经过，
，
，
，
，
直线与相交，设交点为，
联立方程组
解得
解得或，
，
综上；
【小问详解】
解：当时，，即；
当或时，
，
当时，；
当时，．
综上，或．

【解析】设直线的解析式为，将，，代入，解得和的值，则直线的解析式可得，再分两类情况：直线与线段相交，直线与相交，分别求得的解析式即可；
根据中得出的关于的函数解析式，分段求得的取值范围，则可得答案
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数在坐标系中围成的图形的面积问题、解一元一次不等式组、分段函数的解析式及其函数值范围等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键．
24.【答案】大号苹果的单价为：；小号苹果的单价为：．
大号苹果的销售量为：，单千克利润为：；小号苹果的销售量为：
，单千克利润为：；设总利润为，则
当时，所获利润最大；
获利润为元时，即，
解得：，舍去
所获利润为元时，的值为千克．

【解析】解决问题的关键是，设出未知数后，正确的表示出大号苹果和小号苹果的单价以及大号苹果和小号苹果的销售量，进而列出利润的函数表达式；
求最大利润，即是二次函数中最值问题；
所获利润为元，求的值是一元二次方程问题．
考点：二次函数的应用．
25.【答案】解：设抛物线的解析式为
将代入得：
解得：，
；
为直角顶点时，如图：，
设直线为，
，
，
，
把代入得：，
，
易得直线为：，
则：
解之得，恰好与点重合；
为直角顶点时：
如图，易得：直线为，
则：
则为或；
综上所述，符合题意的有三点，分别是，，
在．
如图所示，作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接，交于点，交于点，则即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，的周长等于线段的长度．
证明如下：不妨在线段上取异于点的任一点，在线段上取异于点的任一点，连接，，．
由轴对称的性质可知，的周长；
而是点，之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：，
即的周长大于的周长．
如答图所示，连接，
，关于直线对称，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
点的坐标为；
，关于轴对称，点的坐标为．
过点作轴于点，则，，
在中，由勾股定理得：．
综上所述，在点和点移动过程中，的周长存在最小值，最小值为．

【解析】设抛物线的解析式为将代入求得的值即可；
为直角顶点时，作，交抛物线与点，先求得直线的解析式，然后再求得直线的解析式，然后求得与抛物线的交点坐标即可；为直角顶点坐标时，作，先求得直线的解析式，然后将直线与抛物线的交点坐标求出即可；
存在；作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接，交于点，则即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，的周长等于线段的长度，然后过点作轴，然后依据勾股定理求得的长即可．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为是解答问题的关键，利用轴对称的性质将三角形的周长转化为线段的长是解答问题的关键．
26.【答案】证明：如图，由题意知和都是等腰直角三角形，
．
为中点，
．
．
．
在等腰直角和等腰直角中，
，．
，
；
【小问详解】
解：当点与点重合时，点的位置记为点，连接，如图，

此时，，，．
四边形是正方形．
，
，
，
，
在等腰直角和等腰直角中，
，．
．
．
点在射线上，
作点关于直线的对称点，连接交于点，
，
就是所求周长最小的．
在中，
，，
．
周长最小值为．
【小问详解】
解：分三种情况：
当与重合时，即，如图，此时；

当时，如图，此时与重合，

是的中点，
；
当时，如图，过作于，交于，连接，过作于，连接，

，，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由得：，且，
，，
，，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，当或或时，是等腰三角形．

【解析】根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
先确定周长的最小值时，的位置，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时就是所求周长最小的；证明四边形是正方形，根据，得，知点在射线上，利用勾股定理求的长，根据周长定义可得结论；
分三种情况：当与重合时，即，如图，此时；当时，如图，此时与重合，可得的长；当时，如图，作辅助线，构建等腰直角三角形和全等三角形，证明，和是等腰直角三角形，则，根据得：，且，可计算的长．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、全等与相似三角形的判定和性质、勾股定理，最短路径问题等知识点，有难度，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并注意利用分类讨论的思想解决等腰三角形的问题．