初中冀教版21.1 一次函数优质课课件ppt
展开函数可以用来刻画数景之间的关系,一次函数是一种重要的函数. 现在,我们来探究一次函数.
在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中,小刚家到学校的路程为3.5 km,小刚骑车的速度为0.2 km/min.设小刚距学校的路程为s km,离开家的时间为t min.
一起探究(1)写出s 与t 之间的函数关系式,并指出其中的常量与变量.(2)写出t 的取值范围.(3)对比正比例函数,它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点?
一般地,解决行程类的问题时,常常借助如下图示来分析.分析上图,容易看出,s 与t 的函数关系式为s=3.5-0.2t.其中, 3.5,0.2是常量,s 与t 是变量.如果将t 作为自变量,那么s 是t 的函数.因为3.5-0.2t ≥0,所以成t ≤17.5.所以t 的取值范围为0 ≤ t ≤ 17.5.
1. 某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴,每月1.60元/平方米;有汽车的房主再交车库使用费,每月80元.设有车房主的住房面积为x m2, 每月应缴物业管理费与车库使用费的总和为y 元,则用x 表示y 的函数表达式为______________.2. 向一个已装有10 dm3水的容器中再注水,注水速度为2 dm3/min.容器内的水量y (dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为______________.
3. 一种计算成年人标准体重G (kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,减常数105,所得差是G 的值.用h 表示G 的函数表达式为______________. 从上面问题中,我们分别得到了函数表达式: s=3.5-0.2t,y=1.6x+80,y=2x+10,G=h-105. 这些函数表达式的形式有什么共同特点?与同学交流你的看法.
一般地,我们把形如y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.对于一次函数; y=kx+b,当b=0时,它就化为y=kx.所以正比例函数y=kx 是一次函数的特殊形式.
例1 下列函数中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数?(1)y=-2x 2; (2)y= ;(3)y=3x 2-x (3x-2);(4)x 2+y=1; (5)y=- .
导引:先看函数表达式是否为整式,再通过恒等变形进行化简,然后根据一次函数和正比例函数的定义进行判断.
解:(1)因为x 的次数是2,所以y=-2x 2不是一次函数.(2)因为y= = x+ ,k= ≠0,b= ,所以 y= 是一次函数,但不是正比例函数.(3)因为y=3x 2-x (3x-2)=2x,k=2,b=0,所以它 是一次函数,也是正比例函数.(4)x 2+y=1,即y=1-x 2.因为x 的次数是2,所以x 2+y =1不是一次函数.(5)因为y=- 中 不是整式,不符合y=kx+b 的形 式,所以它不是一次函数.
判断函数是否为一次函数的方法:先看函数表达式是否是整式,再将函数表达式进行恒等变形,然后看它是否符合一次函数表达式y=kx+b 的特征:(1)k≠0;(2)自变量x 的次数为1;(3)常数项b 可以为任意实数.
1 在下列函数中,哪些是一次函数?请指出一次函数中的k 和b 的值.(1) y=2-x, (2) (3) s=8+0.03t,(4) (5) (6)
解:(1)(3)(4)(5)是一次函数.(1)中k=-1,b=2;(3)中的k=0.03,b=8;(4)中的k= ,b=0;(5)中的k= ,b=-3.
在下列函数中,哪些是一次函数?请指出一次函数中的k 和b 的值.
解:(1)(2)(4)是一次函数.(1)中的k=-1,b= ;(2)中的k=2π,b=0;(4)中的k=0.5,b= .
3 下列函数中,y 是x 的一次函数的是( )A.y=x 2+2x B.y=-C.y=x D.y= +1下列函数:①y=2x-1;②y=πx;③y= ; ④y=x 2中,一次函数的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4
5 已知y=(m-3)x |m |-2+1是y 关于x 的一次函数,则m的值是( )A.-3 B.3 C.±3 D.±26 若3y-4与2x-5成正比例,则y 是x 的( )A.正比例函数 B.一次函数C.没有函数关系 D.以上均不正确
例2 已知关于x 的函数y=(2m-1)x+1-3m,当m满足什么条件时,(1)这个函数是正比例函数?(2)这个函数为一次函数?
导引:根据正比例函数和一次函数的定义求解即可.
解:(1)∵函数y=(2m-1)x+1-3m 是正比例函数,∴1-3m=0,2m-1≠0,∴m= .∴当m= 时,这个函数是正比例函数.(2)∵函数y=(2m-1)x+1-3m 是一次函数, ∴2m-1≠0,解得m≠ .∴当m≠ 时,这个函数为一次函数.
一次函数y=kx+b 中k、b 为常数,k≠0,自变量的次数为1.当b=0时,一次函数y=kx+b 就化为正比例函数y=kx.
1 已知一次函数y =-2x +3.(1) 当x 为何值时,y=0?(2) 当y 为何值时,x=0?
解: (1)对于一次函数y=-2x+3,令y=0, 即-2x+3=0,解得x= .所以当x= 时,y=0. (2)将x=0代入y=-2x+3中,得y=-2×0+3=3. 所以当y=3时,x=0.
确定应用问题中的一次函数表达式
当“条件”中明确是一次函数关系时,可利用关系式y=kx+b 求解,依据已知求得k、b 的值就可以了;当“条件”中未明确是一次函数关系时(一般情况是实际应用题),我们应依据已知中的基本数量列出等量关系(类似列方程解应用题),再整理成y=kx+b (k,b 为常数,k≠0)的形式.注意:在列出有关实际问题的一次函数关系式时,应标注自变量的取值范围.
例3 如图所示, △ABC 是边长为x 的等边三角形. (1)求BC 边上的高h 与x 之间的函数关系式. h 是x 的一次函数吗?如果是一次函数,请指出相应的k 与b 的值.(2) 当h= 时,求x 的值. (3)求△ABC 的面积S 与x 之间的函数关系式. S 是x 的一次函数吗?
解:(1)因为BC 边上的高AD 也是BC 边上的中线,所以 BD= .在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 即 所以h 是x 的一次函数,且 .
(2)当 时,有 . 解得x =2.(3)因为 即 所以S 不是x 的一次函数.
已知两条平行线l1,l2 之间的距离为3 cm,点A 在l1 上,点B,C 在l2 上,BC=x. 求△ABC 的面积S 与x的函数关系式,并判断这个函数是不是一次函数.
解: S= ·BC · 3= x,这个函数是一次函数.
2 一个正方形的边长为3 cm,它的各边边长均减少x cm后,得到的新正方形的周长为y cm,y 与x 之间的函数表达式是( )A.y=12-4x B.y=4x-12C.y=12-x D.以上都不对
1 下列说法正确的是( )A.正比例函数是一次函数B.一次函数是正比例函数C.对于变量x 与y,y 是x 的函数,x 不是y 的函数D.正比例函数不是一次函数,一次函数也不是正比例函数
2 如图,图像表示的一次函数表达式为( )A.y=-x-5 B.y=x-5C.y=x+5 D.y=-x+5
我们知道,海拔高度每上升1千米,温度下降6 ℃.某时刻,益阳地面温度为20 ℃,设高出地面x 千米处的温度为y ℃.(1)写出y 与x 之间的函数关系式;(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米,求这时山顶的温度大约是多少?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米?
(1)y=20-6x (x>0).(2)500米=0.5千米,当x=0.5时,y=20-6×0.5=17. 即这时山顶的温度大约为17 ℃.(3)当y=-34时,有-34=20-6x,解得x=9. 即飞机离地面的高度为9千米.
学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人,如图所示,请你结合这个规律,填写下表并回答问题:(1)写出y 与x 之间的函数解析式,并判断y 是不是x 的一次函数;(2)若八年级(1)班有42人去阅览室看书,则需要多少张这样的方桌拼成一行?
(1)y=2x+2,y 是x 的一次函数.(2)把y=42代入y=2x+2中, 得42=2x+2, 解得x=20. 答:需要20张这样的方桌拼成一行.
正比例函数与一次函数的关系正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数,用图形表示它们之间的关系如图所示:一次函数y=kx+b (k≠0) ,当b=0时是特殊的一次函数(即正比例函数),当b ≠ 0时是一般的一次函数.
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