第1章 集合与常用逻辑用语 第3节 全称量词与存在量词 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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全称量词命题与存在量词命题(1)全称量词与存在量词①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“∀”表示. ②短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“∃”表示. 
(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定
有些命题中省略了量词,在进行否定时先改写为完整形式,再进行否定
微点拨1.命题与它的否定真假性相反.2.在对含有一个量词的命题进行否定时,首先要改变量词符号,其次要将结论否定,二者缺一不可.
∃x∈M,⌐p(x)
∀x∈M, ⌐p(x)
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.“三角形的内角和等于180°”是全称量词命题.(　　)2.命题“∃α∈R,使sin 2α=2sin α”是假命题.(　　)3.命题“有些函数是偶函数”的否定是“有些函数不是偶函数”.(　　)4.对全称量词命题进行否定时,全称量词应改为存在量词.(　　)
题组二 回源教材5.(人教B版必修第一册1.2.2练习B第3题)已知区间M=[a,a+1],且“∀x∈M,x+1>0”是真命题,则实数a的取值范围是__________. 
解析 依题意有a+1>0,解得a>-1.
6.(人教A版必修第一册35页复习参考题7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假:(1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根;
(2)每个正方形都是平行四边形;
(4)存在一个四边形,其内角和不等于360°.
∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根,假命题.
有些正方形不是平行四边形,假命题.
所有四边形的内角和都等于360°,真命题.
题组三 连线高考7.(2021·全国乙,3改编)已知命题p:∃x∈R,sin x<1,命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列说法正确的是(　　)A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假
解析 易知命题p是真命题,又当x∈R时,|x|≥0,所以e|x|≥1,即命题q也是真命题,故选A.
考点一 含有一个量词的命题的否定
(2)(2024·辽宁大连模拟)命题p:“∃m>1,m2-8<2m”的否定是(　　)A.∃m>1,m2-8≥2mB.∀m≤1,m2-8≥2mC.∀m>1,m2-8≥2mD.∃m≤1,m2-8<2m
解析 命题p是一个存在量词命题,其否定应为全称量词命题,所以命题p的否定是“∀m>1,m2-8≥2m”,故选C.
规律方法全称量词命题与存在量词命题否定的方法(1)改写量词:全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词;(2)否定结论:将原命题的结论部分否定.
考点二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
规律方法全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
变式探究1本例中,若将命题p中的“∃x∈(2,4)”改为“∀x∈(2,4)”,其他条件不变,再求实数a的取值范围是__________. 
规律方法根据命题真假求参数取值范围的策略(1)善于转化:全称量词命题为真可转化为恒成立问题;存在量词命题为真可转化为存在性问题;命题为真可转化为其否定为假;命题为假可转化为其否定为真.(2)合理运算:根据题意建立方程或不等式(组),求解即得参数的取值范围.
[对点训练2](1)(2024·宁夏石嘴山模拟)已知命题“∀x∈[1,2],2x+x-a>0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,6)B.[6,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3)
解析 由于命题“∀x∈[1,2],2x+x-a>0”为假命题,所以命题“∃x∈[1,2],2x+x-a≤0”为真命题,故在[1,2]上,a≥(2x+x)min即可,由于函数y=2x+x在[1,2]上单调递增,故当x=1时,ymin=3,因此a≥3,故选C.