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湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 27
3. 若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 6
4. 如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A. 3尺B. 尺C. 尺D. 4尺
7. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列为真命题的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直四边形是正方形
D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
9. 如图，则化简 的结果为（ ）
A. B. 1C. D.
10. 如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11 分解因式：________．
12. 式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______________．
13. 直角三角形斜边上的中线和高分别为6和5，则这个直角三角形的面积为________．
14. 如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为________．
15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．
16. 如图，矩形中，，E是边上的一定点，P是边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是的中点，记的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 __________ ．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17. 计算：．
18. 先化简：，再从，，0，1中选择一个适合的数作为x代入求值．
19. 某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．
（1）判断是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
20. 一个矩形的长为，宽为．
（1）该矩形的面积＝______，周长＝______；
（2）求值．
21. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
22. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
23. 如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积．
24. 如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式，，，故M为N的“差整分式”，“差整值”．
（1）以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）；
①，， ②，， ③，；
（2）已知分式，，C为D“差整分式”，且“差整值”，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
（3）已知分式，（其中m为常数），是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由．
25. 已知在平行四边形中，点F在边上，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 27
3. 若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 6
4. 如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A. 3尺B. 尺C. 尺D. 4尺
7. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列为真命题的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直四边形是正方形
D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
9. 如图，则化简 的结果为（ ）
A. B. 1C. D.
10. 如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11 分解因式：________．
12. 式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______________．
13. 直角三角形斜边上的中线和高分别为6和5，则这个直角三角形的面积为________．
14. 如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为________．
15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．
16. 如图，矩形中，，E是边上的一定点，P是边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是的中点，记的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 __________ ．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17. 计算：．
18. 先化简：，再从，，0，1中选择一个适合的数作为x代入求值．
19. 某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．
（1）判断是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
20. 一个矩形的长为，宽为．
（1）该矩形的面积＝______，周长＝______；
（2）求值．
21. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
22. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
23. 如图，在四边形中，，点E在的延长线上，，连接，交边于点F，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形；
（3）在（2）的条件下，若，，求菱形的面积．
24. 如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式，，，故M为N的“差整分式”，“差整值”．
（1）以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）；
①，， ②，， ③，；
（2）已知分式，，C为D“差整分式”，且“差整值”，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
（3）已知分式，（其中m为常数），是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由．
25. 已知在平行四边形中，点F在边上，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长．
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