适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第二节常用逻辑用语课件北师大版

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1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
微点拨 1.注意:“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”不同.2.充分条件与必要条件的两个特征:(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
2.全称量词命题与存在量词命题(1)全称量词与存在量词①在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作　全称量词　,用符号“∀”表示. ②在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作　存在量词　,用符号“∃”表示. 
(2)全称量词命题与存在量词命题及其否定有些命题中省略了量词,在进行否定时先改写为完整形式,再进行否定　　
微点拨 含有一个量词的命题与它的否定真假性相反.常用结论若p,q中所涉及的问题与变量有关,记p,q中相应变量的取值集合分别为A,B,那么有以下结论:
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　　)2.“α≠β”是“sin α≠sin β”的充要条件.(　　)3.写存在量词命题的否定时,存在量词应变为全称量词.(　　)4.若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则r是p的必要不充分条件.(　　)
题组二　双基自测5. 已知p:a∈P∩Q,q:a∈P,则p是q的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由a∈P∩Q得a∈P且a∈Q,所以p是q的充分条件;当a∈P时,a∈Q不一定成立,所以p不是q的必要条件.故p是q的充分不必要条件.
6. 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:∀x∈R,x2≥-1;(2)q:∀x∈{1,2,3,4,5}, 题组(1)(2022·浙江,4)设x∈R,则“sin x=1”是“cs x=0”的(　　)A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2022·河北秦皇岛三模)已知函数f(x)=|lg2(x+1)|-1,则“x>3”是“f(x)>1”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 (1)A　(2)A
考向1充分条件、必要条件的探究例题(1)(2022·广东梅州二模)下列四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是(　　)A.a>b+2 C.a2>b2D.2a>2b(2)(多选)(2023·河北衡水高三检测)若p: ≤1,则p成立的一个充分不必要条件是(　　)A.-1≤x≤2B.-2≤x≤-1C.2答案 (1)A　(2)CD
规律方法 对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.
对点训练若x∈R,则使“x2<2x”成立的一个必要不充分条件为(　　)
考向2充分条件、必要条件的应用例题已知集合P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　. 答案 {m|0≤m≤3}解析 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,故实数m的取值范围是{m|0≤m≤3}.
引申探究1(变条件)将本例条件中“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若x∈P是x∈S的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解 ∵x∈P是x∈S的充分不必要条件,∴P⫋S.故实数m的取值范围是[9,+∞).
引申探究2(变结论)本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.解 不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.理由如下,由例题知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
规律方法 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的关系:
(3)根据集合M与N的关系建立关于参数的方程(组)或不等式(组);(4)解方程(组)或不等式(组),求出参数的取值(取值范围).
考向1含有一个量词的命题的否定题组(1)命题p:有的等差数列是等比数列,则(　　)A.¬p:有的等差数列不是等比数列B.¬p:有的等比数列是等差数列C.¬p:所有的等差数列都是等比数列D.¬p:所有的等差数列都不是等比数列(2)(2023·福建厦门一中模拟)设命题p:∀x>0,x2>0,则¬p为(　　)A.∃x>0,x2≤0B.∀x≤0,x2>0 C.∀x>0,x2≤0D.∃x≤0,x2≤0(3)(2023·湖南长沙高三检测)已知命题p:∃x∈R,x=-1或x=2,则(　　)A.¬p:∀x∉R,x≠-1或x≠2B.¬p:∀x∈R,x≠-1且x≠2C.¬p:∀x∈R,x=-1且x=2D.¬p:∃x∉R,x=-1或x=2
答案 (1)D　(2)A　(3)B解析 (1)因为命题p是存在量词命题,存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”.(2)命题p:∀x>0,x2>0的否定¬p:“∃x>0,x2≤0”.(3)注意“x=-1或x=2”的否定是“x≠-1且x≠2”,所以命题p的否定是“∀x∈R, x≠-1且x≠2”.
规律方法 含有一个量词的命题的否定对一个全称量词命题或存在量词命题进行否定时,要把命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定,即“改变量词,否定结论”.
考向2全称量词命题与存在量词命题的真假判断例题(2022·黑龙江齐齐哈尔三模)已知0bx,②∀x∈(0,1),lgax>lgbx,③∃x∈(0,1),xa>xb,④∃x∈(0,b),ax>lgax.其中真命题是(　　)A.①③B.②④C.①②D.③④
lgax>lgbx,②正确;对于③,函数y=mx(0lgab>lgaa=1,即ax规律方法 全称量词命题与存在量词命题的真假判断(1)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x∈M,使得p(x)不成立即可.(2)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x,使得p(x)成立即可;否则这一命题就是假命题.
对点训练(2023·江西上饶检测)下列命题中的假命题为(　　)A.∀x∈R,ex>0B.∃x∈N*,sin =1C.∃x∈R,ln x<1D.∀x∈N,x2>0
考向3根据命题的真假求参数的值(范围)例题(2023·福建莆田模拟)若命题“∃x∈(-1,3),x2-2x-a≤0”为真命题,则实数a可取的最小整数值是(　　)A.-1B.0C.1D.3答案 A解析 由题意,∃x∈(-1,3),a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,因为函数h(x)=x2-2x在(-1,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,所以h(x)min=h(1)=1-2=-1,所以a≥-1.所以实数a可取的最小整数值是-1.
规律方法 根据命题的真假求参数的值(范围)的思路与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题,本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时,可以直接求解,也可以利用等价命题将条件合理转化,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.
对点训练(2022·山东聊城三模)命题“∃x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　　.