第1章集合与常用逻辑用语 第2节常用逻辑用语 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确对全称量词命题与存在量词命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
微点拨充分条件与必要条件的两个特征:(1)对称性:“p⇒q”⇔“q⇐p”.(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
微思考“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”含义相同吗?
提示 不相同.“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但B A;“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但A B.
2.全称量词命题与存在量词命题(1)全称量词与存在量词①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做　　　　　　,并用符号“∀”表示. ②短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做　　　　　　,并用符号“∃”表示. 
(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定
有些命题中省略了量词,在进行否定时先改写为完整形式,再进行否定
∃x∈M,￢p(x)
∀x∈M,￢p(x)
微点拨1.含有一个量词的命题与它的否定真假性相反.2.在对“含有一个量词的命题”进行否定时,首先要改变量词符号,其次要将结论否定,二者缺一不可.
常用结论p是q的充分不必要条件⇔￢p是￢q的必要不充分条件;p是q的必要不充分条件⇔￢p是￢q的充分不必要条件;p是q的充要条件⇔￢p是￢q的充要条件.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.如果p的充分条件是q,那么q的必要条件是p.(　　)2.命题“∃α∈R,使sin 2α=2sin α”是假命题.(　　)3.若p是q的充分不必要条件,且p是r的必要不充分条件,则r是q的充分条件.(　　)4.对全称量词命题进行否定时,全称量词可以不改为存在量词.(　　)
题组二回源教材5.(人教B版必修第一册1.2.2节练习B第3题)已知区间M=[a,a+1],且“∀x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围.
解 依题意应有a+1>0,所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞).
6.(人教B版必修第一册习题1-2B第5题)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解 依题意集合A是集合B的真子集,所以a<3,即实数a的取值范围为(-∞,3).
7.(人教A版必修第一册35页复习参考题7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根;(2)每个正方形都是平行四边形;
(4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.
解 (1)∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0,没有实根.假命题.(2)有些正方形不是平行四边形.假命题.
(4)所有的四边形ABCD,其内角和等于360°.真命题.
题组三连线高考8.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若x为整数,则2x+1一定为整数;但2x+1为整数,x不一定为整数,例如当x= 时,所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件,选A.
9.(2021·全国乙,理3改编)已知命题p:∃x∈R,sin x<1,命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列说法正确的是(　　)A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假
解析 易知命题p是真命题,又当x∈R时,|x|≥0,所以e|x|≥1,即命题q也是真命题,故选A.
考点一充分条件与必要条件的判断与探求(多考向探究预测)
考向1充分条件与必要条件的判断例1(1)(2024·广州调研测试)已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x-1|<2,则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由已知得p:-2(2)(2024·河北石家庄模拟)已知复数z1,z2,“z2>z1”是“ >1”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考向2充分条件与必要条件的探求例2(1)(2024·重庆万州模拟)下列四个条件中,是“x解析 若x2y,此时x0,此时x(2)(2024·四川绵阳模拟)命题“∀x∈[-2,3],x2-2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(　　)A.a≥1B.a≥ C.a≥5D.a≤4
[对点训练1](1)(多选题)(2024·湖南长沙模拟)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是(　　)
(2)(2024·辽宁沈阳检测)设x∈R,则lg x>ln x的充要条件是(　　)A.x>0B.x>1C.x>10D.0考点二充分条件与必要条件的应用
例3(2024·山东青岛检测)已知集合A是函数 的定义域,非空集合B={x|1-m≤x≤1+2m},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数m的取值集合是　　　　. 
解析 依题意,A={x|1≤x≤5},由于集合B={x|1-m≤x≤1+2m}非空,所以1-m≤1+2m,即m≥0.因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B是A的真子集,则有m≥0且 (两个等号不同时取到),解得m=0,故实数m的取值范围是{0}.
变式探究1(变条件)本例中,其他条件不变,若改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则实数m的取值范围为　　　　. 
解析 因为x∈A是x∈B的充分而不必要条件,所以A是B的真子集,所以m≥0,且 (两个等号不同时取到),解得m≥2,即实数m的取值范围是[2,+∞).
变式探究2(变条件)本例中,其他条件不变,试探究是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件?
解 不存在.若x∈A是x∈B的充要条件,则有m≥0且A=B,即 此方程组无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件.
[对点训练2](1)(2024·广东惠州模拟)设p: .若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(　　)A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]
(2)(2024·山东潍坊模拟)若“x=α”是“sin x+cs x>1”的一个充分条件,则α的一个可能值是　 . 
考点三全称量词与存在量词(多考向探究预测)
考向1含有一个量词的命题的否定
解析 原命题为全称量词命题,其否定为“∃α∈(0, ),sin2α+tan 2α≤2”,故选C.
(2)(2024·山西太原模拟)命题“存在等差数列{an},满足 = a3a7”的否定是 　　　　 　　　　. 
解析 原命题是一个存在量词命题,所以其否定应为全称量词命题,即“对于任意一个等差数列{an},都不满足 =a3a7”.
考向2全称量词命题与存在量词命题的真假判断例5(多选题)(2024·河北沧州检测)下列命题是真命题的是(　 　)A.∀x∈R,sin 2x=2sin xB.∃x∈{x|x=7k,k∈Z},使得x+1为质数C.∀x∈R,2x+21-x≥D.存在奇函数f(x),使得f(-2)=f(2)
规律方法全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
[对点训练3](多选题)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)下列命题中,是真命题的有(　　)A.∀x∈R,都有x2-3x>x-4B.∃α,β∈R,使得sin(α+β)=sin α+sin β
D.存在复数z,使得z2<0
解析 因为x2-3x-(x-4)=(x-2)2≥0,即x2-3x≥x-4,所以当x=2时命题不成立,故A选项错误;当α=0,β=π时,sin(α+β)=sin α+sin β成立,故B选项正确;当a<0考向3根据命题真假求参数的取值范围例6(2024·陕西咸阳模拟)若命题“∃x∈[1,4],使得λx2+x-2>0”的否定是真命题,则实数λ的取值范围是(　　)A.(-∞,1]
解析 若p真,则不等式x2-a≥0在[1,2]上恒成立,即a≤x2,因此得a≤1;若q真,则方程x2+2ax+2-a=0有实数根,所以Δ=4a2-8+4a≥0,解得a≤-2或a≥1.又因为p和q都是真命题,所以a≤-2或a=1,故选C.