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适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题1函数与导数第2讲基本初等函数函数的应用课件
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这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题1函数与导数第2讲基本初等函数函数的应用课件，共43页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识•精要梳理，关键能力•学案突破，根据a01推知，对点练3，对点练4等内容，欢迎下载使用。
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则lgab>0⇔(a-1)(b-1)>0,lgab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1.指数运算与对数运算的常用结论
2.指数函数与对数函数的图象和性质
(1)函数y=k·amx+n+p(a>0,且a≠1)的图象经过的定点为 ,
根据lga1=0推知
函数y=k·lga(mx+ n)+p(a>0,且a≠1)的图象所经过的定点为
(2)函数y=lga|x|(a>0,且a≠1)是偶函数,图象关于y轴对称,当a>1时,在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;当00,且a≠1)是非奇非偶函数,图象在x轴上方及x轴上,在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
底数01时结论相同
3.函数的零点问题(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
4.应用函数模型解决实际问题的一般步骤
[例1-1]已知2a=5,lg83=b,则4a-3b=( )
解析 由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,
规律总结指数、对数运算的常用方法与技巧(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.(2)逆用对数的运算性质,将同底数对数的和、差、倍化简.(3)当对数的底数不同但真数相同时,可以取倒数,将其化为同底数的对数再进行运算.(4)运用换底公式,转化对数的底数,再进行化简.
对点练1(2023·广西桂林模拟)净水机常采用分级过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L,则PP棉滤芯层数最少为( )(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)A.5B.6C.7D.8
[例2-1]当0
则f(-x)=lg2(2-x+2x)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此A选项正确,B选项错误;令g(x)=2x+2-x,则g'(x)=2xln 2-2-xln 2=ln 2(2x-2-x),当x≤0时,g'(x)≤0且不恒为零,所以g(x)在区间(-∞,0]内单调递减,于是f(x)=lg2g(x)在区间(-∞,0]内单调递减.故C选项错误;
技巧点拨基本初等函数的图象与性质应用技巧(1)指数函数与对数函数的图象分别经过定点(0,1)和(1,0),在进行图象识别与判断中注意对图象所经过定点的分析.(2)与指数函数和对数函数有关的函数的奇偶性,在利用定义判断时,注意对f(-x)表达式的变形与转化,以便得出f(x)与f(-x)的关系.(3)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)在R上为增函数C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)D.函数f(x)只有一个零点
解析 对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;对于选项B,当x<1时,函数f(x)单调递增,当x≥1时,函数f(x)单调递增,但41-3=1>ln 1=0,所以函数在R上不单调,故B错误;对于选项C,当x<1时,-3命题角度1 确定函数零点的个数或范围
[例3-1]函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
[例3-2] (2023·宁夏银川模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lg x,则函数g(x)的零点个数为( )A.4B.5C.6D.7
解析 由f(1+x)=f(1-x)可得,f(x)的图象关于直线x=1对称.因为f(1+x)=f(1-x),f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函数f(x)以4为周期,在同一直角坐标系中作出f(x),y=lg x的图象如下. g(x)=f(x)-lg x的零点个数即方程f(x)=lg x的根的个数,也即f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数.因为lg 9<1,lg 10=1,所以数形结合可得f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数为5.
方法点拨函数零点个数的判断方法(1)直接法求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数f(x)就有几个零点.(2)零点存在性定理:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则结合函数的性质(如单调性、奇偶性)即可确定函数f(x)零点的个数.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.
命题角度2 根据函数零点求参数的取值范围
解析 由函数y=f(x)-a有两个零点,可得y=f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点.
方法点睛已知函数有零点(方程有根) ,求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法.直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法.先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解.(3)数形结合法.先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
[例4]长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)÷(水库总蓄水量)×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:a.调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];b.调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;c.调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.
方法总结函数模型应用问题的两个关键点(1) 正确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行抽象概括,将实际问题转化为数学问题.(2)合理建立函数模型,选取恰当的变量,寻找变量之间的内在联系,用恰当的代数式表示变量之间的关系,然后利用函数知识解决数学问题,从而解决实际问题.
对点练5中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种乌龙茶用100 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究该种乌龙茶在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的如下数据.
设茶水温度从100 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,现给出以下三种函数模型:①y=kx+b(k<0,x≥0);②y=kax+b(k>0,01,k>0,x≥0).上述三种函数模型中最符合实际的函数模型是 (填序号),函数模型的解析式为 .
y=80×0.9x+20
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则lgab>0⇔(a-1)(b-1)>0,lgab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1.指数运算与对数运算的常用结论
2.指数函数与对数函数的图象和性质
(1)函数y=k·amx+n+p(a>0,且a≠1)的图象经过的定点为 ,
根据lga1=0推知
函数y=k·lga(mx+ n)+p(a>0,且a≠1)的图象所经过的定点为
(2)函数y=lga|x|(a>0,且a≠1)是偶函数,图象关于y轴对称,当a>1时,在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;当0
底数0
3.函数的零点问题(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
4.应用函数模型解决实际问题的一般步骤
[例1-1]已知2a=5,lg83=b,则4a-3b=( )
解析 由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,
规律总结指数、对数运算的常用方法与技巧(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.(2)逆用对数的运算性质,将同底数对数的和、差、倍化简.(3)当对数的底数不同但真数相同时,可以取倒数,将其化为同底数的对数再进行运算.(4)运用换底公式,转化对数的底数,再进行化简.
对点练1(2023·广西桂林模拟)净水机常采用分级过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L,则PP棉滤芯层数最少为( )(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)A.5B.6C.7D.8
[例2-1]当0
则f(-x)=lg2(2-x+2x)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此A选项正确,B选项错误;令g(x)=2x+2-x,则g'(x)=2xln 2-2-xln 2=ln 2(2x-2-x),当x≤0时,g'(x)≤0且不恒为零,所以g(x)在区间(-∞,0]内单调递减,于是f(x)=lg2g(x)在区间(-∞,0]内单调递减.故C选项错误;
技巧点拨基本初等函数的图象与性质应用技巧(1)指数函数与对数函数的图象分别经过定点(0,1)和(1,0),在进行图象识别与判断中注意对图象所经过定点的分析.(2)与指数函数和对数函数有关的函数的奇偶性,在利用定义判断时,注意对f(-x)表达式的变形与转化,以便得出f(x)与f(-x)的关系.(3)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)在R上为增函数C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)D.函数f(x)只有一个零点
解析 对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;对于选项B,当x<1时,函数f(x)单调递增,当x≥1时,函数f(x)单调递增,但41-3=1>ln 1=0,所以函数在R上不单调,故B错误;对于选项C,当x<1时,-3
[例3-1]函数f(x)=ex+x-2的零点所在区间为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
[例3-2] (2023·宁夏银川模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=x,f(1+x)=f(1-x),令g(x)=f(x)-lg x,则函数g(x)的零点个数为( )A.4B.5C.6D.7
解析 由f(1+x)=f(1-x)可得,f(x)的图象关于直线x=1对称.因为f(1+x)=f(1-x),f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函数f(x)以4为周期,在同一直角坐标系中作出f(x),y=lg x的图象如下. g(x)=f(x)-lg x的零点个数即方程f(x)=lg x的根的个数,也即f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数.因为lg 9<1,lg 10=1,所以数形结合可得f(x)的图象与y=lg x图象的交点个数为5.
方法点拨函数零点个数的判断方法(1)直接法求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数f(x)就有几个零点.(2)零点存在性定理:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则结合函数的性质(如单调性、奇偶性)即可确定函数f(x)零点的个数.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.
命题角度2 根据函数零点求参数的取值范围
解析 由函数y=f(x)-a有两个零点,可得y=f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点.
方法点睛已知函数有零点(方程有根) ,求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法.直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法.先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解.(3)数形结合法.先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
[例4]长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)÷(水库总蓄水量)×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:a.调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];b.调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;c.调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.
方法总结函数模型应用问题的两个关键点(1) 正确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行抽象概括,将实际问题转化为数学问题.(2)合理建立函数模型,选取恰当的变量,寻找变量之间的内在联系,用恰当的代数式表示变量之间的关系,然后利用函数知识解决数学问题,从而解决实际问题.
对点练5中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种乌龙茶用100 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究该种乌龙茶在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的如下数据.
设茶水温度从100 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,现给出以下三种函数模型:①y=kx+b(k<0,x≥0);②y=kax+b(k>0,0
y=80×0.9x+20
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