2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数中，与−4的和为0的数是
( )
A. 4B. −4C. 0D. 1
2.据统计，南通市去年一整年接待旅游人数约为96 000 000人，96 000 000这个数据用科学记数法表示为( )
A. 9.6×106B. 9.6×105C. 9.6×107D. 9.6×108
3.一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是( )
A. 3，4，0.4B. 4，0.4，4C. 4，4，0.4D. 4，3，0.4
4.小明同学现有长度为2，3，4，5的四条线段，从中任选三条，能组成三角形的概率是( )
A. 14B. 12C. 34D. 1
5.如图的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
6.在函数y=−a2−1x(a为常数)的图像上有三点−3,y1,−1,y2,2,y3，则函数值y1,y2,y3的大小关系
( )
A. y37.用[x]表示不大于x 的 最大整数，则方程x2−2x−3=0的解的个数为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.某品牌电视机连续两次降价20%后，又再降价10%，或者连续两次降价25%，则前者的售价比后者的售价
( )
A. 多2.4%B. 不多也不少C. 多5%D. 多1.35%
9.如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是xs，线段AP的长度是ycm.图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是
( )
A. 1cm/sB. 2cm/sC. π2cm/sD. 3π2cm/s
10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是
( )
A. 6 2B. 10C. 2 26D. 2 29
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.计算：mm+3−69−m2÷2m−3的结果为 ．
12.因式分解：3a3−12a= ．
13.函数y=2 x−1中，自变量x的取值范围为 ．
14.如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是 ．
15.关于x的不等式组：2x+53>x−5x+3216.如图，直线AB交双曲线y=kx于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA.若S▵OAC=72，则k的值为 ．
17.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(−2,0)和(1,0)之间(包括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是 ．
18.已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4.求a+b+c的最小值
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
计算：
(1)先化简，再求值1x−2x−1÷1x2−x，其中x为整数且满足不等式组x+1<32x+9>5．
(2)计算：tan60∘−12−1+1− 50+ 3−2．
20.(本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若△GEF的面积为2．
①求四边形BCFE的面积；
②四边形ABCD的面积为_____．
21.(本小题8.0分)
若关于x的方程2kx−1−xx2−x=kx+1x只有一个解，试求k的值与方程的解．
22.(本小题8.0分)
如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：AB=BE；
(2)若⊙O的半径R=2.5，MB=3，求AD的长．
23.(本小题8.0分)
已知以A0,2，B2,0，O0,0三点为顶点的三角形被直线y=ax−a分成两部分，设靠近原点O一侧部分的面积为S，
(1)试写出用a表示的S的解析式；
(2)求S的取值范围．
24.(本小题8.0分)
某水果超市以8元/千克的单价购进1000千克的苹果，为提高利润和便于销售，将苹果按大小分两种规格出售，计划大、小号苹果都为500千克，大号苹果单价定为16元/千克，小号苹果单价定为10元/千克，若大号苹果比计划每增加1千克，则大苹果单价减少0.03元，小号苹果比计划每减少1千克，则小苹果单价增加0.02元．设大号苹果比计划增加x千克．
(1)大号苹果的单价为_____元/千克；小号苹果的单价为____元/千克；(用含x的代数式表示)
(2)若水果超市售完购进的1000千克苹果，请解决以下问题：
①当x为何值时，所获利润最大？
②若所获利润为3385元，求x的值．
25.(本小题8.0分)
如图，抛物线的图象过点C(0,1)，顶点为Q(2,3)，点D在x轴正半轴上，线段OD=OC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，，连接QE.若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
26.(本小题8.0分)
如图1，在▵ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角▵ADE，其中∠ADE=90∘．

(1)如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH.求证：▵AGD∽▵AHE；
(2)在点D从点B向点C运动过程中，求▵ABE周长的最小值；
(3)如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，▵ABE是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】找出−4的相反数即为所求．
【详解】解：∵4与−4是互为相反数，
∴与−4的和为0的数是4．
故选：A．
【点睛】此题考查了相反数，，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：96000000=9.6×107．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3.【答案】C
【解析】根据中位数、众数和方差的概念求解．排序后的第3个数是中位数；出现次数最多的数据是众数，利用方差公式计算方差即可；
【详解】解：把这组数据从小到大排列：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；
4出现了3次，出现的次数最多，则众数是4；
平均数是(4+5+3+4+4)÷5=4，
所以方差为S2=154−42+5−42+3−42+4−42+4−42=0.4，
故选：C．
【点睛】此题考查了中位数、众数和方差，解题的关键是掌握相应的概念．
4.【答案】C
【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：在长度分别为2，3，4，5的 四条线段中，任意选取三条，有如下4种情况：
2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5，
其中能组成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5，这3种情况，
∴能组成三角形的概率是34．
故选：C．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.用到的知识点为：构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．
5.【答案】C
【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
试题解析：能看到的用实线，在内部的用虚线．
故选C．
考点：简单组合体的三视图．
6.【答案】A
【解析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【详解】解：∵−a2−1<0，
∴函数y=−a2−1x(a为常数)的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵−3<−1<0，
∴点(−3,y1)，(−1,y2)在第二象限，
∴y2>y1>0，
∵2>0，
∴点(2,y3)在第四象限，
∴y3<0，
∴y3故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
7.【答案】C
【解析】由于x≥[x]，所以可把方程x2−2[x]−3=0写成2[x]=x2−3，可得不等式2x≥x2−3，求得x的取值范围．再将x的取值范围分为5类求解即可进行选择．
【详解】解：因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2−3，
2x≥x2−3，
解此不等式得：−1≤x≤3．
现将x的取值范围分为5类进行求解
(1)−1≤x<0，则[x]=−1，
原方程化为x2−1=0，
解得x=−1；
(2)0≤x<1则[x]=0，
原方程化为x2−3=0，
无解；
(3)1≤x<2，则[x]=1，
原方程化为x2−5=0，
无解；
(4)2≤x<3，则[x]=2，
原方程化为x2−7=0，
解得x= 7；
(5)x=3显然是原方程的解．
综合以上，所以原方程的解为−1， 7，3．
故选：C．
【点睛】本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}.解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值．注意分情况进行讨论．
8.【答案】A
【解析】设电视机的原价为a元，根据降价的方式分别计算出两种形式降价后的价格，然后把它们的差与原价进行比较．
【详解】设电视机的原价为a元，
电视机连续两次降价20%后，又再降价10%后的价格为a1−20%1−20%1−10%=0.576a(元)，
电视机连续两次降价25%后的价格为a1−25%1−25%=0.5625a(元)，
∴前者的售价比后者的售价0.576a−%．
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
9.【答案】C
【解析】通过观察，可以发现当x=1时，y有最大值2，即⊙O的直径为2，半径为1；再根据当x=0时，y=AP= 2，由勾股定理逆定理可得∠AOB=90°；进而求得点P运动1s，走了14圆周，即求出14圆周的长即可．
【详解】解：∵当x=1时，y有最大值2
∴⊙O的直径为2，半径为1
∵当x=0时，y=AP= 2，
∴OA2+OB2=AP2
∴∠AOB=90°
∴点P运动1s时，走了14圆周，
∴点P的运动速度是90∘×2π360∘=π2cm/s
故答案为C．
【点睛】本题考查了分析函数图像、弧长公式、勾股定理逆定理等知识，掌握弧长公式和分析函数图像的方法是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M(6,k6)，N(k6,6)，∴BN=6−k6，BM=6−k6.∵△OMN的面积为10，∴6×6−12×6×k6−12×6×k6−12×(6−k6)2=10，∴k=24，∴M(6,4)，N(4,6).作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= BM′2+BN2= 102+22=2 26.故选C．
11.【答案】1
【解析】先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加法运算即可得．
【详解】解：mm+3−69−m2÷2m−3
=mm+3−63+m3−m⋅m−32
=mm+3+3m+3
=m+3m+3
=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．
12.【答案】3aa+2a−2
【解析】先提公因式3a，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：3a3−12a
=3aa2−4
=3aa+2a−2．
故答案为：3aa+2a−2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13.【答案】x>1或x<−1
【解析】根据分式、二次根式有意义求解即可．
【详解】解：根据题意，得x−1≥0x−1≠0,
解得x>1或x<−1．
故答案为：x>1或x<−1．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】150∘
【解析】设扇形半径长度为r，圆心角为n，由扇形面积与弧长两者比值可以计算出扇形的半径，即可求出扇形的圆心角的度数．
【详解】设扇形半径长度为r，圆心角为n，
由题意得：nπr180=20π①nπr2360=240π②,
由②÷①可得：r=24，
将r=24代入①可得：n=150°．
故答案为150°．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长以及面积公式．
15.【答案】−6【解析】先将a当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有5个整数解，可得出a的取值范围．
【详解】解：2x+53>x−5①x+32解不等式①，得x<20
解不等式②，得x>3−2a
∵不等式组有5个整数解，依次为：19，18，17，16，15
∴14≤3−2a<15
解得−6故本题答案为：−6【点睛】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集．
16.【答案】k=73
【解析】设A点坐标为(a,ka)，C点坐标为(b,0)，根据线段中点坐标公式得到B点坐标为(a+b2,k2a)，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到a+b2⋅k2a=k，得到b=3a，
然后根据三角形面积公式得到12b⋅ka=72，于是可计算出k的值．
【详解】设A点坐标为(a,ka)，C点坐标为(b,0)．
∵B恰为线段AC的中点，∴B点坐标为(a+b2,k2a).
∵B点在反比例函数图象上，∴a+b2⋅k2a=k，∴b=3a．
∵S△OAC=72，∴12b⋅ka=72，∴12⋅3a⋅ka=72，∴k=73．
故答案为：73．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的 交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．
17.【答案】−18≤a≤−225
【解析】试题解析：∵顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，
∴当顶点C与D点重合，顶点坐标为(1,3)，则抛物线解析式y=a(x−1)2+3，
∴{a−2−12+3≤0a−1−12+3≥0，解得−34≤a≤−13；
当顶点C与F点重合，顶点坐标为(3,2)，则抛物线解析式y=a(x−3)2+2，
∴{a−2−32+2≤0a−1−32+2≥0，解得−18≤a≤−225；
∵顶点可以在矩形内部，
∴−18≤a≤−225．
考点：二次函数综合题．
18.【答案】6
【解析】用分类讨论的思想，解决问题即可．
【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，
且b+c=2−a，bc=4a，
于是b，c是一元二次方程x2−2−ax+4a=0的两实根，
∴Δ=2−a2−4×4a≥0，即a2+4a−4≥0，
所以a≥4．
又当a=4，b=c=−1时，满足题意．
故a，b，c中最大者的最小值为4．
因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．
②若a，b，c为或一正二负，
不妨设a>0，b<0，c<0，则a+b+c=a−b−c=a−2−a=2a−2，
∵a≥4，
故2a−2≥6，
当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．
故a+b+c的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目．
19.【答案】【小问1详解】
解：1x−2x−1÷1x2−x
=−x−1xx−1⋅xx−1
=−x−1，
解不等式组x+1<32x+9>5，得−2则不等式组的整数解为−1，0，1，
又x≠0，x≠1，
∴符合题意的x的值为−1，
∴原式=−−1−1=0
【小问2详解】
解：tan60∘−12−1+1− 50+ 3−2
= 3−2+1+2− 3
=1．

【解析】(1)先对分式进行混合运算，再根据不等式组的解和分式有意义的条件确定x的值，代入求值即可；
(2)先将三角函数，负数指数幂，绝对值，0次幂化简，再进行计算即可．
【点睛】本题主要考查了分式的化简计算及解不等式组，锐角三角函数函数的混合运算．熟练掌握分式混合运算法则和准确解出不等式组的解集，各个特殊角度的锐角三角函数值，以及负数指数幂，绝对值，0次幂化简的方法是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
在平行四边形ABCD中，
∵AD // BC，AB=DC，AB // CD，
∴GB−GE=GC−GF，
∴BE=CF，
在△ABE与△DCF中，
AE=DF∠AEB=∠DFCBE=CF,
∴△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，
∵AB // CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)①∵EF // BC，
∴△GFE∽△GBC，
∵EF=13AD，
∴EF=13BC，
∴S▵GEFS▵GBC=(EFBC)2=19，
∵△GEF的面积为2，
∴△GBC的面积为18，
∴四边形BCFE的面积为16，；
②∵四边形BCFE的面积为16，
∴12(EF+BC)⋅AB=12×43BC⋅AB=16，
∴BC⋅AB=24，
∴四边形ABCD的面积为24，
故答案为24．

【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD // BC，AB=DC，AB // CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；
(2)①根据相似三角形的性质得到S▵GEFS▵GBC=(EFBC)2=19，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；
②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BC⋅AB=24，即可得到结论．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE∽△GBC是解题的关键．
21.【答案】 方程两边乘x(x−1)后，整理得kx2−(3k−2)x−1=0．(*)
当k=0时，原方程有唯一解x=12．
当k≠0时，方程(*)的判别式▵=(3k−2)2+4k=5k2+4(k−1)2>0，故(*)总有两个不相等的实数解．而按题设原方程只有一个解，故(*)的两个解中必有一个是原方程的增根．而原方程的增根只可能是x=0或x=1，但x=0不是(*)的解．以x=1代入(*)得k−(3k−2)−1=0解得k=12，设(*)的另一根(即原方程的根)为x1，则由韦达定理得x1⋅1=−1k,∴x1=−1k=−2．
综上所述可得，当k=0时，原方程只有一个解x=12；
当k=12时，原方程只有一个解x=−2．

【解析】略
22.【答案】(1)证明：∵AC为直径，AP是⊙O的切线，
∴∠MAE=90°，
∴∠MAB+∠BAE=90°，∠AMB+∠AEB=90°，
∵BM=BA，
∴∠BAM=∠BMA，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE；
(2)解：连接BC，∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAE=∠BEA，∠MAE=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△EAM，
∴ACEM=BCAM，∠AMB=∠C，
即56= 52−32AM，
解得，AM=245，
又∵∠C=∠D，
∴∠AMB=∠D
∴AD=AM=245．


【解析】(1)根据切线的性质得出∠MAE=90°，由等角的余角相等得出∠BAE=∠AEB，进而得证；
(2)根据圆周角定理的推论得出∠ABC=90°，进而可证明△ABC∽△EAM，利用相似三角形的性质求出AM，由圆周角定理证明∠AMB=∠D即可．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，第(2)题证明△ABC∽△EAM是解题的关键．
23.【答案】【小问1详解】
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A0,2，B2,0，代入，
得b=22k+b=0,
解得k=−1b=2,
∴y=−x+2，
∵y=ax−a=ax−1，
∴当x=1时，y=0，
∴直线y=ax−a经过1,0，
①直线l与线段OA相交时，设交点为E，

当x=0时，y=−a，
∴直线y=ax−a经过E0,−a，
∴OE=−a，
∵0∴0<−a≤2，
∴−2≤a<0，
∴S=12×1×−a=−a2−2≤a<0
②直线l与AB相交，设交点为D，
联立方程组y=ax−ay=−x+2,
解得x=a+2a+1y=aa+1,
∵0≤a+2a+1<20解得a>0或a<−2，
∴S=12×2×2−12×1×aa+1=4+3a2+2aa>0或a<−2，
综上S=−a2−2≤a<04+3a2+2aa>0或a<−2；
【小问2详解】
解：当−2≤a<0时，0<−a2≤1，即0当a>0或a<−2时，
S=4+3a2+2a=32+12+2a，
当a>0时，32当a<−2时，1综上，0
【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将A0,2，B2,0，代入，解得k和b的值，则直线AB的解析式可得，再分两类情况：①直线1与线段OA相交，②直线1与AB相交，分别求得S的解析式即可；
(2)根据(1)中得出的S关于a的函数解析式，分段求得S的取值范围，则可得答案
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数在坐标系中围成的图形的面积问题、解一元一次不等式组、分段函数的解析式及其函数值范围等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键．
24.【答案】(1)大号苹果的单价为：16−0.03x；小号苹果的单价为：10+0.02x．
(2)①大号苹果的销售量为：500+x，单千克利润为：16−0.03x−8；小号苹果的销售量为：500−
x，单千克利润为：10+0.02x−8；设总利润为W，则
W=(500+x)(16−0.03x−8)+(500−x)(10+0.02x−8)
=−0.05x2+x+5000
=−0.05(x−10)2+5005
∴当x=10时，所获利润最大；
②获利润为3385元时，即−0.05(x−10)2+5005=3385，
解得：x1=190，x2=−170(舍去)
∴所获利润为3385元时，x的值为190千克．

【解析】1)解决问题的关键是，设出未知数后，正确的表示出大号苹果和小号苹果的单价以及大号苹果和小号苹果的销售量，进而列出利润的函数表达式；
(2)①求最大利润，即是二次函数中最值问题；
②所获利润为3385元，求x的值是一元二次方程问题．
考点：二次函数的应用．
25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax−22+3
将C(0,1)代入得：1=a0−22+3
解得：a=−12，
∴y=−12x−22+3=−12x2+2x+1；
(2)①C为直角顶点时，如图①：CM⊥CD，
设直线CD为y=kx+1，
∵OD=OC，
∴OD=1，
∴D(1,0)，
把D(1,0)代入y=kx+1得：k=−1，
∴y=−x+1
∵CM⊥CD，
∴易得直线CM为：y=x+1，
则：y=x+1y=−12x2+2x+1,
解之得M(2,3)，恰好与Q点重合；
②D为直角顶点时：
如图②，易得：直线ＤＭ为y=x−1，
则：y=x−1y=−12x2+2x+1,
则Ｍ为( 5+1, 5)或(1− 5,− 5)；
综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2,3 )，( 5+1, 5)，(1− 5,− 5).
(3)在．
如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
(证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′>C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．)
如答图④所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为(4,5)；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为(0,−1)．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= C′N2+C′′N2= 42+62=2 13．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2 13．

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+3.将C(0,1)代入求得a的值即可；
(2)①C为直角顶点时，作CM⊥CD，CM交抛物线与点M，先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CM的解析式，然后求得CM与抛物线的交点坐标即可；②D为直角顶点坐标时，作DM⊥CD，先求得直线CM的解析式，然后将直线CM与抛物线的交点坐标求出即可；
(3)存在；作点C关于直线QE的对称点C/，作点C关于x轴的对称点C//，连接C/C//，交QE于点P，则△PCE即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE的周长等于线段C/C//的长度，然后过点C/作C/N⊥y轴，然后依据勾股定理求得C/C//的长即可．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为−1是解答问题(2)的关键，利用轴对称的性质将三角形的周长转化为线段C/C//的长是解答问题(3)的关键．
26.【答案】证明：如图2，由题意知▵ABC和▵ADE都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠DAE=45∘．
∵H为BC中点，
∴AH⊥BC．
∴∠BAH=45∘=∠DAE．
∴∠GAD=∠HAE．
在等腰直角▵BAH和等腰直角▵DAE中，
AH= 22AB= 2AG，AE= 2AD．
∴AHAG=AEAD，
∴▵AGD∽▵AHE；
【小问2详解】
解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接CM，如图6，

此时，∠ABM=∠BAC=90∘，∠AMB=∠BAM=45∘，BM=AB=AC．
∴四边形ABMC是正方形．
∴∠BMC=90∘，
∴∠AMC=∠BMC−∠AMB=45∘，
∵∠BAM=∠DAE=45∘，
∴∠BAD=∠MAE，
在等腰直角▵BAM和等腰直角▵DAE中，
AM= 2AB，AE= 2AD．
∴AMAB=AEAD．
∴▵ABD∽▵AME．
∴∠AME=∠ABD=45∘
∴点E在射线MC上，
作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，
∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，
∴△ABE′就是所求周长最小的▵ABE．
在Rt▵ABN中，
∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，
∴AN= AB2+BN2=4 5．
∴▵ABE周长最小值为AB+AN=4+4 5．
【小问3详解】
解：分三种情况：
①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；

②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，

∴D是BC的中点，
∴BD=12BC=2 2；
③当AB=BE时，如图5，过E作EH⊥AB于H，交BC于M，连接AM，过E作EG⊥BC于G，连接DH，

∵AE=BE，EH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AM=BM，
∵∠ABC=45∘，
∴AM⊥BC，▵BMH是等腰直角三角形，
∴∠DAM=90∘−∠ADM，
∵∠ADE=90∘，
∴∠GDE=90∘−∠ADM，
∴∠DAM=∠GDE，
又AD=DE，
∴▵ADM≌▵DEG，
∴DM=EG，
∵∠EMG=∠BMH=45∘，
∴▵EMG是等腰直角三角形，
∴ME= 2MG，
由(1)得：▵AHD∽▵AME，且MEDH= 2，
∴∠AHD=∠AME=135∘，ME= 2DH，
∴∠BHD=45∘，MG=DH，
∴▵BDH是等腰直角三角形，
∴BD=DH=EG=DM= 2；
综上所述，当BD=0或 2或2 2时，▵ABE是等腰三角形．

【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
(2)先确定▵ABE周长的最小值时，E的位置，作点B关于直线MC的对称点N，连接AN交MC于点E′，此时▵ABE′就是所求周长最小的▵ABE；证明四边形ABMC是正方形，根据▵ABD∽▵AME，得∠AME=∠ABD=45∘，知点E在射线MC上，利用勾股定理求AN的长，根据周长定义可得结论；
(3)分三种情况：①当B与D重合时，即BD=0，如图3，此时AB=BE；②当AB=AE时，如图4，此时E与C重合，可得BD的长；③当AB=BE时，如图5，作辅助线，构建等腰直角三角形和全等三角形，证明▵ADM≌▵DEG，和▵EMG是等腰直角三角形，则ME= 2MG，根据(1)得：▵AHD∽▵AME，且MEDH= 2，可计算BD的长．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、全等与相似三角形的判定和性质、勾股定理，最短路径问题等知识点，有难度，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并注意利用分类讨论的思想解决等腰三角形的问题．